Как найти ЭДС индукции: формулы и пример расчёта

Дано: катушка из $N = 100$ витков площадью $S = 50\ \text{см}^2$ стоит перпендикулярно линиям поля, индукция которого равномерно растёт с $B_1 = 0{,}2$ Тл до $B_2 = 0{,}6$ Тл за $\Delta t = 0{,}05$ с; отдельно - прямой стержень длиной $l = 0{,}5$ м, летящий со скоростью $v = 4$ м/с под углом $\alpha = 30^\circ$ к линиям поля $B = 0{,}2$ Тл. Найти: ЭДС индукции в обоих случаях.

Формул здесь две, но закон один: ЭДС равна скорости изменения магнитного потока. Для катушки в меняющемся поле это $|\varepsilon| = N\,\dfrac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}$, для движущегося проводника - $|\varepsilon| = B l v \sin\alpha$. Ответ получится такой: 4 В в катушке и 0,2 В на концах стержня. Калькулятор сверху считает оба случая под любые числа: переключатель меняет источник изменения потока, а график показывает, что ЭДС существует только там, где поток меняется.

Решение по шагам

Дано. Катушка в меняющемся поле:

Движущийся стержень: $B = 0{,}2$ Тл, $l = 0{,}5$ м, $v = 4$ м/с, $\alpha = 30^\circ$.

Шаг 1. Переводим площадь в СИ. Квадратные сантиметры в формулу подставлять нельзя: в одном квадратном метре их десять тысяч, а не сто. Поэтому

$$S = 50\ \text{см}^2 = \frac{50}{10^{4}}\ \text{м}^2 = 5 \cdot 10^{-3}\ \text{м}^2.$$

Время уже в секундах, индукция в теслах, переводить больше нечего.

Шаг 2. Считаем изменение потока через один виток. Плоскость витков перпендикулярна линиям поля, значит нормаль направлена вдоль поля и $\cos\alpha = 1$. Площадь не меняется, угол не меняется - меняется только индукция, поэтому изменение потока равно площади, умноженной на приращение индукции:

$$\Delta\Phi = \Delta B \cdot S = (0{,}6 - 0{,}2) \cdot 5 \cdot 10^{-3} = 2 \cdot 10^{-3}\ \text{Вб} = 2\ \text{мВб}.$$

Сам поток в начальный и конечный момент считается по формуле $\Phi = BS\cos\alpha$; если в твоём условии рамка стоит под углом или её поворачивают, начни с разбора про магнитный поток - там эта формула разложена по косточкам.

Шаг 3. Находим ЭДС индукции по закону Фарадея. Витков сто, они соединены последовательно, и ЭДС каждого складывается с соседними. Отсюда множитель $N$:

$$|\varepsilon| = N\,\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t} = 100 \cdot \frac{2 \cdot 10^{-3}}{0{,}05} = 100 \cdot 0{,}04 = 4\ \text{В}.$$

Полезно проверить себя вторым путём, через скорость нарастания поля: $\dfrac{\Delta B}{\Delta t} = \dfrac{0{,}4}{0{,}05} = 8$ Тл/с, и тогда $|\varepsilon| = N S \dfrac{\Delta B}{\Delta t} = 100 \cdot 5 \cdot 10^{-3} \cdot 8 = 4$ В. Числа сошлись, значит с единицами всё в порядке.

Шаг 4. Считаем ЭДС движущегося стержня. Здесь поле постоянно, а поток меняется потому, что проводник перемещается. Работает формула с синусом угла между скоростью и полем:

$$|\varepsilon| = B l v \sin\alpha = 0{,}2 \cdot 0{,}5 \cdot 4 \cdot \sin 30^\circ = 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2\ \text{В}.$$

Если бы стержень летел строго поперёк линий поля, синус стал бы единицей и ЭДС выросла ровно вдвое, до 0,4 В.

Шаг 5. Достраиваем ответ до тока и заряда. Обычно спрашивают продолжение: чему равен ток. Пусть катушка замкнута на $R = 2$ Ом, тогда по закону Ома

$$I = \frac{|\varepsilon|}{R} = \frac{4}{2} = 2\ \text{А}, \qquad q = \frac{N\,|\Delta\Phi|}{R} = \frac{100 \cdot 2 \cdot 10^{-3}}{2} = 0{,}1\ \text{Кл}.$$

Ответ. В катушке $|\varepsilon| = 4$ В, на концах стержня $|\varepsilon| = 0{,}2$ В; при сопротивлении контура 2 Ом индукционный ток равен 2 А, а через контур проходит заряд 0,1 Кл.

