Добавочное сопротивление к вольтметру: формула и расчёт

Любой вольтметр измеряет напряжение лишь до некоторого предела, заданного конструкцией прибора. Чтобы тем же вольтметром измерять большее напряжение, последовательно с ним включают добавочное сопротивление - резистор, который берёт на себя лишнюю часть напряжения и не даёт стрелке зашкалить. Ниже разберём, откуда берётся формула добавочного сопротивления, как связать её с током полного отклонения и внутренним сопротивлением вольтметра, и где студенты чаще всего ошибаются в задачах. Чтобы сразу увидеть, как меняется добавочное сопротивление при расширении предела, покрути калькулятор ниже: он считает $R_д$, коэффициент расширения и ток полного отклонения и показывает, как делятся сопротивление и напряжение в цепи.

Зачем вольтметру добавочное сопротивление

Вольтметр - это, по сути, чувствительный измеритель тока (гальванометр) с заранее известным внутренним сопротивлением $R_в$. Его стрелка отклоняется на всю шкалу, когда через прибор течёт небольшой ток полного отклонения $I_g$. Этому току соответствует собственный предел вольтметра по напряжению:

$U_0 = I_g \, R_в.$

Если приложить к такому прибору напряжение больше $U_0$, через него пойдёт ток больше $I_g$ - стрелка упрётся в край шкалы, а сам прибор может выйти из строя. Чтобы измерять большее напряжение $U$, нужно ограничить ток теми же $I_g$ при полном отклонении. Для этого последовательно с вольтметром включают добавочный резистор $R_д$: часть напряжения падает на нём, а на сам вольтметр приходится по-прежнему только $U_0$.

Рассчитать для своей задачи

Ключевая идея: добавочное сопротивление не меняет чувствительность прибора, оно лишь перераспределяет напряжение. Через цепь по-прежнему течёт тот же ток $I_g$ при полном отклонении - меняется только то, какое внешнее напряжение этому току соответствует.

Формула добавочного сопротивления

Запишем условие полного отклонения для расширенного вольтметра. Весь измеряемый ток течёт через последовательно соединённые $R_в$ и $R_д$, поэтому по закону Ома для участка цепи:

$U = I_g \, (R_в + R_д).$

Отсюда сразу выражается добавочное сопротивление:

$R_д = \frac{U}{I_g} - R_в.$

Если ток полного отклонения неизвестен, его удобно выразить через собственный предел вольтметра: $I_g = U_0 / R_в$. Подставив это, получаем компактную формулу через коэффициент расширения предела:

$R_д = R_в \left( \frac{U}{U_0} - 1 \right) = R_в \, (n - 1), \qquad n = \frac{U}{U_0},$

где $n$ показывает, во сколько раз новый предел $U$ больше собственного $U_0$. Из этой формулы видно главное свойство: чтобы расширить предел в $n$ раз, добавочное сопротивление должно быть в $(n-1)$ раз больше внутреннего сопротивления вольтметра. Например, для расширения предела в 6 раз нужен резистор в 5 раз больше $R_в$.

Рассчитать для своей задачи

Чем сильнее мы расширяем предел, тем большую долю общего сопротивления цепи берёт на себя добавочный резистор. При $n = 2$ он равен $R_в$, при $n = 10$ - уже в девять раз больше. Именно поэтому у многопредельных вольтметров добавочные резисторы для старших пределов - самые крупные по номиналу.

Как делится напряжение в цепи

На новом пределе $U$ напряжение распределяется между двумя последовательными элементами пропорционально их сопротивлениям. Поскольку ток в них одинаков, на вольтметре падает $U_0 = I_g R_в$, а на добавочном резисторе - всё остальное:

$U_{R_д} = U - U_0 = I_g \, R_д.$

Это удобный способ проверки: вольтметр всегда показывает только ту часть напряжения, что приходится на него самого, а добавочный резистор гасит избыток. Когда стрелка стоит на полном отклонении, на вольтметр приходится ровно $U_0$, сколько бы ни был расширен предел. Калькулятор выше наглядно показывает это деление: синий сегмент - доля вольтметра, оранжевый - добавочного резистора.

