Как найти частоту колебательного контура: формула Томсона

Дано: колебательный контур из катушки индуктивностью $L = 25$ мГн и конденсатора ёмкостью $C = 100$ нФ, активным сопротивлением пренебрегаем. Найти: период, собственную частоту и циклическую частоту свободных колебаний, а также ёмкость, при которой контур попадёт на частоту 5 кГц.

Всё считается одной формулой Томсона $T = 2\pi\sqrt{LC}$, из которой частота получается как обратная величина к периоду. Ответ выйдет такой: период 314 мкс, собственная частота 3,18 кГц, циклическая частота 20 000 рад/с, а для настройки на 5 кГц ёмкость надо снизить до 40,5 нФ. Калькулятор сверху пересчитывает эти же величины под любые $L$ и $C$ и показывает, как частота зависит от ёмкости.

Решение по шагам

Дано. Сводим условие в таблицу и сразу переводим всё в систему СИ.

Найти: $T$, $f$, $\omega$, $C'$.

Шаг 1. Считаем произведение $LC$ и корень из него. Это самая частая точка ошибки, поэтому вынесем её в отдельный шаг:

$$LC = 0{,}025 \cdot 10^{-7} = 2{,}5 \cdot 10^{-9}\ \text{с}^2, \qquad \sqrt{LC} = 5 \cdot 10^{-5}\ \text{с}.$$

Корень извлёкся ровно, потому что под ним оказалось $25 \cdot 10^{-10}$. В контрольных числа обычно так и подбирают, и если корень получается некрасивым, стоит перепроверить перевод единиц.

Шаг 2. Период по формуле Томсона. Умножаем корень на $2\pi$:

$$T = 2\pi\sqrt{LC} = 2 \cdot 3{,}1416 \cdot 5 \cdot 10^{-5} \approx 3{,}14 \cdot 10^{-4}\ \text{с} = 314\ \text{мкс}.$$

Одно полное колебание длится треть миллисекунды: за это время конденсатор успевает разрядиться, перезарядиться в обратной полярности и вернуться в исходное состояние.

Шаг 3. Собственная частота. Частота обратна периоду, никакой отдельной формулы запоминать не нужно:

$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{3{,}14 \cdot 10^{-4}} \approx 3183\ \text{Гц} \approx 3{,}18\ \text{кГц}.$$

То же самое одной строкой: $f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$. Ответ удобно сразу перевести в килогерцы, потому что контуры почти всегда работают на тысячах и миллионах герц.

Шаг 4. Циклическая частота. Она в $2\pi$ раз больше обычной, а множитель $2\pi$ из формулы Томсона при этом сокращается:

$$\omega = 2\pi f = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{5 \cdot 10^{-5}} = 20\,000\ \text{рад/с}.$$

Круглое число - хороший знак: проверка $\omega = 2\pi \cdot 3183 \approx 20\,000$ сходится.

Шаг 5. Настройка на 5 кГц. Выражаем ёмкость из формулы Томсона, возведя её в квадрат:

$$C' = \frac{1}{4\pi^2 f'^2 L} = \frac{1}{4 \cdot 9{,}87 \cdot (5000)^2 \cdot 0{,}025} \approx 4{,}05 \cdot 10^{-8}\ \text{Ф} = 40{,}5\ \text{нФ}.$$

Проверить можно пропорцией: частота обратно пропорциональна корню из ёмкости, поэтому $C' = C\left(\dfrac{f}{f'}\right)^2 = 100 \cdot \left(\dfrac{3183}{5000}\right)^2 \approx 40{,}5$ нФ. Оба пути дают одно число.

Ответ. $T \approx 314$ мкс, $f \approx 3{,}18$ кГц, $\omega = 20\,000$ рад/с; для настройки на 5 кГц нужен конденсатор ёмкостью $C' \approx 40{,}5$ нФ.

