Как найти напряжённость электрического поля: решение

Дано: точечные заряды $q_1 = +8$ нКл и $q_2 = -3$ нКл закреплены в вакууме на расстоянии $d = 9$ см. Найти: напряжённость поля в точке $P$ на отрезке между зарядами, в 6 см от первого.

Схема решения всегда одна: поле каждого заряда считаем по отдельности по формуле $E = k|q|/r^2$, рисуем направление каждого вектора и складываем векторы. В нашей точке оба вектора смотрят в одну сторону, поэтому модули просто складываются, и ответ получается $E = 5{,}0 \cdot 10^4$ В/м, то есть 50 кВ/м, вектор направлен от положительного заряда к отрицательному. Калькулятор сверху считает по той же схеме для любых зарядов и любого положения точки на прямой.

Решение по шагам

Дано.

Найти: модуль и направление вектора $\vec{E}$ в точке $P$.

Шаг 1. Геометрия и ось. Точка лежит на отрезке, поэтому расстояние до второго заряда - это остаток отрезка: $r_2 = d - r_1 = 9 - 6 = 3$ см $= 0{,}03$ м. Направим ось от первого заряда ко второму и договоримся, что всё, направленное вправо, положительно.

Шаг 2. Поле первого заряда. Подставляем в формулу уже переведённые в СИ величины:

$$E_1 = k\frac{|q_1|}{r_1^2} = 9 \cdot 10^{9} \cdot \frac{8 \cdot 10^{-9}}{(0{,}06)^2} = \frac{72}{3{,}6 \cdot 10^{-3}} = 2{,}0 \cdot 10^{4}\ \text{В/м}.$$

Шаг 3. Поле второго заряда.

$$E_2 = k\frac{|q_2|}{r_2^2} = 9 \cdot 10^{9} \cdot \frac{3 \cdot 10^{-9}}{(0{,}03)^2} = \frac{27}{9 \cdot 10^{-4}} = 3{,}0 \cdot 10^{4}\ \text{В/м}.$$

Второй заряд почти втрое меньше по модулю, а поле от него в полтора раза сильнее. Так и должно быть: расстояние входит в квадрате, и вдвое более близкий заряд даёт вчетверо большее поле.

Шаг 4. Направления. Первый заряд положительный, значит его поле направлено от него - вправо, в сторону точки и дальше. Второй заряд отрицательный, значит его поле направлено к нему, а он стоит справа от точки, - тоже вправо. Оба вектора сонаправлены, и это единственный случай, когда разрешено складывать модули.

Шаг 5. Сложение.

$$E = E_1 + E_2 = 2{,}0 \cdot 10^{4} + 3{,}0 \cdot 10^{4} = 5{,}0 \cdot 10^{4}\ \text{В/м}.$$

Ответ: $E = 5{,}0 \cdot 10^{4}$ В/м $= 50$ кВ/м, вектор направлен вдоль прямой от заряда $q_1$ к заряду $q_2$.

Проверка. Поместим в точку $P$ пробный заряд $q_0 = 2$ нКл и посчитаем силу: $F = q_0 E = 2 \cdot 10^{-9} \cdot 5 \cdot 10^{4} = 1 \cdot 10^{-4}$ Н, то есть 0,1 мН. Значение правдоподобное для нанокулоновых зарядов на сантиметровых расстояниях: если бы вышли ньютоны, где-то потерялась степень десятки. Такие задачи обычно идут в курсе общей физики сразу после закона Кулона.

