Как найти радиус в магнитном поле: разбор задачи

Дано: электрон, масса $m = 9{,}11 \cdot 10^{-31}$ кг, заряд $q = 1{,}6 \cdot 10^{-19}$ Кл; однородное магнитное поле с индукцией $B = 0{,}02$ Тл; скорость $v = 4 \cdot 10^{6}$ м/с направлена перпендикулярно линиям индукции. Найти: радиус окружности $R$, период обращения $T$ и для сравнения радиус протона с такой же кинетической энергией.

Отдельной «формулы радиуса магнитного поля» не существует: радиус получают из второго закона Ньютона, где роль центростремительной силы играет магнитная. Из равенства $qvB = mv^2/R$ радиус выпадает сам, и остаётся подставить числа. Ответ: $R \approx 1{,}14$ мм и $T \approx 1{,}79$ нс, а протон той же энергии опишет окружность радиусом около 4,9 см. Калькулятор сверху пересчитывает ту же задачу для электрона, протона и альфа-частицы и умеет брать за исходное не только скорость, но и энергию или ускоряющее напряжение.

Решение по шагам

Дано.

Шаг 1. Понимаем, почему траектория круговая. Скорость перпендикулярна полю, поэтому модуль магнитной силы постоянен и равен $qvB$. Направлена эта сила всегда поперёк скорости, а значит, она не меняет модуль скорости, а только разворачивает вектор. Постоянная по величине сила, вечно перпендикулярная скорости, и есть определение равномерного движения по окружности. Сама сила Лоренца, её направление и доказательство того, что работы она не совершает, разобраны в статье про силу Лоренца; здесь она нужна только как поставщик центростремительного ускорения.

Шаг 2. Записываем второй закон Ньютона. Центростремительное ускорение равно $v^2/R$, поэтому

$$qvB = \frac{mv^2}{R}.$$

Шаг 3. Выражаем радиус. Сокращаем на $v$ в обеих частях и выражаем $R$:

$$R = \frac{mv}{qB}.$$

Шаг 4. Подставляем числа. Все величины уже в СИ, переводить ничего не нужно:

$$R = \frac{9{,}11 \cdot 10^{-31} \cdot 4 \cdot 10^{6}}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}02} = \frac{3{,}64 \cdot 10^{-24}}{3{,}2 \cdot 10^{-21}} \approx 1{,}14 \cdot 10^{-3}\ \text{м} = 1{,}14\ \text{мм}.$$

Шаг 5. Период и частота. Длина окружности $2\pi R$ проходится с постоянной скоростью $v$, поэтому $T = 2\pi R / v$. Подставив сюда радиус, получаем формулу, в которой скорости уже нет:

$$T = \frac{2\pi m}{qB} = \frac{6{,}28 \cdot 9{,}11 \cdot 10^{-31}}{3{,}2 \cdot 10^{-21}} \approx 1{,}79 \cdot 10^{-9}\ \text{с} = 1{,}79\ \text{нс}.$$

Обратная величина даёт циклотронную частоту $f = 1/T \approx 5{,}6 \cdot 10^{8}$ Гц, то есть 559 МГц, а угловая скорость вращения равна $\omega = qB/m \approx 3{,}5 \cdot 10^{9}$ рад/с.

Шаг 6. Протон той же энергии. Сначала считаем энергию электрона: $W = mv^2/2 = 7{,}29 \cdot 10^{-18}$ Дж, то есть 45,6 эВ. Протон с такой же энергией движется медленнее, потому что тяжелее: $v_{\text{p}} = \sqrt{2W/m_{\text{p}}} \approx 9{,}34 \cdot 10^{4}$ м/с. Его радиус

$$R_{\text{p}} = \frac{m_{\text{p}} v_{\text{p}}}{qB} = \frac{1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 9{,}34 \cdot 10^{4}}{3{,}2 \cdot 10^{-21}} \approx 4{,}88 \cdot 10^{-2}\ \text{м} \approx 4{,}9\ \text{см}.$$

Ответ: радиус электрона $R \approx 1{,}14$ мм, период $T \approx 1{,}79$ нс, частота 559 МГц; протон той же энергии описывает окружность радиусом 4,9 см с периодом 3,28 мкс.

Формула и откуда она берётся

В формуле $R = mv/(qB)$ буквы значат ровно то, что написано: $m$ - масса частицы в килограммах, $v$ - модуль скорости в метрах за секунду, $q$ - модуль заряда в кулонах, $B$ - индукция поля в теслах. Радиус получается в метрах, и никаких дополнительных коэффициентов в формуле нет - это прямое следствие того, что она выведена из второго закона Ньютона, а не подобрана эмпирически.

Числитель $mv$ - это импульс частицы, поэтому формулу часто пишут в виде $R = p/(qB)$. Такая запись удобна в ядерной физике и в задачах на камеру Вильсона: там по кривизне трека сразу читают импульс, не зная ни массы, ни скорости по отдельности. Произведение $qB$ в знаменателе показывает, насколько сильно поле «хватается» за частицу: чем больше заряд и чем гуще линии индукции, тем круче поворот.

Отсюда же видно, почему период не зависит от скорости. Ускоряя частицу вдвое, мы вдвое увеличиваем и радиус, и длину окружности, но проходит она её вдвое быстрее - время оборота остаётся прежним. На этом свойстве построен циклотрон: ускоряющее напряжение между дуантами меняет знак с постоянной частотой, и частица попадает в такт на каждом витке, хотя её орбита раз за разом растёт.

Если индукция в условии не дана, а поле создаёт виток, соленоид или прямой провод, её сначала находят по своей формуле - этому посвящён отдельный разбор о том, как найти индукцию магнитного поля, и только потом полученное значение подставляют в $R = mv/(qB)$.