Чем добавочное сопротивление отличается от шунта

Важно не путать два приёма расширения пределов. Добавочное сопротивление включают последовательно с прибором и используют для вольтметра - чтобы измерять большее напряжение. Шунт включают параллельно прибору и используют для амперметра - чтобы измерять больший ток, отводя его часть мимо прибора. Логика противоположна: вольтметр должен иметь большое сопротивление, чтобы почти не потреблять ток из цепи, поэтому добавочный резистор его увеличивает. Амперметр должен иметь малое сопротивление, чтобы не нарушать ток в цепи, поэтому шунт его уменьшает. Если в задаче речь о напряжении - ищите добавочное сопротивление; если о токе - шунт.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: вольтметр с внутренним сопротивлением $R_в = 2000$ Ом имеет собственный предел $U_0 = 5$ В. Нужно подобрать добавочное сопротивление, чтобы измерять напряжение до $U = 30$ В.

Сначала находим коэффициент расширения предела - во сколько раз новый предел больше собственного:

$n = \frac{U}{U_0} = \frac{30}{5} = 6.$

Теперь по основной формуле считаем добавочное сопротивление:

$R_д = R_в \, (n - 1) = 2000 \cdot (6 - 1) = 10000\ \text{Ом} = 10\ \text{кОм}.$

Проверим через ток полного отклонения. Он равен:

$I_g = \frac{U_0}{R_в} = \frac{5}{2000} = 0{,}0025\ \text{А} = 2{,}5\ \text{мА}.$

Тогда то же добавочное сопротивление:

$R_д = \frac{U}{I_g} - R_в = \frac{30}{0{,}0025} - 2000 = 12000 - 2000 = 10000\ \text{Ом}.$

Оба пути дают $R_д = 10$ кОм - значит, расчёт согласован. На пределе 30 В на самом вольтметре падает 5 В, а на добавочном резисторе - оставшиеся 25 В. Если ваши числа этой проверки не проходят, скорее всего ошибка в переводе единиц или в коэффициенте $n$.

Частые ошибки

• Деление на $n$ вместо $(n-1)$. В формуле добавочного сопротивления стоит $R_в(n-1)$, а не $R_в \cdot n$. Множитель $(n-1)$ возникает потому, что одну долю предела обеспечивает сам вольтметр.
• Забыли вычесть $R_в$. При расчёте через ток $R_д = U/I_g - R_в$ внутреннее сопротивление вольтметра обязательно вычитается: общее сопротивление цепи $U/I_g$ уже включает в себя $R_в$.
• Путаница с шунтом. Добавочное сопротивление - последовательно и для вольтметра, шунт - параллельно и для амперметра. Если в задаче расширяют предел по напряжению, нужен добавочный резистор.
• Смешение единиц. Если $I_g$ задан в миллиамперах, а напряжение в вольтах, переведите ток в амперы, иначе сопротивление получится в тысячу раз меньше или больше.
• Считают, что меняется ток отклонения. Ток полного отклонения $I_g$ остаётся прежним - меняется лишь внешнее напряжение, которое ему соответствует. Добавочный резистор не делает прибор чувствительнее.

FAQ

Как найти добавочное сопротивление, если известны внутреннее сопротивление и пределы? Посчитайте коэффициент расширения $n = U/U_0$ и подставьте в формулу $R_д = R_в(n-1)$. Например, при $R_в = 2000$ Ом, $U_0 = 5$ В и $U = 30$ В получится $R_д = 2000 \cdot 5 = 10$ кОм.

Чем добавочное сопротивление отличается от шунта? Добавочное сопротивление включается последовательно и расширяет предел вольтметра по напряжению. Шунт включается параллельно и расширяет предел амперметра по току. Это противоположные приёмы для разных приборов.

Меняется ли показание вольтметра из-за добавочного сопротивления? Меняется цена деления: при полном отклонении стрелка теперь соответствует не $U_0$, а большему напряжению $U$. Сам же ток полного отклонения и чувствительность прибора остаются прежними - добавочный резистор лишь перераспределяет напряжение.

Коротко

Добавочное сопротивление включают последовательно с вольтметром, чтобы расширить предел измерения по напряжению. Оно равно $R_д = R_в(n-1)$, где $n = U/U_0$ - коэффициент расширения предела, или, через ток полного отклонения, $R_д = U/I_g - R_в$. На новом пределе на самом вольтметре по-прежнему падает $U_0$, а добавочный резистор гасит избыток $U - U_0$. Не путайте добавочное сопротивление с шунтом: первое - последовательно и для вольтметра, второй - параллельно и для амперметра.