Формула и откуда она берётся

Напряжённость - это силовая характеристика поля, сила на единицу заряда:

$$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}, \qquad [E] = \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = \frac{\text{В}}{\text{м}}.$$

Подставим сюда силу Кулона, с которой заряд $q$ действует на пробный заряд $q_0$ на расстоянии $r$: $F = k\,|q|\,|q_0| / r^2$. Пробный заряд сокращается, и остаётся формула поля точечного заряда:

$$E = k\frac{|q|}{r^2}, \qquad k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \cdot 10^{9}\ \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}.$$

Именно поэтому напряжённость не зависит от пробного заряда: поле существует независимо от того, поместили в точку что-нибудь или нет. Если заряды сидят не в вакууме, а в среде с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$, поле ослабляется в $\varepsilon$ раз: в керосине с $\varepsilon = 2$ наш ответ стал бы 25 кВ/м. Про саму силу взаимодействия зарядов подробно написано в разборе задач на закон Кулона.

Второй способ добраться до напряжённости - через потенциал: поле равно градиенту потенциала со знаком минус, и в одномерном случае это просто крутизна графика $\varphi(x)$. Этот путь удобен, когда потенциал задан функцией, а не набором зарядов; он разобран в статье про градиент потенциала электрического поля. Для точечных зарядов быстрее считать напрямую по Кулону, как выше.

Единицы: где теряются степени десятки

Больше половины неверных ответов в этой задаче - не физика, а арифметика с приставками. Перед подстановкой всё переводится в СИ: 1 нКл $= 10^{-9}$ Кл, 1 мкКл $= 10^{-6}$ Кл, 1 см $= 10^{-2}$ м. Расстояние стоит в квадрате, поэтому забытый перевод сантиметров в метры даёт ошибку не в 100, а в 10 000 раз.

Проверить порядок легко в уме. Заряд 1 нКл на расстоянии 1 см создаёт поле $9 \cdot 10^{9} \cdot 10^{-9} / 10^{-4} = 9 \cdot 10^{4}$ В/м, то есть 90 кВ/м. Значит, у нанокулоновых зарядов и сантиметровых расстояний нормальный ответ - десятки и сотни кВ/м. Получилось несколько В/м или мегавольты на метр - ищи потерянную степень.

Если точка стоит иначе

Положение точки меняет только знаки проекций, но не метод. Возьмём ту же пару зарядов и вынесем точку за отрицательный заряд, на 12 см от первого. Тогда $r_1 = 0{,}12$ м и $r_2 = 0{,}03$ м:

$$E_1 = \frac{9 \cdot 10^{9} \cdot 8 \cdot 10^{-9}}{(0{,}12)^2} = 5 \cdot 10^{3}\ \text{В/м}, \qquad E_2 = \frac{9 \cdot 10^{9} \cdot 3 \cdot 10^{-9}}{(0{,}03)^2} = 3{,}0 \cdot 10^{4}\ \text{В/м}.$$

Поле первого заряда направлено вправо, поле второго - влево, к нему самому. Векторы противоположны, поэтому вычитаем: $E = 3{,}0 \cdot 10^4 - 5 \cdot 10^3 = 2{,}5 \cdot 10^4$ В/м, и результат смотрит влево, в сторону зарядов.

Раз в разных точках прямой знак проекции разный, где-то поле обращается в ноль. Условие простое: $|q_1| / s^2 = |q_2| / (s - d)^2$, где $s$ - координата от первого заряда. Для наших чисел ноль лежит в 23,2 см от первого заряда, то есть за отрицательным зарядом со стороны меньшего по модулю. Полезное правило: у разноимённых зарядов нулевая точка всегда вне отрезка и ближе к меньшему заряду, у одноимённых - внутри отрезка. Подвигай ползунок положения в калькуляторе, и график проекции сам покажет это пересечение с осью.

Если точка не лежит на прямой зарядов, складывать модули или вычитать их уже нельзя: каждый вектор раскладывают на проекции $E_x = E\cos\alpha$ и $E_y = E\sin\alpha$, складывают проекции по отдельности, а модуль находят по теореме Пифагора $E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2}$. Разбор такой геометрии с углами - в статье про задачи на суперпозицию электрических полей.

