Как найти потенциал точечного заряда: решение

Дано: точечные заряды $q_1 = +6$ нКл и $q_2 = -4$ нКл закреплены в вакууме на расстоянии $d = 12$ см. Найти: потенциал поля в точке $A$ на отрезке между ними, в 4 см от первого заряда, и работу по переносу заряда $q_0 = 2$ нКл из точки $A$ в бесконечность.

Схема решения всегда одна: потенциал каждого заряда считаем отдельно по формуле $\varphi = kq/r$ вместе со знаком заряда, а потом просто складываем полученные числа. Векторов здесь нет, углы не нужны. Ответ: $\varphi_A = 900$ В, работа по переносу заряда в бесконечность $A = 1{,}8$ мкДж. Калькулятор сверху считает по той же схеме для любых зарядов, любого положения точки и любой среды.

Решение по шагам

Дано.

Найти: $\varphi_A$ и работу $A$ по переносу заряда $q_0$ из точки $A$ в бесконечность.

Шаг 1. Найдём второе расстояние. Точка лежит на отрезке между зарядами, поэтому расстояние до второго заряда дополняет первое до полного:

$r_2 = d - r_1 = 0{,}12 - 0{,}04 = 0{,}08\ \text{м}.$

Этот шаг кажется очевидным, но именно на нём теряют задачу: если точка стоит не между зарядами, а за одним из них, расстояния складываются, а не вычитаются. Всегда рисуй ось и отмечай на ней оба заряда и точку, прежде чем писать числа.

Шаг 2. Потенциал первого заряда. Подставляем в формулу потенциала точечного заряда, среда вакуум, значит $\varepsilon = 1$:

$\varphi_1 = \frac{k q_1}{r_1} = \frac{9 \cdot 10^{9} \cdot 6 \cdot 10^{-9}}{0{,}04} = \frac{54}{0{,}04} = 1350\ \text{В}.$

Заряд положительный, поэтому и потенциал положительный. Степени десятки удобно гасить сразу: $10^{9} \cdot 10^{-9} = 1$, и в числителе остаётся простое произведение $9 \cdot 6 = 54$.

Шаг 3. Потенциал второго заряда. Здесь заряд отрицательный, и знак минус идёт прямо в формулу, а не приписывается к ответу задним числом:

$\varphi_2 = \frac{k q_2}{r_2} = \frac{9 \cdot 10^{9} \cdot (-4) \cdot 10^{-9}}{0{,}08} = \frac{-36}{0{,}08} = -450\ \text{В}.$

Шаг 4. Складываем потенциалы. Потенциал скалярный, поэтому суперпозиция сводится к обычному алгебраическому сложению:

$\varphi_A = \varphi_1 + \varphi_2 = 1350 + (-450) = 900\ \text{В}.$

Шаг 5. Работа по переносу заряда в бесконечность. Работа поля равна заряду, умноженному на разность потенциалов начальной и конечной точек. На бесконечности потенциал принят нулевым, поэтому разность равна самому $\varphi_A$:

$A = q_0 (\varphi_A - \varphi_\infty) = q_0 \varphi_A = 2 \cdot 10^{-9} \cdot 900 = 1{,}8 \cdot 10^{-6}\ \text{Дж} = 1{,}8\ \text{мкДж}.$

Ответ: $\varphi_A = 900$ В, работа поля по переносу заряда 2 нКл из точки $A$ в бесконечность равна $1{,}8$ мкДж. Работа положительна: поле само выталкивает положительный пробный заряд из области с положительным потенциалом.

Формула и откуда она берётся

Потенциал поля точечного заряда на расстоянии $r$ от него равен

$\varphi = \frac{kq}{\varepsilon r}, \qquad k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9 \cdot 10^{9}\ \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2},$

где $\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость среды (для вакуума и воздуха её принимают равной единице). Измеряется потенциал в вольтах, причём $1\ \text{В} = 1\ \text{Дж}/\text{Кл}$: это и есть физический смысл величины, энергия на единицу заряда.

Формула получается из работы поля. Работа по переносу заряда $q_0$ от точки на расстоянии $r$ до бесконечности равна $A = kqq_0/r$, а потенциал определён как отношение этой работы к переносимому заряду. Поделив на $q_0$, получаем $\varphi = kq/r$ - отсюда и выбор бесконечности за нулевой уровень: именно там работа обращается в ноль.

Подробный вывод и разбор всех связей потенциала с полем собраны в статье потенциал поля точечного заряда, а свойства работы электрического поля - в разборе работы поля при перемещении заряда. Здесь же нам важно только одно следствие: потенциал убывает как $1/r$, то есть медленнее, чем напряжённость с её $1/r^2$.

Потенциал системы зарядов: почему складывать проще, чем напряжённость

Принцип суперпозиции для потенциала звучит короче, чем для напряжённости: потенциал системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов, созданных каждым зарядом по отдельности.

$\varphi = \sum_i \frac{k q_i}{\varepsilon r_i}.$

Сравни с задачей на напряжённость электрического поля: там каждый вклад - вектор, его нужно разложить по осям, сложить проекции и потом искать модуль через теорему Пифагора. Для потенциала ничего этого нет, знак заряда полностью заменяет направление. Поэтому если в задаче спрашивают и потенциал, и напряжённость, потенциал считают первым - он проще и служит проверкой.

Важно, что складывать нужно именно потенциалы, а не модули. В нашей задаче вклады $1350$ В и $-450$ В частично гасят друг друга, и ответ $900$ В заметно меньше первого слагаемого. Если бы оба заряда были положительными, вклады сложились бы и потенциал вырос. Именно этот знаковый механизм и разводит задачи на потенциал с задачами на суперпозицию электрических полей, где складываются векторы.

