Как найти силу Ампера: формула и пример расчёта

Дано: прямой проводник длиной $l = 0{,}25$ м с током $I = 8$ А находится в однородном магнитном поле с индукцией $B = 0{,}4$ Тл; угол между проводником и линиями индукции $\alpha = 30^\circ$. Найти: силу Ампера $F$ и её направление.

Модуль силы считается в одно действие по формуле $F = B I l \sin\alpha$, а направление задаёт правило левой руки, так что вся работа сводится к переводу данных в СИ и к правильно взятому углу. Ответ: $F = 0{,}4$ Н, сила перпендикулярна и проводнику, и вектору индукции. Калькулятор сверху повторяет этот расчёт для любых значений, ниже - решение по шагам.

Решение по шагам

Дано.

Найти нужно модуль силы Ампера и её направление относительно проводника и линий поля.

Шаг 1. Перевести всё в СИ. Индукция уже в теслах, ток в амперах, а длину из условия нужно перевести из сантиметров в метры: $l = 25$ см $= 0{,}25$ м. Угол остаётся в градусах, потому что дальше от него берут синус.

Шаг 2. Записать рабочую формулу. На участок прямого проводника с током в однородном поле действует сила

$$F = B I l \sin\alpha,$$

где $\alpha$ - угол между направлением тока и вектором магнитной индукции.

Шаг 3. Найти синус угла. Проводник наклонён к линиям поля на $30^\circ$, значит $\sin\alpha = \sin 30^\circ = 0{,}5$. Работает только та составляющая поля, которая перпендикулярна проводнику, и синус как раз её и выделяет.

Шаг 4. Подставить числа.

$$F = 0{,}4 \cdot 8 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}5 = 0{,}4\ \text{Н}.$$

Полезно считать по частям: произведение $B I l = 0{,}4 \cdot 8 \cdot 0{,}25 = 0{,}8$ Н - это максимально возможная сила для таких данных, а множитель $\sin 30^\circ = 0{,}5$ уменьшает её ровно вдвое.

Шаг 5. Определить направление. По правилу левой руки: располагаем ладонь так, чтобы линии индукции входили в неё, а четыре вытянутых пальца смотрели по току; отставленный большой палец покажет силу Ампера. Она перпендикулярна плоскости, в которой лежат проводник и вектор $\vec{B}$, то есть направлена «из плоскости чертежа» или «в неё», если ток и поле нарисованы в плоскости листа.

Ответ. $F = 0{,}4$ Н; сила направлена перпендикулярно проводнику и вектору индукции. Такая сила уравновесила бы груз массой $m = F/g = 0{,}4/9{,}8 \approx 0{,}041$ кг, то есть около 41 грамма.

Формула силы Ампера и откуда она берётся

В формуле $F = B I l \sin\alpha$ каждая буква относится к своему объекту: $B$ - индукция внешнего магнитного поля в теслах, $I$ - сила тока в амперах, $l$ - длина того участка проводника, который находится в поле (в метрах), $\alpha$ - угол между током и полем. Результат получается в ньютонах. Обрати внимание: $l$ - это длина именно в поле, а не полная длина провода в цепи.

Векторная запись компактнее и сразу содержит направление:

$$\vec{F} = I\,[\vec{l} \times \vec{B}],$$

где вектор $\vec{l}$ направлен вдоль тока. Отсюда видно, почему сила всегда перпендикулярна обоим векторам и почему она обращается в нуль при $\alpha = 0$.

Происхождение формулы - магнитное действие поля на движущиеся заряды. На каждый носитель заряда действует сила Лоренца $F_1 = q v B \sin\alpha$; если концентрация носителей равна $n$, а сечение провода $S$, то в участке длиной $l$ их $N = n S l$. Умножая и подставляя $I = q n v S$, получаем $F = N F_1 = q n S l \cdot v B \sin\alpha = B I l \sin\alpha$. Подробный разбор силы, действующей на одиночный заряд, есть в статье про силу Лоренца и её формулу.

Отдельно стоит развести две близкие величины: сила Ампера описывает механическое действие поля на ток, а поток вектора магнитной индукции - это скалярная характеристика самого поля через площадку. В потоке стоит косинус угла с нормалью, в силе Ампера - синус угла с проводником, и путать их нельзя.

Правило левой руки: как найти направление

Направление - половина ответа в задачах на силу Ампера, и в контрольных за него снимают баллы отдельно. Порядок действий такой:

1. Ладонь левой руки развернуть так, чтобы вектор $\vec{B}$ входил в неё со стороны ладони.
2. Четыре пальца вытянуть по направлению тока (от плюса к минусу во внешней цепи).
3. Большой палец, отставленный на $90^\circ$, покажет направление силы Ампера.

Если поле нарисовано крестиками (от читателя) или точками (к читателю), удобнее пользоваться векторным произведением: сила перпендикулярна и току, и полю, а её сторона определяется поворотом от $\vec{l}$ к $\vec{B}$ по кратчайшему пути.

Три частных случая стоит помнить наизусть. При $\alpha = 90^\circ$ сила максимальна и равна $B I l$. При $\alpha = 0^\circ$ или $180^\circ$, то есть когда проводник лежит вдоль линий поля, сила равна нулю - никакого действия поля нет. При смене направления тока на противоположное сила разворачивается на $180^\circ$, и именно на этом работает коллектор двигателя постоянного тока.