Обратные задачи: найти заряд или расстояние

Из той же формулы вытаскивается любая величина. Если известны поле и расстояние, заряд находится как $q = E r^2 / k$: для нашего первого заряда $q = 2 \cdot 10^4 \cdot (0{,}06)^2 / (9 \cdot 10^9) = 8 \cdot 10^{-9}$ Кл, то есть исходные 8 нКл. Если известны заряд и поле, расстояние равно $r = \sqrt{k|q| / E}$.

Ещё чаще спрашивают, как изменится поле при изменении расстояния. Отвечать через пропорцию быстрее, чем считать заново: при увеличении расстояния втрое поле падает в девять раз, при уменьшении вдвое - растёт вчетверо. И отдельно стоит помнить, что формула $E = k|q|/r^2$ верна только для точечного заряда или для тела, которое можно считать точечным. Для заряженной сферы, нити или плоскости поле считают через теорему Гаусса, и снаружи сферы результат совпадает с точечным зарядом, а внутри равен нулю - это разобрано в материале про поле заряженной сферы.

Частые ошибки

• Складывают модули, не глядя на направления. Арифметическая сумма годится только для сонаправленных векторов; в остальных случаях нужны вычитание или проекции.
• Не переводят единицы. Сантиметры в формуле вместо метров дают ошибку в 10 000 раз, нанокулоны вместо кулонов - ещё в миллиард.
• Подставляют знак заряда в формулу модуля и получают «отрицательную напряжённость». Модуль поля отрицательным не бывает: знак заряда определяет только направление вектора, поэтому в формулу идёт $|q|$.
• Берут за $r$ расстояние между зарядами. В формулу входит расстояние от заряда до точки наблюдения, и для каждого заряда оно своё.
• Забывают возвести расстояние в квадрат или делят на $r$ по аналогии с потенциалом $\varphi = kq/r$.
• Путают напряжённость с силой и потенциалом. $E$ измеряется в В/м и не зависит от пробного заряда, $F$ - в ньютонах и зависит, $\varphi$ - скаляр в вольтах.

FAQ

Чему равна напряжённость поля точечного заряда? $E = k|q|/r^2$, где $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл², $q$ - заряд, $r$ - расстояние от заряда до точки. Вектор направлен от заряда, если он положительный, и к заряду, если отрицательный. В среде значение делится на диэлектрическую проницаемость $\varepsilon$.

Почему напряжённость измеряют и в В/м, и в Н/Кл? Это одна и та же единица, записанная через разные определения. Из $E = F/q_0$ следует Н/Кл, из связи с потенциалом $E = -d\varphi/dx$ - В/м. Численно они совпадают, в задачах ответ обычно оформляют в В/м или кВ/м.

Можно ли просто сложить $E_1$ и $E_2$? Только если векторы сонаправлены, как в разобранной задаче. Если они противоположны, модули вычитают; если стоят под углом - раскладывают на проекции и берут корень из суммы квадратов.

Чем напряжённость электрического поля отличается от магнитного? Это разные поля с разными источниками: электрическое создают заряды, магнитное - токи и движущиеся заряды. Совпадает только логика: у магнитного поля тоже есть силовая характеристика, через которую считают, например, силу Ампера.

Коротко

1. Формула поля точечного заряда: $E = k|q|/r^2$, где $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл², а $r$ - расстояние от заряда до точки наблюдения.
2. Переведи заряды в кулоны, расстояния в метры и только потом подставляй: расстояние стоит в квадрате и удваивает любую ошибку в приставках.
3. Посчитай поле каждого заряда отдельно и нарисуй направления: от положительного заряда, к отрицательному.
4. Сложи векторы. Сонаправленные - сумма модулей, противоположные - разность, под углом - по проекциям и теореме Пифагора.
5. Для примера с зарядами $+8$ нКл и $-3$ нКл на расстоянии 9 см в точке в 6 см от первого: $E_1 = 20$ кВ/м, $E_2 = 30$ кВ/м, ответ $E = 50$ кВ/м, направлен от первого заряда ко второму.