Параллельное соединение резисторов: задачи и формулы

Параллельное соединение резисторов - одна из самых частых тем в школьных и вузовских задачах по электричеству, и почти все типовые ошибки в ней сводятся к одному: путанице между тем, что одинаково на всех ветвях, и тем, что складывается. При параллельном соединении одинаково напряжение, а складываются проводимости и токи. Ниже разберём формулу общего сопротивления, как находить ток в каждой ветви по закону Ома, как считать мощность и проверять решение по правилу Кирхгофа. Чтобы сразу увидеть, как меняются ответы при разных сопротивлениях, покрути калькулятор ниже: он пересчитывает общее сопротивление, токи ветвей и мощность мгновенно и показывает распределение тока на диаграмме.

Что одинаково, а что складывается

Резисторы соединены параллельно, если все их левые выводы сходятся в одном узле, а все правые - в другом. Тогда к каждому резистору приложено одно и то же напряжение, равное напряжению между этими узлами:

$U_1 = U_2 = U_3 = U.$

Это главное свойство параллельного соединения и отправная точка любой задачи. Дальше всё выводится из закона Ома. Поскольку напряжение общее, через резистор с меньшим сопротивлением идёт больший ток - цепь как бы выбирает лёгкий путь. Полный ток, входящий в узел, равен сумме токов ветвей: это и есть первое правило Кирхгофа для узла.

Рассчитать для своей задачи

Запомнить логику проще через противопоставление с последовательным соединением: там через все резисторы идёт один и тот же ток, а складываются напряжения и сопротивления. В параллельном соединении всё наоборот - общим становится напряжение, а складываются токи.

Формула общего сопротивления

При параллельном соединении складываются не сами сопротивления, а обратные им величины - проводимости. Для трёх резисторов:

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}.$

Отсюда общее сопротивление находится как величина, обратная сумме:

$R = \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \right)^{-1}.$

Главный вывод из этой формулы: общее сопротивление параллельного блока всегда меньше самого маленького из резисторов. Добавляя ещё одну ветвь, мы даём току дополнительный путь, поэтому суммарное сопротивление только падает. Возьмём набор из калькулятора: $R_1 = 20$ Ом, $R_2 = 30$ Ом, $R_3 = 60$ Ом. Тогда

$\frac{1}{R} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{3 + 2 + 1}{60} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10},$

и $R = 10$ Ом - действительно меньше наименьшего сопротивления 20 Ом. Для двух резисторов формулу удобно свернуть в произведение на сумму:

$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}.$

А для $n$ одинаковых резисторов по $R_0$ ответ совсем простой: $R = R_0 / n$.

Чтобы не запутаться в порядке действий, держите в голове короткий алгоритм решения задачи на параллельное соединение. Сначала выписывают данные и убеждаются, что резисторы действительно параллельны (общие два узла, одинаковое напряжение). Затем по формуле проводимостей находят общее сопротивление $R$ и обязательно берут обратную величину в самом конце. После этого по закону Ома считают полный ток $I = U/R$ и токи отдельных ветвей $I_i = U/R_i$. Завершают проверкой по правилу Кирхгофа: сумма токов ветвей должна совпасть с полным током. Если в задаче спрашивают мощность, её добавляют последним шагом через $P = U^2/R$. Этот порядок одинаково работает и для двух резисторов, и для блока из десятка ветвей.

Токи ветвей и закон Ома

Когда общее сопротивление найдено, остальное - чистый закон Ома. Ток каждой ветви считается по её собственному сопротивлению и общему напряжению:

$I_i = \frac{U}{R_i}.$

Полный ток в неразветвлённой части цепи равен напряжению, делённому на общее сопротивление, и одновременно сумме токов ветвей:

$I = \frac{U}{R} = I_1 + I_2 + I_3.$

Последнее равенство - это первое правило Кирхгофа, и оно служит лучшей самопроверкой. Для нашего примера при $U = 12$ В получаем $I_1 = 12/20 = 0{,}6$ А, $I_2 = 12/30 = 0{,}4$ А, $I_3 = 12/60 = 0{,}2$ А. Их сумма $0{,}6 + 0{,}4 + 0{,}2 = 1{,}2$ А, и ровно столько же даёт прямой расчёт $I = U/R = 12/10 = 1{,}2$ А. Совпадение - сигнал, что общее сопротивление найдено верно.

Рассчитать для своей задачи

Обратите внимание на пропорции: токи относятся как $\tfrac{1}{20} : \tfrac{1}{30} : \tfrac{1}{60} = 3 : 2 : 1$, то есть обратно пропорциональны сопротивлениям. Через самую малую нагрузку течёт самый большой ток - это и есть распределение тока по узлу.