Как меняется сила при других углах

Оставим ток, поле и длину прежними и посмотрим, как ответ зависит только от наклона проводника:

Видно, что зависимость несимметрична по скорости роста: от 0 до 30 градусов сила набирает половину максимума, а следующие 60 градусов дают вторую половину. График в калькуляторе сверху рисует эту же синусоиду целиком, и точка на нём соответствует углу из условия.

Обратные задачи: найти индукцию, ток или условие равновесия

Та же формула решает и обратные задачи - достаточно выразить нужную величину. Если известны сила и остальные данные, индукция находится как $B = F/(I l \sin\alpha)$: для проводника длиной 0,5 м с током 4 А, стоящего поперёк поля, при силе 1,2 Н получаем $B = 1{,}2/(4 \cdot 0{,}5) = 0{,}6$ Тл. Ток выражается симметрично: $I = F/(B l \sin\alpha)$, а нужный ток в цепи потом связывают с напряжением и общим сопротивлением цепи.

Классическая задача на равновесие звучит так: горизонтальный проводник массой $m = 20$ г и длиной $l = 0{,}4$ м висит в поле $B = 0{,}5$ Тл, направленном горизонтально и поперёк проводника. Сила Ампера должна уравновесить силу тяжести, значит $B I l = m g$, откуда

$$I = \frac{m g}{B l} = \frac{0{,}02 \cdot 9{,}8}{0{,}5 \cdot 0{,}4} = 0{,}98\ \text{А}.$$

Ещё один типовой сюжет - рамка с током. У квадратной рамки со стороной 10 см при токе 3 А в поле 0,2 Тл на две стороны, перпендикулярные полю, действуют силы $F = 0{,}2 \cdot 3 \cdot 0{,}1 = 0{,}06$ Н, направленные в разные стороны. Складываясь, они дают не поступательное движение, а вращающий момент $M = B I S = 0{,}2 \cdot 3 \cdot 0{,}01 = 6$ мН·м. Случай, когда поле создаёт не магнит, а соседний ток, разобран в материале про силу Ампера между параллельными проводниками.

Частые ошибки

• Берут угол между проводником и силой, а не между проводником и полем. В формулу входит $\alpha$ между током и вектором $\vec{B}$; сила к ним обоим перпендикулярна по определению, и никакого угла с ней в формуле нет.
• Подставляют косинус вместо синуса. Косинус угла с нормалью стоит в формуле магнитного потока, а не силы Ампера. Проверка простая: при $\alpha = 0$ сила обязана быть нулевой.
• Оставляют сантиметры в формуле. Длина 25 см вместо 0,25 м завышает ответ ровно в 100 раз: вместо 0,4 Н выходит 40 Н.
• Считают всю длину провода вместо участка в поле. Если катушка длиной 2 м проходит через зазор магнита шириной 6 см, в формулу идут 0,06 м.
• Путают правило левой и правой руки. Левая рука - для силы, действующей на ток в поле; правая - для направления индукционного тока и для буравчика.
• Переносят формулу на непрямой проводник. Для изогнутого провода в однородном поле $l$ - длина отрезка, соединяющего концы, а не длина самой кривой.

FAQ

Чему равна сила Ампера, если проводник расположен вдоль поля? Нулю. При $\alpha = 0^\circ$ или $180^\circ$ синус равен нулю, магнитное поле не действует на такой проводник. Это же следует и из векторной записи: произведение сонаправленных векторов равно нулю.

Чем сила Ампера отличается от силы Лоренца? Это одно и то же взаимодействие на разных уровнях: сила Лоренца действует на отдельный движущийся заряд, а сила Ампера - её суммарный результат для всех носителей в проводнике. Формула $F = B I l \sin\alpha$ выводится из $F = q v B \sin\alpha$ суммированием по зарядам.

Как определить направление, если поле направлено от нас за плоскость чертежа? Ладонь левой руки развернуть тыльной стороной к себе, чтобы линии входили в ладонь, пальцы направить по току. Большой палец окажется в плоскости чертежа и покажет силу: она всегда лежит в плоскости листа, если поле перпендикулярно ему.

Зависит ли сила Ампера от материала и сечения проводника? Нет. В формулу входят только индукция, ток, длина участка и угол. Медь и алюминий при одинаковом токе испытывают одинаковую силу, хотя для получения такого тока им нужно разное напряжение.

Коротко

1. Перевести данные в СИ: длину участка в метры, ток в амперы, индукцию в теслы.
2. Записать $F = B I l \sin\alpha$, где $\alpha$ - угол между током и вектором индукции.
3. Подставить числа: сначала произведение $B I l$ (максимальная сила), затем множитель $\sin\alpha$.
4. Направление найти правилом левой руки: поле входит в ладонь, пальцы по току, большой палец показывает силу.
5. Для примера с проводником 0,25 м, током 8 А, полем 0,4 Тл и углом 30 градусов: $B I l = 0{,}8$ Н, $F = 0{,}4$ Н, сила перпендикулярна проводнику и полю.