Как найти индуктивное сопротивление: формула и расчёт

Дано: катушка индуктивностью $L = 0{,}1$ Гн включена в сеть с действующим напряжением $U = 220$ В и частотой $f = 50$ Гц, активным сопротивлением обмотки пренебрегаем. Найти: индуктивное сопротивление катушки, ток в ней и то же сопротивление на частоте 400 Гц.

Задача решается одной формулой $X_L = \omega L = 2\pi f L$ и законом Ома для действующих значений $I = \dfrac{U}{X_L}$. Ответ получится такой: индуктивное сопротивление 31,4 Ом, ток 7,0 А, а на частоте 400 Гц сопротивление вырастает до 251 Ом. Калькулятор сверху пересчитает эти же величины под любые твои числа и покажет, как та же катушка ведёт себя на других частотах.

Решение по шагам

Дано. Сводим условие в таблицу и сразу переводим всё в СИ.

Найти: $X_L$, $I$, $X_L'$.

Шаг 1. Угловая частота. Катушка реагирует не на частоту в герцах, а на скорость изменения тока, поэтому первым делом переходим к угловой (циклической) частоте:

$$\omega = 2\pi f = 2 \cdot 3{,}1416 \cdot 50 \approx 314\ \text{рад/с}.$$

Это стандартное число для промышленной сети 50 Гц, его стоит запомнить: 314 рад/с встречается почти в каждой задаче по переменному току.

Шаг 2. Индуктивное сопротивление. Подставляем угловую частоту и индуктивность в основную формулу:

$$X_L = \omega L = 314 \cdot 0{,}1 = 31{,}4\ \text{Ом}.$$

Тот же результат в одну строку: $X_L = 2\pi f L = 2\pi \cdot 50 \cdot 0{,}1 \approx 31{,}4$ Ом. Проверка размерности проходит: генри - это вольт-секунда на ампер, умножение на «единицу в секунду» секунды сокращает, и остаётся вольт на ампер, то есть ом.

Шаг 3. Ток в катушке. Для идеальной катушки индуктивное сопротивление играет ту же роль, что резистор в цепи постоянного тока, поэтому действующий ток находится делением:

$$I = \frac{U}{X_L} = \frac{220}{31{,}4} \approx 7{,}0\ \text{А}.$$

Все величины здесь действующие: и 220 В, и 7,0 А - это то, что покажут вольтметр и амперметр. Если в задаче спросят амплитуду, домножь на корень из двух: $I_m = I\sqrt{2} \approx 9{,}9$ А.

Шаг 4. Та же катушка на частоте 400 Гц. Индуктивность от частоты не зависит, меняется только множитель $\omega$:

$$X_L' = 2\pi f' L = 2\pi \cdot 400 \cdot 0{,}1 \approx 251\ \text{Ом}, \qquad I' = \frac{220}{251} \approx 0{,}88\ \text{А}.$$

Считать заново необязательно: частота выросла ровно в 8 раз, значит и сопротивление выросло в 8 раз ($31{,}4 \cdot 8 = 251$ Ом), а ток во столько же раз упал. Такая пропорция - самый быстрый способ проверить себя.

Ответ. $X_L = 31{,}4$ Ом, $I = 7{,}0$ А; на частоте 400 Гц $X_L' \approx 251$ Ом и $I' \approx 0{,}88$ А.

Формула и откуда она берётся

Пусть по катушке течёт синусоидальный ток $i(t) = I_m \sin \omega t$. Меняющийся ток создаёт меняющийся магнитный поток, тот наводит ЭДС самоиндукции, и чтобы ток шёл дальше, источник обязан приложить к выводам катушки напряжение, равное этой ЭДС по модулю:

$$u_L = L\,\frac{di}{dt} = L\,\frac{d}{dt}\bigl(I_m \sin \omega t\bigr) = \omega L I_m \cos \omega t.$$

Отсюда видно сразу две вещи. Во-первых, амплитуда напряжения на катушке равна $U_m = \omega L I_m$, то есть отношение амплитуд (а значит, и действующих значений) не зависит от времени и равно $\omega L$. Эту величину и назвали индуктивным сопротивлением: $X_L = \dfrac{U_m}{I_m} = \dfrac{U}{I} = \omega L$. Во-вторых, напряжение вышло косинусом там, где ток был синусом, а это и есть сдвиг на 90 градусов.