Мощность в параллельной цепи

Мощность, выделяемая на каждом резисторе, считается через общее напряжение:

$P_i = U I_i = \frac{U^2}{R_i}.$

Полная мощность цепи равна сумме мощностей ветвей или, что то же самое, квадрату напряжения, делённому на общее сопротивление:

$P = \frac{U^2}{R} = P_1 + P_2 + P_3.$

Здесь важна обратная логика по сравнению с сопротивлением: на резисторе с меньшим сопротивлением выделяется большая мощность, потому что через него идёт больший ток. Для нашего примера $P = 12^2 / 10 = 14{,}4$ Вт. Можно проверить по ветвям: $P_1 = 144/20 = 7{,}2$ Вт, $P_2 = 144/30 = 4{,}8$ Вт, $P_3 = 144/60 = 2{,}4$ Вт, в сумме снова $14{,}4$ Вт.

Параллельно или последовательно: в чём разница

Самый показательный способ закрепить тему - взять один и тот же набор резисторов и сравнить два способа соединения. Последовательно сопротивления просто складываются: $R_{посл} = R_1 + R_2 + R_3$, и для нашего набора это $20 + 30 + 60 = 110$ Ом. Параллельно те же резисторы дают всего $10$ Ом - в одиннадцать раз меньше. Нижний график в калькуляторе как раз сопоставляет эти два значения для текущих ползунков, чтобы разница была наглядной.

Отсюда удобное правило для смешанных схем: участок с параллельным блоком всегда «легче» для тока, чем тот же набор в линию. В сложных цепях сначала сворачивают параллельные блоки в одно эквивалентное сопротивление, потом складывают последовательные участки - и так шаг за шагом до полного сопротивления цепи.

Разберём ещё один типовой пример на двух резисторах, чтобы закрепить формулу произведение на сумму. Пусть $R_1 = 4$ Ом и $R_2 = 6$ Ом соединены параллельно и подключены к источнику $U = 12$ В. Общее сопротивление $R = \dfrac{4 \cdot 6}{4 + 6} = \dfrac{24}{10} = 2{,}4$ Ом. Полный ток $I = U/R = 12 / 2{,}4 = 5$ А. Токи ветвей: $I_1 = 12/4 = 3$ А и $I_2 = 12/6 = 2$ А, их сумма $3 + 2 = 5$ А - совпадает с полным током, значит расчёт верен. Мощность цепи $P = U^2/R = 144 / 2{,}4 = 60$ Вт. Тот же ответ получается, если просто подставить любой набор в калькулятор выше: ползунки и диаграмма мгновенно покажут и токи ветвей, и их доли в общем токе.

Частые ошибки

• Складывают сами сопротивления. Запись $R = R_1 + R_2 + R_3$ - это последовательное соединение. При параллельном складываются обратные величины, а итог берётся обратным к сумме.
• Забывают взять обратное в конце. Посчитали $1/R = 1/10$ и записывают $R = 1/10$ Ом. На самом деле $R = 10$ Ом - не теряйте последний шаг.
• Считают, что ток одинаков на всех ветвях. Одинаково напряжение, а токи разные и обратно пропорциональны сопротивлениям.
• Берут напряжение на ветви меньше источника. При параллельном соединении на каждом резисторе полное напряжение $U$, делить его между ветвями не нужно.
• Не проверяют по Кирхгофу. Сумма токов ветвей обязана совпасть с полным током. Если не сошлось - ошибка в общем сопротивлении.

FAQ

Почему общее сопротивление при параллельном соединении меньше самого малого резистора? Каждая новая параллельная ветвь добавляет току ещё один путь, увеличивая суммарную проводимость. Сопротивление обратно проводимости, поэтому оно падает и оказывается меньше любого из резисторов в блоке.

Как быстро посчитать два параллельных резистора? Для двух ветвей удобна формула произведение на сумму: $R = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$. Например, для 4 Ом и 6 Ом получится $24/10 = 2{,}4$ Ом - меньше четырёх.

Чему равен ток в каждой ветви? Току по закону Ома для этой ветви: $I_i = U/R_i$, где $U$ - напряжение источника, одинаковое для всех. Сумма токов ветвей равна полному току в неразветвлённой части цепи.

Коротко

При параллельном соединении резисторов одинаково напряжение на всех ветвях, а складываются проводимости: $1/R = 1/R_1 + 1/R_2 + 1/R_3$, поэтому общее сопротивление меньше наименьшего резистора. Ток каждой ветви находят по закону Ома $I_i = U/R_i$, полный ток равен их сумме и $U/R$, а мощность - $P = U^2/R$. Главная проверка любой задачи: сумма токов ветвей должна совпасть с общим током по правилу Кирхгофа.