КПД источника тока: формула и расчёт

КПД источника тока показывает, какая доля энергии, выработанной источником, реально доходит до внешней цепи, а какая бесполезно греет сам источник. Когда ток идёт по замкнутой цепи, он встречает не только сопротивление нагрузки, но и внутреннее сопротивление самого источника, и на нём всегда теряется часть мощности. Ниже разберём, как вывести формулу КПД источника тока из закона Ома для полной цепи, как считать его через сопротивления и через напряжения, почему максимальный КПД и максимальная полезная мощность достигаются в разных режимах и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь ЭДС, сопротивлений и КПД, покрути калькулятор ниже: он показывает КПД на шкале, поток мощности и кривые КПД и полезной мощности в зависимости от нагрузки.

Что такое КПД источника тока

Любой реальный источник тока (гальванический элемент, аккумулятор, генератор) характеризуется двумя параметрами: электродвижущей силой $\varepsilon$ и внутренним сопротивлением $r$. ЭДС - это работа сторонних сил по перемещению единичного заряда внутри источника; именно она задаёт полную мощность, которую источник развивает. Но часть этой мощности тратится не на полезную нагрузку, а на нагрев внутренней структуры источника - там, где «сидит» сопротивление $r$.

КПД источника тока - это отношение полезной мощности, выделяемой на внешней нагрузке $R$, к полной мощности, которую развивает источник:

$\eta = \frac{P_\text{полезн}}{P_\text{полн}} = \frac{P_R}{P_\varepsilon}.$

Полезная часть уходит во внешнюю цепь (лампа, мотор, нагреватель), а потери остаются внутри источника. Чем меньше внутреннее сопротивление по сравнению с нагрузкой, тем выше КПД.

Формула КПД источника тока

Запишем оба слагаемых мощности через ток. По закону Ома для полной цепи ток в замкнутой цепи равен

$I = \frac{\varepsilon}{R + r}.$

Полная мощность источника - это мощность, развиваемая ЭДС: $P_\varepsilon = \varepsilon I$. Полезная мощность выделяется на нагрузке: $P_R = I^2 R$. Подставим их в определение КПД:

$\eta = \frac{I^2 R}{\varepsilon I} = \frac{I R}{\varepsilon}.$

Но $IR = U$ - это напряжение на клеммах источника, а $\varepsilon I = I^2(R+r)$. Отсюда получаются две рабочие формулы, эквивалентные друг другу:

$\eta = \frac{U}{\varepsilon} = \frac{R}{R + r}.$

Первая форма удобна, когда известны ЭДС и напряжение на клеммах; вторая - когда заданы сопротивления. Из формулы $\eta = R/(R+r)$ видно главное: КПД зависит только от отношения сопротивлений. Если $R \gg r$, КПД близок к единице; если $R \to 0$ (короткое замыкание), КПД стремится к нулю - вся мощность остаётся внутри источника.

Рассчитать для своей задачи

Те же величины пересчитываются в калькуляторе: при ЭДС 12 В, внутреннем сопротивлении 1 Ом и нагрузке 4 Ом ток равен $12/5 = 2{,}4$ А, напряжение на клеммах $U = 2{,}4 \cdot 4 = 9{,}6$ В, а КПД $\eta = 9{,}6/12 = 4/5 = 80\%$.

Через напряжение на клеммах

На практике ЭДС и внутреннее сопротивление не всегда известны напрямую, зато легко измерить напряжение на клеммах источника при подключённой нагрузке. Тогда удобнее форма

$\eta = \frac{U}{\varepsilon},$

где $U$ - напряжение на клеммах под нагрузкой, $\varepsilon$ - ЭДС (её можно измерить вольтметром при разомкнутой цепи, когда ток почти не течёт и падение на $r$ пренебрежимо). Разность $\varepsilon - U = Ir$ - это падение напряжения на внутреннем сопротивлении, то есть как раз потерянная часть. Поэтому КПД можно записать и так:

$\eta = 1 - \frac{Ir}{\varepsilon} = 1 - \frac{r}{R + r}.$

Эта запись подчёркивает: КПД равен единице минус доля внутренних потерь. Чем «жёстче» источник (меньше $r$), тем ближе напряжение на клеммах к ЭДС и тем выше КПД.

Почему максимум мощности и максимум КПД - это разные режимы

Здесь кроется самая частая ловушка. Полезная мощность на нагрузке равна

$P_R = I^2 R = \frac{\varepsilon^2 R}{(R + r)^2}.$

Если исследовать эту функцию на максимум по $R$, окажется, что полезная мощность максимальна при согласовании нагрузки с источником, то есть при

$R = r.$

Но в этом же режиме КПД равен всего

$\eta = \frac{R}{R + r} = \frac{r}{2r} = 0{,}5 = 50\%.$

То есть при максимальной отдаваемой мощности ровно половина энергии теряется внутри источника. Это режим, выгодный для передачи мощности (например, в радиотехнике - согласование с антенной), но крайне невыгодный по экономичности. А вот высокий КПД (близкий к 100%) достигается при $R \gg r$, когда ток мал, и полезная мощность тоже невелика. Нельзя одновременно получить и максимум мощности, и максимум КПД - это два разных рабочих режима.