Формула Томсона и откуда она берётся

Формулу не обязательно принимать на веру, она выводится из двух школьных фактов за три строки. Заряд конденсатора создаёт на нём напряжение $u = q/C$, а катушка при изменении тока даёт ЭДС самоиндукции $-L\,\dfrac{di}{dt}$. По второму правилу Кирхгофа для замкнутого контура без сопротивления сумма этих величин равна нулю, а ток есть скорость изменения заряда, $i = \dfrac{dq}{dt}$. Подстановка даёт уравнение

$$L\,\frac{d^2 q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0, \qquad \text{то есть} \qquad \frac{d^2 q}{dt^2} = -\frac{1}{LC}\,q.$$

Это в точности уравнение гармонических колебаний $\ddot q = -\omega^2 q$, и сравнение коэффициентов немедленно даёт $\omega^2 = \dfrac{1}{LC}$. Отсюда циклическая частота $\omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, а период $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{LC}$ - это и есть формула Томсона, названная по имени Уильяма Томсона, лорда Кельвина.

Буквы читаются так: $L$ - индуктивность катушки в генри, она зависит только от геометрии обмотки и сердечника, само понятие разобрано в статье про индуктивность контура; $C$ - ёмкость конденсатора в фарадах. Ни амплитуда колебаний, ни начальный заряд в формулу не входят: контур колеблется на своей частоте независимо от того, насколько сильно его «качнули». Как при этом энергия перетекает между конденсатором и катушкой, подробно разобрано в задачах про энергию в колебательном контуре - здесь она нам не понадобится.

Частота, циклическая частота и период: что с чем не путать

Три величины описывают одно и то же колебание, и половина ошибок в этой теме - подстановка одной вместо другой. Держи в голове таблицу с числами нашего контура.

Частота $f$ отвечает на вопрос «сколько полных колебаний в секунду», а циклическая частота $\omega$ - «на сколько радиан проворачивается фаза за секунду». За одно колебание фаза набирает $2\pi$ радиан, отсюда и множитель. Если в задаче просят «частоту», а ответ ждут в рад/с, речь идёт именно об $\omega$; в герцах ответ всегда меньше в 6,28 раза.

Практическое следствие: в формулу с $\omega$ никогда не подставляют значение в герцах. Именно на этом ломаются расчёты реактивных сопротивлений, где $X_L = \omega L$ - разбор такого расчёта есть в задаче про индуктивное сопротивление.

Настройка контура ёмкостью

Менять частоту проще всего конденсатором: переменный конденсатор дешевле и удобнее перестраиваемой катушки. Зависимость нелинейная - частота обратно пропорциональна корню из ёмкости, и график в калькуляторе сверху круто спадает у малых ёмкостей и почти ложится на ось у больших.

Из таблицы видно рабочее правило: чтобы поднять частоту вдвое, ёмкость надо уменьшить вчетверо, и наоборот. Увеличение $C$ со 100 до 400 нФ ровно вдвое роняет частоту - с 3,18 до 1,59 кГц. То же правило действует и для индуктивности: четырёхкратное увеличение $L$ уменьшает частоту вдвое.

Порядок величин в радиотехнике другой, но арифметика та же. Контур приёмника с катушкой 100 мкГн настраивается на 1 МГц конденсатором примерно в 253 пФ - отсюда и типичные ёмкости переменных конденсаторов в десятки и сотни пикофарад.

Когда формула Томсона перестаёт работать

Формула выведена для идеального контура без сопротивления. Реальный провод катушки сопротивление имеет, колебания затухают, а частота становится чуть меньше:

$$\omega = \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^2}{4L^2}}.$$

Для нашего контура при $R = 100$ Ом циклическая частота падает с 20 000 до 19 900 рад/с - всего на 0,5 %, поэтому в учебных задачах поправкой смело пренебрегают. Но у сопротивления есть критическое значение $R_{\text{кр}} = 2\sqrt{L/C} = 2\sqrt{0{,}025/10^{-7}} = 1000$ Ом: при большем сопротивлении подкоренное выражение становится отрицательным и колебаний не возникает вовсе, заряд просто стекает. Затухание и его количественные меры разобраны в статье про затухающие колебания.