Буквы в формуле $X_L = 2\pi f L$ читаются так: $L$ - индуктивность катушки в генри, она определяется только геометрией обмотки и магнитными свойствами сердечника, разбор самого понятия есть в статье про индуктивность контура; $f$ - частота сети в герцах; $\omega = 2\pi f$ - угловая частота в радианах в секунду. Расчёт самой ЭДС самоиндукции, которая стоит за этим сопротивлением, разобран в задаче про ЭДС самоиндукции.

Важно понимать, чем $X_L$ отличается от обычного сопротивления провода. Активное сопротивление превращает энергию в тепло безвозвратно, а индуктивное только откладывает её: полпериода катушка забирает энергию у сети и запасает в магнитном поле, следующие полпериода отдаёт обратно. Поэтому идеальная катушка ограничивает ток, но не греется, и закон Джоуля-Ленца для $X_L$ не работает.

Почему сопротивление растёт с частотой

Зависимость $X_L(f)$ линейная, и график в калькуляторе сверху - прямая из начала координат. Физическая причина проста: чем быстрее меняется ток, тем больше производная $di/dt$ и тем больше противодействующая ЭДС самоиндукции. На постоянном токе ток вообще не меняется, ЭДС нет, и катушка ведёт себя как кусок провода.

Вот как одна и та же катушка 0,1 Гн выглядит на разных частотах при неизменных 220 В:

Именно на этом свойстве работают дроссели: катушку ставят последовательно с нагрузкой, и она почти не мешает низкочастотной составляющей, но душит высокочастотные помехи. Обратное поведение у конденсатора - его сопротивление с частотой падает; сравнение двух реактивных элементов и картина резонанса разобраны в статье про реактивное сопротивление катушки и конденсатора.

Сдвиг фаз и реактивная мощность

Переключи график в калькуляторе на режим с двумя синусоидами: кривая тока повторяет кривую напряжения, но с задержкой ровно в четверть периода. Говорят, что ток в катушке отстаёт от напряжения на 90 градусов, и это прямое следствие вывода формулы: производная синуса даёт косинус.

Из сдвига на 90 градусов следует важный вывод про мощность. Мгновенная мощность $p = ui$ половину периода положительна, половину отрицательна, и за полный период среднее значение обращается в ноль: активная мощность идеальной катушки равна нулю. Энергия качается между сетью и магнитным полем, а не расходуется. Обмен характеризуют реактивной мощностью:

$$Q = U I = 220 \cdot 7{,}0 \approx 1540\ \text{вар} = 1{,}54\ \text{квар}.$$

Ту же величину даёт формула $Q = I^2 X_L = 7{,}0^2 \cdot 31{,}4 \approx 1540$ вар. Реактивная мощность не бесполезна для расчётов: она нагружает провода и трансформатор настоящим током, поэтому её компенсируют конденсаторами - этот расчёт разобран в задаче про реактивную мощность.

Другие формы условия

Ту же формулу разворачивают в обратную сторону, и полезно уметь читать условие в любом направлении.

Дано сопротивление, найти индуктивность. Если на 50 Гц дроссель имеет $X_L = 62{,}8$ Ом, то $L = \dfrac{X_L}{2\pi f} = \dfrac{62{,}8}{314} = 0{,}2$ Гн, а на частоте 400 Гц его сопротивление станет 502,7 Ом.

Дано напряжение и ток. Через катушку в сети 127 В, 50 Гц идёт ток 2,5 А. Тогда $X_L = \dfrac{U}{I} = \dfrac{127}{2{,}5} = 50{,}8$ Ом, а индуктивность $L = \dfrac{50{,}8}{314} \approx 0{,}162$ Гн.

