Задачи на смешанное соединение резисторов: разбор

Задачи на смешанное соединение резисторов пугают именно тем, что в одной схеме намешаны и последовательные, и параллельные участки, и непонятно, с какого конца к ним подступиться. На самом деле приём ровно один: схему сворачивают шаг за шагом, заменяя каждый простой участок одним эквивалентным сопротивлением, пока вся цепь не превратится в один резистор. После этого находят полный ток, а затем разматывают расчёт обратно, чтобы получить токи и напряжения на каждом элементе. Ниже разберём этот алгоритм на конкретной схеме, а калькулятор ниже сразу пересчитает эквивалентное сопротивление, полный ток и токи ветвей для любых ваших значений.

Что такое смешанное соединение

Смешанным называют соединение, в котором резисторы нельзя описать только как последовательные или только как параллельные: в схеме есть и те, и другие участки. Простейший и самый частый в задачах случай - резистор $R_1$, включённый последовательно с параллельным блоком из $R_2$ и $R_3$. Ток сначала идёт единым потоком через $R_1$, потом в узле разветвляется на две ветви параллельного блока и за ним снова собирается в один поток.

Чтобы решать такие задачи уверенно, нужно твёрдо помнить два базовых правила. При последовательном соединении через элементы течёт один и тот же ток, а сопротivления складываются: $R = R_1 + R_2$. Подробный разбор этого случая - в статье про последовательное соединение резисторов. При параллельном соединении одинаково напряжение, а складываются проводимости: $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$; этому посвящён разбор параллельного соединения резисторов. Смешанная задача - это просто грамотное чередование этих двух формул.

Главный приём: сворачивание схемы

Ключевая идея решения любой смешанной цепи - последовательное упрощение, или сворачивание схемы. Мы находим в схеме участок, который является чисто последовательным или чисто параллельным, и заменяем его одним эквивалентным резистором. Схема становится проще. Повторяем, пока не останется один резистор - это и есть эквивалентное сопротивление всей цепи $R_{экв}$.

Рассчитать для своей задачи

Порядок свёртки не произволен: начинают с самого «внутреннего» простого блока. В нашей схеме это параллельная пара $R_2$ и $R_3$ - её удобнее свернуть первой, потому что она образует законченный параллельный участок между двумя узлами. Последовательный $R_1$ нельзя сложить с $R_2$ или $R_3$ по отдельности: он в одиночку идёт перед разветвлением, а не последовательно с какой-то одной ветвью. Поэтому сначала параллельное, потом последовательное.

Шаг 1: сворачиваем параллельный блок

Возьмём числа из калькулятора: $R_1 = 4$ Ом, $R_2 = 6$ Ом, $R_3 = 3$ Ом, источник $U = 12$ В. Параллельный блок $R_2 \parallel R_3$ сворачиваем по формуле проводимостей:

$\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1 + 2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2},$

откуда $R_{пар} = 2$ Ом. Для двух резисторов то же самое быстрее считать формулой произведение на сумму:

$R_{пар} = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} = \frac{6 \cdot 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2 \text{ Ом}.$

Главная проверка на этом шаге: эквивалентное сопротивление параллельного блока всегда меньше меньшего из резисторов. У нас 2 Ом меньше, чем 3 Ом, - значит, блок свёрнут правильно. Если получилось больше любого из исходных, где-то закралась ошибка, чаще всего - забыли взять обратную величину в конце.

Шаг 2: складываем последовательный участок

После первого шага схема упростилась: теперь $R_1$ и свёрнутый блок $R_{пар}$ идут друг за другом, то есть последовательно. Эквивалентное сопротивление всей цепи находим простым сложением:

$R_{экв} = R_1 + R_{пар} = 4 + 2 = 6 \text{ Ом}.$

Рассчитать для своей задачи

Теперь цепь выглядит как один источник и один резистор, и полный ток находится прямым законом Ома:

$I = \frac{U}{R_{экв}} = \frac{12}{6} = 2 \text{ А}.$

Этот ток течёт через $R_1$ и через весь параллельный блок целиком, ведь они соединены последовательно. На большинстве задач именно полный ток - это половина ответа: дальше всё разматывается обратно.

Шаг 3: разматываем расчёт обратно

Свернув схему и найдя полный ток, мы идём в обратном направлении - от эквивалентной цепи к исходной, восстанавливая напряжения и токи на каждом элементе. Сначала находим, как напряжение источника делится между последовательным резистором и параллельным блоком. На $R_1$ падает:

$U_1 = I R_1 = 2 \cdot 4 = 8 \text{ В},$

а на параллельный блок приходится остаток:

$U_{пар} = I R_{пар} = 2 \cdot 2 = 4 \text{ В}.$

Проверка: $U_1 + U_{пар} = 8 + 4 = 12$ В, ровно напряжение источника, - последовательный участок делит напряжение без потерь. Ключевой момент: напряжение $U_{пар} = 4$ В приложено сразу к обоим резисторам параллельного блока, ведь у параллельного соединения напряжение общее. Теперь токи ветвей считаются законом Ома для каждой:

$I_2 = \frac{U_{пар}}{R_2} = \frac{4}{6} \approx 0{,}67 \text{ А}, \qquad I_3 = \frac{U_{пар}}{R_3} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33 \text{ А}.$

Через меньший резистор $R_3$ идёт больший ток - это видно и в калькуляторе, где золотым подсвечен столбец самой нагруженной ветви.