Второй случай, где формулу применяют не по адресу, - вынужденные колебания. Если контур подключён к внешнему генератору, он колеблется на частоте генератора, а формула Томсона даёт лишь ту частоту, на которой отклик максимален. Это и есть резонанс, разобранный в статье про резонанс напряжений в последовательном контуре.

Частые ошибки

• Не переводят приставки. Самая массовая ошибка: 25 мГн подставляют как 25, а 100 нФ как 100. Ответ уезжает на много порядков, поэтому переводить в генри и фарады нужно до подстановки, а не после.
• Путают $f$ и $\omega$. Формула $\omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ даёт рад/с, а $f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ - герцы. Разница ровно в 6,28 раза, и в ответе она выглядит как «ошибка на непонятный множитель».
• Теряют корень при обратной задаче. Из $T = 2\pi\sqrt{LC}$ ёмкость выражается как $C = \dfrac{T^2}{4\pi^2 L}$: период входит в квадрате, и делить надо на $4\pi^2$, а не на $2\pi$.
• Считают, что частота зависит от заряда или напряжения. Ни начальный заряд конденсатора, ни амплитуда тока в формулу не входят. Сильнее зарядили - выше амплитуда, но частота та же.
• Прибавляют период к частоте пропорционально. При увеличении ёмкости в 4 раза частота падает не в 4 раза, а в 2: под корнем стоит произведение $LC$.
• Берут удвоенное время разряда за период. Полное колебание - это четыре четверти: разряд, зарядка в обратной полярности, обратный разряд и возврат. Время от максимального заряда до нуля равно $T/4$, а не $T/2$.

FAQ

Зависит ли частота контура от активного сопротивления? Формально да, но слабо. Точная формула даёт $\omega = \sqrt{\dfrac{1}{LC} - \dfrac{R^2}{4L^2}}$, и пока сопротивление заметно меньше критического $2\sqrt{L/C}$, поправка составляет доли процента. При $R$ больше критического колебательный режим исчезает совсем.

Как найти индуктивность, если известны период и ёмкость? Возведи формулу Томсона в квадрат и вырази: $L = \dfrac{T^2}{4\pi^2 C}$. Например, период 628 мкс при ёмкости 400 нФ даёт как раз $L = 0{,}025$ Гн, то есть исходные 25 мГн нашего контура.

Чем собственная частота отличается от резонансной? Численно для идеального контура это одно и то же значение $\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$. Разница в постановке: собственная частота - частота свободных колебаний без источника, резонансная - частота внешнего сигнала, на которой отклик контура максимален.

Почему в ответе получаются килогерцы, а не герцы? Потому что типичные ёмкости и индуктивности малы: произведение $LC$ порядка $10^{-9}$, корень из него порядка $10^{-5}$ с, значит период - микросекунды, а частота - тысячи герц. Ответ в единицах герц для LC-контура почти всегда означает потерянную приставку.

Коротко

1. Переведи индуктивность в генри, а ёмкость в фарады и найди произведение $LC$, затем корень из него.
2. Период считай по формуле Томсона $T = 2\pi\sqrt{LC}$, частоту - как обратную величину $f = 1/T$.
3. Циклическую частоту бери сразу как $\omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, она в $2\pi$ раз больше частоты в герцах.
4. Обратная задача решается через квадрат: $C = \dfrac{T^2}{4\pi^2 L}$, $L = \dfrac{T^2}{4\pi^2 C}$; чтобы поднять частоту вдвое, ёмкость уменьшают вчетверо.
5. Для контура $L = 25$ мГн и $C = 100$ нФ: $T = 314$ мкс, $f = 3{,}18$ кГц, $\omega = 20\,000$ рад/с, а на 5 кГц он настраивается ёмкостью 40,5 нФ.