Закон Фарадея: что означает каждая буква

Закон электромагнитной индукции звучит коротко: ЭДС в контуре равна скорости изменения магнитного потока сквозь этот контур, взятой со знаком минус.

$$\varepsilon = -N\,\frac{d\Phi}{dt} \quad \xrightarrow{\ \text{равномерное изменение}\ } \quad \varepsilon = -N\,\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}.$$

Здесь $N$ - число витков, $\Phi$ - поток через один виток, $\Delta t$ - время процесса. Произведение $N\Phi$ называют потокосцеплением: именно оно, а не поток одного витка, определяет ЭДС катушки. Переход от производной к отношению приращений законен только при равномерном изменении; если поле меняется рывками, отношение $\Delta\Phi/\Delta t$ даст лишь среднее значение ЭДС за интервал.

Минус - это правило Ленца в математической записи: индукционный ток всегда направлен так, чтобы своим полем мешать тому изменению, которое его породило. В числовом ответе почти всегда нужен модуль, а знак нужен, когда спрашивают направление тока. Как это направление определять на схеме, разобрано в материале про правило Ленца.

ЭДС возникает не только в проволоке: меняющееся магнитное поле порождает вихревое электрическое поле прямо в пространстве, а контур лишь позволяет измерить его работу. Поэтому ЭДС есть и в разомкнутом контуре, просто тока в нём нет.

Поток меняется по трём причинам: растёт или падает индукция $B$, меняется площадь контура $S$, поворачивается нормаль. Формула Фарадея одна на все три случая, различается лишь то, что подставляешь в $\Delta\Phi$.

ЭДС в движущемся проводнике: откуда берётся формула

Стержень, летящий в магнитном поле, можно считать по Фарадею, но проще запомнить готовое выражение $|\varepsilon| = B l v \sin\alpha$. Его нетрудно вывести. Вместе со стержнем движутся свободные электроны, а на движущийся заряд действует сила Лоренца $F = qvB\sin\alpha$. Она разводит заряды к концам стержня: на одном накапливается минус, на другом плюс. Разделение прекращается, когда электрическое поле внутри стержня уравновесит силу Лоренца, и разность потенциалов между концами как раз и равна $Blv\sin\alpha$.

Тот же результат даёт закон Фарадея для стержня на П-образных рельсах: за время $\Delta t$ он заметает площадь $\Delta S = l v \Delta t$, поток меняется на $\Delta\Phi = B l v \Delta t$, и после деления время сокращается. Это один закон, записанный с двух сторон.

Про угол в этой формуле путаницы больше всего. В $\Phi = BS\cos\alpha$ угол отсчитывают между нормалью к контуру и вектором индукции, а в $Blv\sin\alpha$ - между вектором скорости и вектором индукции. Поэтому движение поперёк линий поля даёт максимальную ЭДС ($\sin 90^\circ = 1$), а движение вдоль линий не даёт никакой ($\sin 0^\circ = 0$): в этом случае проводник не пересекает ни одной линии поля. Переключи калькулятор в режим движущегося проводника и потяни ползунок угла - увидишь ровно эту синусоиду.

Если контур замкнут, по нему пойдёт ток, и на стержень со стороны поля начнёт действовать сила Ампера, тормозящая движение. Именно её работу совершает тот, кто тянет стержень, и именно она превращается в электрическую энергию.

Другие формы условия

Рамка вращается в поле. Если катушка из $N$ витков площадью $S$ вращается с угловой скоростью $\omega$, поток меняется по косинусу, а ЭДС - по синусу: $\varepsilon(t) = N B S \omega \sin\omega t$. Амплитуда равна $\varepsilon_{\max} = N B S \omega$. Для нашей катушки при $B = 0{,}2$ Тл и частоте 50 Гц, то есть $\omega = 2\pi \cdot 50 \approx 314$ рад/с, получаем $\varepsilon_{\max} \approx 31{,}4$ В. Так устроен генератор переменного тока.