Катушка с заметным активным сопротивлением. Реальная обмотка имеет активное сопротивление $R$, и делить напряжение на одно только $X_L$ уже нельзя: ток находят через полное сопротивление $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$. Для $R = 12$ Ом и нашей катушки $Z \approx 33{,}6$ Ом, ток 6,5 А, а угол сдвига фаз становится не 90, а примерно 69 градусов. Разбор полного сопротивления и треугольника сопротивлений - в статье про импеданс цепи переменного тока, а построение диаграммы для цепи с катушкой и конденсатором - в задаче про векторную диаграмму.

На катушке падает своя доля напряжения, и складывать её с активной частью арифметически нельзя - только векторно. Как распределяется напряжение на участке цепи при последовательном соединении, разобрано отдельно.

Частые ошибки

• Забывают про $2\pi$. Подстановка $X_L = f L = 50 \cdot 0{,}1 = 5$ Ом занижает ответ больше чем в шесть раз. В формулу входит угловая частота, а не частота в герцах.
• Не переводят миллигенри и микрогенри. В условиях чаще встречается «катушка 100 мГн», и если подставить 100 вместо 0,1, сопротивление вырастет в тысячу раз.
• Путают индуктивность и индуктивное сопротивление. $L$ измеряется в генри и от частоты не зависит, $X_L$ измеряется в омах и растёт с частотой пропорционально.
• Складывают $X_L$ с активным сопротивлением напрямую. Для 12 Ом и 31,4 Ом ответ не 43,4 Ом: реактивное и активное сопротивления складываются как катеты, через корень из суммы квадратов.
• Считают мощность как $UI$ и называют её активной. У идеальной катушки активная мощность равна нулю, произведение $UI$ даёт реактивную мощность в варах, а не в ваттах.
• Смешивают действующие и амплитудные значения. Делить амплитуду напряжения на $X_L$ можно, но получится амплитуда тока, а не показание амперметра.

FAQ

Чему равно индуктивное сопротивление на постоянном токе? Нулю: при $f = 0$ формула $X_L = 2\pi f L$ даёт ноль. Установившийся постоянный ток катушка не ограничивает вовсе, работает только активное сопротивление её провода. Сопротивляется катушка лишь в момент включения и выключения, пока ток меняется.

Чем индуктивное сопротивление отличается от активного? Величиной сдвига фаз и судьбой энергии. На активном сопротивлении ток совпадает с напряжением по фазе, а энергия уходит в тепло. На индуктивном ток отстаёт на 90 градусов, а энергия возвращается в сеть, поэтому идеальная катушка не нагревается.

Как найти индуктивность, если известно только сопротивление? Разделить его на угловую частоту: $L = \dfrac{X_L}{2\pi f}$. Обязательно нужно знать частоту, на которой измерено сопротивление: без неё одно и то же значение в омах соответствует разным катушкам.

Зависит ли $X_L$ от напряжения или тока? Нет. Индуктивное сопротивление определяется только индуктивностью и частотой. Исключение - катушка с ферромагнитным сердечником: при больших токах сердечник насыщается, индуктивность падает, а вместе с ней падает и $X_L$.

Коротко

1. Переведи данные в СИ и найди угловую частоту $\omega = 2\pi f$; для сети 50 Гц это 314 рад/с.
2. Индуктивное сопротивление считай по формуле $X_L = \omega L = 2\pi f L$, ответ получается в омах.
3. Действующий ток идеальной катушки находи как $I = \dfrac{U}{X_L}$, амплитуду - домножив на $\sqrt{2}$.
4. При смене частоты пересчитывай пропорцией: во сколько раз выросла частота, во столько же раз вырос $X_L$.
5. Для примера с $L = 0{,}1$ Гн в сети 220 В, 50 Гц: $X_L = 31{,}4$ Ом, $I = 7{,}0$ А, реактивная мощность 1,54 квар; на 400 Гц $X_L \approx 251$ Ом и ток 0,88 А.