Вариации условия: другая точка, нулевой потенциал, разность

Точка сместилась. Возьмём точку $B$ на том же отрезке, но в 8 см от первого заряда. Тогда $r_1 = 0{,}08$ м, $r_2 = 0{,}04$ м, и расстояния меняются ролями:

$\varphi_B = \frac{54}{0{,}08} + \frac{-36}{0{,}04} = 675 - 900 = -225\ \text{В}.$

Потенциал стал отрицательным: ближе к отрицательному заряду его вклад перевешивает. Разность потенциалов между точками $A$ и $B$ равна $U_{AB} = 900 - (-225) = 1125$ В, а работа поля по переносу нашего заряда 2 нКл из $A$ в $B$ составит $2 \cdot 10^{-9} \cdot 1125 = 2{,}25$ мкДж.

Где потенциал равен нулю. На отрезке между разноимёнными зарядами обязательно найдётся точка, в которой вклады гасятся полностью. Приравниваем модули и решаем уравнение относительно расстояния $x$ от первого заряда:

$\frac{6}{x} = \frac{4}{12 - x} \;\Rightarrow\; 72 - 6x = 4x \;\Rightarrow\; x = 7{,}2\ \text{см}.$

Вторая такая точка лежит вне отрезка, за меньшим по модулю зарядом: то же уравнение со знаком минус даёт $x = 36$ см. Обе видны на графике калькулятора как пересечения синей кривой с горизонтальной осью.

В диэлектрике. Если зарядам сменить среду, все потенциалы уменьшатся в $\varepsilon$ раз. В воде с $\varepsilon \approx 81$ наш ответ превратился бы в $900/81 \approx 11{,}1$ В. Положение нулевой точки при этом не сдвинется: $\varepsilon$ сокращается в уравнении.

Частые ошибки

• Потенциал складывают как векторы. Самая частая ошибка темы: студент рисует стрелки, считает угол между ними и применяет теорему косинусов. Потенциал - скаляр, никакого угла в формуле нет, складываются обычные числа со знаками.
• Теряют знак отрицательного заряда. Если подставить в формулу модуль $|q_2| = 4$ нКл, получится $\varphi_A = 1350 + 450 = 1800$ В вместо 900 В - ответ вырастет вдвое. Знак заряда идёт в числитель формулы, расстояние всегда положительно.
• Путают $1/r$ и $1/r^2$. Квадрат стоит в формуле напряжённости, а не потенциала. Подстановка $r^2$ даёт для первого заряда $33{,}75$ кВ вместо 1350 В.
• Пытаются получить напряжённость делением потенциала на расстояние. Соотношение $E = \varphi/r$ верно только для поля одного точечного заряда. В нашей задаче $900/0{,}04 = 22{,}5$ кВ/м, тогда как настоящая напряжённость в точке $A$ равна $33{,}75 + 5{,}625 = 39{,}4$ кВ/м.
• Оставляют нанокулоны и сантиметры. Формула работает только в СИ. Забытый перевод $1\ \text{нКл} = 10^{-9}$ Кл смещает ответ сразу на девять порядков.
• Считают расстояния от неправильной точки. Если точка лежит за вторым зарядом, то $r_2 = r_1 - d$, а не $d - r_1$; отрицательное расстояние в формуле - верный признак ошибки в чертеже.

FAQ

Может ли потенциал быть отрицательным, а напряжённость нет? Да, и это нормально. Потенциал - скаляр со знаком, он отрицателен везде вблизи отрицательного заряда. Напряжённость же характеризуется модулем и направлением, её модуль всегда неотрицателен. Отрицательный потенциал означает лишь, что поле совершит отрицательную работу при удалении положительного пробного заряда на бесконечность.

Зачем нулевой уровень выбирают на бесконечности? Потому что там поле точечного заряда исчезает, и формула $\varphi = kq/r$ получается самой короткой. Физический смысл имеет только разность потенциалов, поэтому нулевой уровень можно выбрать любым. В электротехнике за ноль обычно принимают корпус или землю, и тот же расчёт даёт другие абсолютные числа при той же разности.

Чем потенциал отличается от потенциальной энергии? Потенциал описывает точку поля и не зависит от того, есть там пробный заряд или нет. Потенциальная энергия описывает заряд в этой точке: $W = q_0\varphi$. В нашей задаче потенциал точки $A$ равен 900 В независимо ни от чего, а энергия заряда 2 нКл в ней составит $1{,}8$ мкДж.

Как найти заряд, если известен потенциал? Выразить его из той же формулы: $q = \varphi \varepsilon r/k$. Например, при $\varphi = 360$ В и $r = 0{,}15$ м в вакууме получаем $q = 360 \cdot 0{,}15/(9 \cdot 10^{9}) = 6 \cdot 10^{-9}$ Кл, то есть 6 нКл.

Коротко

1. Перевести все величины в СИ: заряды в кулоны, расстояния в метры.
2. Отметить на чертеже оба заряда и точку, выписать расстояния $r_1$ и $r_2$ от каждого заряда до точки. Для точки на отрезке $r_2 = d - r_1$.
3. Посчитать потенциал каждого заряда по формуле $\varphi_i = kq_i/(\varepsilon r_i)$, подставляя заряд вместе со знаком.
4. Сложить полученные числа алгебраически: $\varphi = \varphi_1 + \varphi_2$. Никаких проекций и углов.
5. Для работы переноса умножить заряд на разность потенциалов: $A = q_0(\varphi_{\text{нач}} - \varphi_{\text{кон}})$, а при переносе в бесконечность просто $A = q_0\varphi$.
6. В нашей задаче: $\varphi_1 = 1350$ В, $\varphi_2 = -450$ В, $\varphi_A = 900$ В, работа $1{,}8$ мкДж.