Поток задан функцией времени. Тогда отношение приращений не годится, нужна производная. Например, при $\Phi(t) = 0{,}01 t^2$ Вб получаем $\dfrac{d\Phi}{dt} = 0{,}02 t$, и для катушки из 100 витков в момент $t = 2$ с ЭДС равна $100 \cdot 0{,}02 \cdot 2 = 4$ В. Если же спрашивают среднюю ЭДС за интервал, снова работает формула с $\Delta\Phi$.

Спрашивают заряд, а не ток. Заряд зависит только от изменения потока и сопротивления, но не от времени процесса: $q = \dfrac{N\,|\Delta\Phi|}{R}$. Быстро менялось поле или медленно, заряд один и тот же, меняется лишь ток.

Меняется ток в самой катушке. Это уже не внешняя причина, а самоиндукция: поток создаёт сам ток контура, и ЭДС выражается через индуктивность. Такой случай разобран отдельно в задаче про ЭДС самоиндукции, формулу $\varepsilon = -L\,\Delta I/\Delta t$ к движущейся рамке применять нельзя.

Частые ошибки

• Забывают число витков. Формулу пишут для одного витка, а в условии катушка из ста. Ответ выходит ровно в $N$ раз меньше нужного, и это самая массовая потеря баллов в теме.
• Не переводят площадь. В квадратных сантиметрах ошибка не в 100 раз, а в 10 000: $1\ \text{м}^2 = 10^4\ \text{см}^2$. То же с миллиметрами и миллисекундами.
• Подставляют само поле вместо его изменения. ЭДС определяется приращением потока, а не его величиной. В постоянном поле, каким бы сильным оно ни было, неподвижный контур не даёт никакой ЭДС.
• Путают углы. Косинус идёт в поток и отсчитывается от нормали, синус - в формулу движущегося проводника и отсчитывается от направления скорости. Подстановка не того угла даёт правдоподобное, но неверное число.
• Ищут ЭДС через сопротивление. ЭДС от $R$ не зависит: сопротивление влияет только на ток. Если контур разомкнут, ЭДС остаётся прежней, а ток равен нулю.
• Смешивают индукцию и самоиндукцию. Если в условии меняется ток самой катушки, работает индуктивность $L$, а не площадь и внешнее поле.

FAQ

Почему в законе Фарадея стоит знак минус? Это запись правила Ленца: индукционный ток создаёт собственное магнитное поле, которое противодействует изменению внешнего потока. Минус нужен для определения направления тока, а в расчёте числового ответа берут модуль ЭДС.

Зависит ли ЭДС индукции от сопротивления контура? Нет. ЭДС определяется только скоростью изменения потока и числом витков. Сопротивление входит в закон Ома и определяет ток $I = |\varepsilon|/R$, а также заряд, прошедший по контуру.

Какой угол подставлять в формулу для движущегося проводника? Угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции. При движении поперёк линий поля синус равен единице и ЭДС максимальна, при движении вдоль линий синус равен нулю и ЭДС отсутствует.

Чем ЭДС индукции отличается от ЭДС самоиндукции? Природа одна, различается причина изменения потока. При индукции поток меняет внешнее воздействие: движение проводника, поворот рамки, изменение чужого поля. При самоиндукции поток создаёт собственный ток контура, поэтому в формуле стоит индуктивность и скорость изменения тока.

Коротко

1. Переведи всё в СИ: площадь в квадратные метры, время в секунды, индукцию в теслы.
2. Найди изменение потока через один виток $\Delta\Phi = \Delta(BS\cos\alpha)$ и определи, что именно меняется: поле, площадь или угол.
3. Модуль ЭДС считай по закону Фарадея $|\varepsilon| = N\,\dfrac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}$; знак минус отражает правило Ленца и нужен только для направления тока.
4. Для проводника, движущегося в постоянном поле, короче формула $|\varepsilon| = B l v \sin\alpha$, где угол отсчитывается между скоростью и полем.
5. Для примера с катушкой из 100 витков площадью 50 см² при росте поля с 0,2 до 0,6 Тл за 0,05 с получается $|\varepsilon| = 4$ В, а для стержня 0,5 м при 4 м/с и угле $30^\circ$ в поле 0,2 Тл - $|\varepsilon| = 0{,}2$ В.