Электрон и протон при одной энергии

Сравнение двух частиц - любимый пункт экзаменационных задач, и ответ зависит от того, что именно у них общее. Если одинакова скорость, то радиусы относятся как $m/q$: протон тяжелее электрона в 1836 раз при том же заряде, поэтому и радиус у него больше во столько же раз. Если одинакова кинетическая энергия, скорость надо выразить через неё: $v = \sqrt{2W/m}$, откуда

$$R = \frac{\sqrt{2mW}}{qB}.$$

Теперь масса стоит под корнем, и разница сокращается: радиус растёт не в 1836, а в $\sqrt{1836} \approx 42{,}8$ раза. Именно это число и получилось в шаге 6: 1,14 мм против 4,88 см.

Период ведёт себя иначе: он пропорционален $m/q$ и от энергии не зависит совсем, поэтому отношение периодов равно отношению масс - те самые 1833 раза (округление констант до трёх значащих цифр слегка сдвигает табличное 1836). Запомнить разницу просто: под корень масса попадает только там, где скорость приходится доставать из энергии.

Если вместо скорости дано напряжение

Частицу редко запускают в поле с готовой скоростью - обычно её разгоняют разностью потенциалов $U$. Тогда вся работа электрического поля уходит в кинетическую энергию, $qU = mv^2/2$, и формула радиуса превращается в

$$R = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}.$$

Скорость при этом считать необязательно, хотя через неё решать тоже можно. Пример: электрон разогнали напряжением 500 В и запустили поперёк поля 0,01 Тл. Скорость выходит $v = \sqrt{2qU/m} \approx 1{,}33 \cdot 10^{7}$ м/с, радиус $R = mv/(qB) \approx 7{,}5$ мм, период $T \approx 3{,}58$ нс, частота около 280 МГц. Переключи калькулятор сверху в режим «задано напряжение» - он даст те же числа и покажет корневую зависимость радиуса от $U$ на графике.

Если частица влетает в поле не под прямым углом, а под углом $\alpha$, скорость раскладывают на две составляющие. Поперечная $v_\perp = v\sin\alpha$ закручивает частицу, и в формулу радиуса идёт именно она: $R = mv\sin\alpha/(qB)$. Продольная составляющая полем не управляется и равномерно сносит частицу вдоль линий индукции, превращая окружность в винтовую линию с шагом $h = v\cos\alpha \cdot T$.

Частые ошибки

• Миллитеслы и сантиметры оставляют как есть. Индукцию в мТл надо делить на 1000, а полученный радиус переводить в миллиметры уже после расчёта: 20 мТл вместо 0,02 Тл завышают радиус в тысячу раз.
• Считают, что период зависит от скорости. В $T = 2\pi m/(qB)$ скорости нет. Если в ответе период меняется при изменении $v$, где-то потеряно сокращение.
• При одинаковой энергии сравнивают радиусы как отношение масс. Правильное отношение - корень из масс: 42,8, а не 1836. Как отношение масс сравниваются радиусы при одинаковой скорости.
• Забывают кратность заряда у ионов. У альфа-частицы $q = 2e$ и $m \approx 4$ а.е.м., у однократно ионизованного атома $q = e$. Подстановка элементарного заряда вместо $2e$ даёт радиус вдвое больше истинного.
• Путают радиус и диаметр. В задачах на влёт частицы через границу поля («на каком расстоянии от точки входа частица вылетит обратно») ответом служит $2R$, а не $R$.
• Берут полную скорость при наклонном влёте. При угле $\alpha$ в формулу идёт только поперечная составляющая $v\sin\alpha$, иначе радиус завышен.

FAQ

Почему период обращения не зависит от скорости? Потому что радиус растёт пропорционально скорости: быстрая частица проходит более длинный круг, но и проходит его быстрее. В формуле $T = 2\pi R/v$ скорость сокращается, остаётся только отношение массы к произведению заряда на индукцию.

Как найти радиус, если энергия дана в электронвольтах? Переведи её в джоули, умножив на $1{,}6 \cdot 10^{-19}$, и подставь в $R = \sqrt{2mW}/(qB)$. Для 45,6 эВ это $7{,}29 \cdot 10^{-18}$ Дж. Распространённая ошибка - подставлять в формулу число в электронвольтах напрямую.

Что делать, если известен радиус, а найти надо индукцию или скорость? Формула одна, просто выражается другая буква: $B = mv/(qR)$ или $v = qBR/m$. Именно так по кривизне трека в пузырьковой камере определяют импульс и знак заряда частицы.

Когда классическая формула перестаёт работать? Когда скорость приближается к скорости света: примерно с 10 % от $c$ погрешность становится заметной, и вместо массы покоя нужно брать $m/\sqrt{1 - v^2/c^2}$. Для электрона это соответствует энергии порядка 2,5 кэВ, для протона - нескольким МэВ.

Коротко

1. Приравняй магнитную силу к центростремительной: $qvB = mv^2/R$, отсюда $R = mv/(qB)$.
2. Переведи всё в СИ: теслы, кулоны, килограммы, метры в секунду. Миллитеслы и сантиметры - главный источник ошибок в ответе.
3. Период считай по $T = 2\pi m/(qB)$: он не зависит ни от скорости, ни от радиуса, а частота равна $f = 1/T$.
4. Если дана энергия или напряжение, используй $R = \sqrt{2mW}/(qB)$ или $R = \frac{1}{B}\sqrt{2mU/q}$.
5. Для электрона в поле 0,02 Тл при скорости $4 \cdot 10^{6}$ м/с: $R \approx 1{,}14$ мм, $T \approx 1{,}79$ нс, $f \approx 559$ МГц; протон той же энергии даёт 4,9 см и 3,28 мкс.