Рассчитать для своей задачи

На графике хорошо видно расхождение двух кривых: КПД монотонно растёт с увеличением нагрузки, а полезная мощность сначала растёт, проходит через максимум при $R = r$ и затем падает. Точка максимума мощности приходится точно на КПД 50%.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную постановку: источник с ЭДС $\varepsilon = 12$ В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом замкнут на резистор $R = 4$ Ом. Нужно найти КПД источника, ток в цепи, напряжение на клеммах и распределение мощности.

Сначала ток по закону Ома для полной цепи:

$I = \frac{\varepsilon}{R + r} = \frac{12}{4 + 1} = 2{,}4\ \text{А}.$

Напряжение на клеммах - это падение на внешней нагрузке:

$U = I R = 2{,}4 \cdot 4 = 9{,}6\ \text{В}.$

Теперь КПД двумя способами, для самопроверки:

$\eta = \frac{R}{R + r} = \frac{4}{5} = 0{,}8, \qquad \eta = \frac{U}{\varepsilon} = \frac{9{,}6}{12} = 0{,}8 = 80\%.$

Полная мощность источника и полезная мощность на нагрузке:

$P_\varepsilon = \varepsilon I = 12 \cdot 2{,}4 = 28{,}8\ \text{Вт}, \qquad P_R = I^2 R = 2{,}4^2 \cdot 4 = 23{,}04\ \text{Вт}.$

Потери на внутреннем сопротивлении: $P_r = I^2 r = 5{,}76 \cdot 1 = 5{,}76$ Вт. Проверка: $P_R + P_r = 23{,}04 + 5{,}76 = 28{,}8$ Вт совпадает с полной мощностью, а отношение $P_R/P_\varepsilon = 23{,}04/28{,}8 = 0{,}8$ - с КПД. Если ваши числа эту проверку не проходят, ищите ошибку в переводе единиц или в формуле для тока. Калькулятор выше собирает ровно эту цепочку, оставляя вам контроль над формулами.

Частые ошибки

• Путаница КПД и максимума мощности. Максимальная полезная мощность отдаётся при $R = r$, но КПД при этом всего 50%. Это разные режимы, их нельзя совмещать.
• Использование напряжения вместо ЭДС в знаменателе. В формуле полной мощности стоит ЭДС: $P_\varepsilon = \varepsilon I$, а не $U I$. Произведение $U I$ - это полезная мощность, а не полная.
• Забытое внутреннее сопротивление. Если положить $r = 0$, формула даёт $\eta = 100\%$ при любой нагрузке. У реального источника $r > 0$, и игнорировать его нельзя.
• КПД больше единицы. Если в ответе $\eta > 1$, значит, перепутаны полезная и полная мощность местами или потеряно слагаемое $r$ в знаменателе.
• Смешение последовательной и параллельной нагрузки. Под $R$ в формуле понимают полное внешнее сопротивление цепи; при нескольких резисторах его сначала надо свести к эквивалентному.

FAQ

Чему равен КПД источника тока при коротком замыкании? При коротком замыкании внешнее сопротивление $R \to 0$, поэтому $\eta = R/(R+r) \to 0$. Весь ток течёт через источник, вся мощность выделяется на его внутреннем сопротивлении, полезная мощность равна нулю. Это самый невыгодный режим.

Почему при максимальной мощности КПД только 50 процентов? Максимум полезной мощности достигается при согласовании $R = r$. Тогда нагрузка и источник «делят» падение напряжения пополам, и ровно половина мощности выделяется внутри источника. Поэтому КПД равен $r/(2r) = 0{,}5$, то есть 50%.

Как повысить КПД источника тока? Нужно увеличить отношение $R/r$: либо брать нагрузку с большим сопротивлением, либо использовать источник с меньшим внутренним сопротивлением. Тогда ток уменьшается, потери на $r$ падают, и напряжение на клеммах приближается к ЭДС, а КПД к единице.

Коротко

КПД источника тока - доля мощности, доходящая до внешней цепи; он равен $\eta = R/(R+r) = U/\varepsilon$, где $R$ - нагрузка, $r$ - внутреннее сопротивление, $U$ - напряжение на клеммах, $\varepsilon$ - ЭДС. Ток в цепи $I = \varepsilon/(R+r)$, полная мощность $P_\varepsilon = \varepsilon I$, полезная $P_R = I^2 R$. Максимум полезной мощности приходится на $R = r$, но КПД там лишь 50%; высокий КПД достигается при $R \gg r$, когда ток и мощность малы.