Проверка по правилу Кирхгофа

Лучшая самопроверка смешанной задачи - первое правило Кирхгофа для узла разветвления: сумма токов ветвей должна совпасть с полным током, который входит в узел:

$I_2 + I_3 = 0{,}67 + 1{,}33 = 2 \text{ А} = I.$

Сошлось - значит, и эквивалентное сопротивление, и распределение напряжений найдены верно. Можно перепроверить и по мощности: полная мощность цепи $P = U I = 12 \cdot 2 = 24$ Вт должна равняться сумме мощностей на всех резисторах. На $R_1$ выделяется $P_1 = I^2 R_1 = 4 \cdot 4 = 16$ Вт, на ветвях $P_2 = I_2^2 R_2 \approx 2{,}67$ Вт и $P_3 = I_3^2 R_3 \approx 5{,}33$ Вт; в сумме $16 + 2{,}67 + 5{,}33 = 24$ Вт. Двойная проверка - и ток, и энергия сходятся.

Ещё один пример: блок из равных ветвей

Закрепим алгоритм на втором наборе. Пусть $R_1 = 5$ Ом последовательно с параллельным блоком из двух одинаковых $R_2 = R_3 = 10$ Ом при $U = 15$ В. Два равных резистора по $R_0$ параллельно дают вдвое меньшее сопротивление: $R_{пар} = R_0 / 2 = 5$ Ом. Тогда $R_{экв} = 5 + 5 = 10$ Ом, полный ток $I = 15 / 10 = 1{,}5$ А. Напряжение на блоке $U_{пар} = 1{,}5 \cdot 5 = 7{,}5$ В, и токи ветвей равны: $I_2 = I_3 = 7{,}5 / 10 = 0{,}75$ А. Сумма $0{,}75 + 0{,}75 = 1{,}5$ А совпадает с полным током - расчёт верен. Подставьте эти же числа в калькулятор: ползунки и столбцы мгновенно подтвердят ответ.

Для более сложных схем из пяти-шести резисторов алгоритм тот же, просто свёрток больше: находим очередной чисто последовательный или чисто параллельный участок, сворачиваем, перерисовываем схему - и так до одного резистора. Главное на каждом шаге убеждаться, что выбранный участок действительно простой, а не смешанный сам по себе.

Частые ошибки

• Складывают $R_1$ с одной из ветвей. Последовательный резистор стоит перед разветвлением и идёт последовательно со всем блоком, а не с отдельным $R_2$ или $R_3$. Сначала сворачивают параллельный блок, и только потом прибавляют $R_1$.
• Берут напряжение источника как напряжение на параллельном блоке. На блок приходится лишь $U_{пар} = I R_{пар}$, а часть напряжения падает на $R_1$. Делить на ветви нужно именно $U_{пар}$, а не полное $U$.
• Забывают взять обратную величину. Посчитали $1/R_{пар} = 1/2$ и записывают $R_{пар} = 0{,}5$ Ом вместо 2 Ом. Последний шаг при параллельном блоке - обращение суммы проводимостей.
• Считают ток одинаковым во всех ветвях. В параллельном блоке токи разные и обратно пропорциональны сопротивлениям; одинаков только полный ток до и после блока.
• Не проверяют по Кирхгофу. Если сумма токов ветвей не равна полному току, ошибка в свёртке. Эта проверка ловит почти любые промахи.

FAQ

С чего начинать решение смешанной цепи? С поиска самого простого участка - чисто последовательного или чисто параллельного блока внутри схемы. Его сворачивают в одно эквивалентное сопротивление, схему перерисовывают и повторяют, пока не останется один резистор. Обычно первыми сворачивают «внутренние» параллельные блоки.

Чему равно эквивалентное сопротивление смешанного соединения? Его получают пошаговым сворачиванием: параллельные участки по формуле проводимостей, последовательные сложением. Для схемы $R_1$ последовательно с $R_2 \parallel R_3$ это $R_{экв} = R_1 + \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}$.

Как найти ток в каждой ветви параллельного блока? Сначала находят полный ток $I = U / R_{экв}$ и напряжение на блоке $U_{пар} = I R_{пар}$. Затем ток ветви считают законом Ома: $I_i = U_{пар} / R_i$. Сумма токов ветвей равна полному току по правилу Кирхгофа.

Коротко

Смешанное соединение резисторов решается пошаговым сворачиванием схемы: сначала параллельный блок $R_2 \parallel R_3$ заменяют одним $R_{пар} = R_2 R_3 / (R_2 + R_3)$, затем складывают с последовательным $R_1$ в $R_{экв} = R_1 + R_{пар}$. По эквивалентному сопротивлению находят полный ток $I = U / R_{экв}$, разматывают расчёт обратно - напряжение на блоке $U_{пар} = I R_{пар}$ и токи ветвей $I_i = U_{пар} / R_i$ - и проверяют ответ по правилу Кирхгофа: сумма токов ветвей равна полному току.