Как найти угловую скорость вращения: пошаговое решение

Дано: шкив диаметром $D = 40$ см вращается с частотой $n = 1200$ об/мин, затем равнозамедленно останавливается за $t = 8$ с. Найти: угловую скорость, линейную скорость точки обода и угловое ускорение.

Угловая скорость считается из частоты по формуле $\omega = 2\pi\nu$, линейная скорость точки обода - из связи $v = \omega R$, угловое ускорение - из определения $\varepsilon = \Delta\omega / \Delta t$. Ответ: $\omega_0 \approx 125{,}7$ рад/с, $v \approx 25{,}13$ м/с, $\varepsilon \approx -15{,}7$ рад/с², за время торможения шкив делает 80 оборотов. Калькулятор сверху пересчитает эти величины под другие обороты, радиус и время остановки, ниже разобран каждый шаг.

Решение по шагам

Дано.

Найти: угловую скорость $\omega_0$, линейную скорость точки обода $v$, угловое ускорение $\varepsilon$ и число оборотов до остановки $N$.

Шаг 1. Переводим данные в СИ. Радиус вдвое меньше диаметра, а сантиметры переводим в метры:

$$R = \frac{D}{2} = \frac{40}{2} = 20 \ \text{см} = 0{,}2 \ \text{м}.$$

Частоту переводим из оборотов в минуту в обороты за секунду, то есть в герцы, - для этого делим на 60:

$$\nu = \frac{n}{60} = \frac{1200}{60} = 20 \ \text{об/с}.$$

Шаг 2. Находим период одного оборота. Период и частота обратны друг другу:

$$T = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{20} = 0{,}05 \ \text{с}.$$

За одну двадцатую секунды шкив успевает повернуться на полный круг.

Шаг 3. Считаем угловую скорость. За один оборот тело поворачивается на угол $2\pi$ радиан, и происходит это за время $T$:

$$\omega_0 = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 20 = 40\pi \approx 125{,}7 \ \text{рад/с}.$$

Тот же результат получается сразу из оборотов в минуту, если объединить деление на 60 и умножение на $2\pi$:

$$\omega_0 = \frac{\pi n}{30} = \frac{\pi \cdot 1200}{30} = 40\pi \approx 125{,}7 \ \text{рад/с}.$$

Шаг 4. Находим линейную скорость точки обода. Точка на расстоянии $R$ от оси движется со скоростью

$$v = \omega_0 R = 125{,}66 \cdot 0{,}2 \approx 25{,}13 \ \text{м/с},$$

то есть около 90,5 км/ч. Для точки на середине радиуса скорость вдвое меньше - 12,57 м/с, хотя угловая скорость у неё та же самая.

Шаг 5. Считаем угловое ускорение. Торможение равнозамедленное, значит угловое ускорение постоянно и равно изменению угловой скорости, делённому на время:

$$\varepsilon = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{0 - 125{,}66}{8} \approx -15{,}7 \ \text{рад/с}^2.$$

Знак минус означает, что вектор углового ускорения направлен против вращения: шкив замедляется, а не разгоняется.

Шаг 6. Считаем число оборотов до остановки. При равнозамедленном вращении средняя угловая скорость равна половине начальной, поэтому угол поворота

$$\varphi = \frac{\omega_0 t}{2} = \frac{125{,}66 \cdot 8}{2} \approx 502{,}7 \ \text{рад}, \qquad N = \frac{\varphi}{2\pi} = \frac{502{,}7}{6{,}283} = 80.$$

Ответ. Начальная угловая скорость $\omega_0 \approx 125{,}7$ рад/с, линейная скорость точки обода $v \approx 25{,}13$ м/с, угловое ускорение $\varepsilon \approx -15{,}7$ рад/с², число оборотов до остановки $N = 80$.

Формула и откуда она берётся

Угловая скорость - это скорость поворота, то есть угол, на который поворачивается радиус-вектор точки за единицу времени:

$$\omega = \frac{\Delta\varphi}{\Delta t}, \qquad \omega = \frac{d\varphi}{dt}.$$

Угол здесь обязательно измеряется в радианах, а не в градусах, и это ключевая деталь. Радиан определён как отношение длины дуги к радиусу, поэтому величина безразмерная, а единицей угловой скорости фактически служит обратная секунда. Записывают её всё же как рад/с, чтобы не путать со скоростью счёта событий или частотой в герцах.

Дальше всё выводится в одну строку. Полный оборот - это угол $2\pi$ радиан, он проходится за период $T$, а за секунду таких оборотов происходит $\nu = 1/T$ штук. Отсюда сразу три равносильные записи одной формулы:

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\nu = \frac{\pi n}{30},$$

где последняя удобна, когда обороты даны в минуту: множитель $\pi/30 \approx 0{,}105$ и есть коэффициент перевода из об/мин в рад/с. Обратный переход - умножение на $30/\pi \approx 9{,}55$.

Связь с линейной скоростью получается из длины дуги. Точка на радиусе $R$ за один оборот проходит путь $2\pi R$ за время $T$, значит

$$v = \frac{2\pi R}{T} = \omega R.$$

Именно эта формула объясняет, почему на обод колеса приходится большая скорость, чем на его ступицу, при одном и том же вращении. Подробный разбор кинематики движения по окружности с периодом, частотой и центростремительным ускорением есть в статье про равномерное движение по окружности, а здесь важно только то, что нужно для расчёта.

Если вращение задано не оборотами в минуту

В условиях задач частоту прячут за самыми разными формулировками, но формула каждый раз одна и та же. Сводка переходов:

Последняя строка нужна, когда вращение неравномерное. Например, при законе $\varphi(t) = 2t^3 + 5t$ угловая скорость равна $\omega(t) = 6t^2 + 5$ и в момент $t = 2$ с составляет 29 рад/с. Такой же приём с дифференцированием применяется при разборе движения точки по траектории: как из закона движения получить скорость и ускорение, показано в задаче про ускорение точки.

Отдельный случай - качение колеса без проскальзывания. Тогда скорость центра колеса и есть линейная скорость точки обода относительно центра, поэтому $\omega = v / R$. Для колеса радиусом 0,32 м при скорости 72 км/ч, то есть 20 м/с, получаем $\omega = 20 / 0{,}32 = 62{,}5$ рад/с, что соответствует 597 об/мин.

Угловая и линейная скорость: в чём разница

Главное отличие видно на втором графике калькулятора. Угловая скорость одинакова для всех точек жёсткого тела: и точка у самой оси, и точка на ободе за один оборот поворачиваются на один и тот же угол $2\pi$ за одно и то же время. Линейная скорость растёт пропорционально расстоянию до оси и обращается в ноль на самой оси.

Из-за этого угловая скорость удобнее как характеристика тела: она описывает вращение целиком, а не отдельную точку. Именно её передают по кинематической цепи привода, пересчитывая через передаточные числа, - см. разбор задачи про передаточное число редуктора.

Ещё одна величина, которая зависит от радиуса, - центростремительное ускорение точки:

$$a_n = \omega^2 R = 125{,}66^2 \cdot 0{,}2 \approx 3158 \ \text{м/с}^2.$$

Это более трёхсот ускорений свободного падения, и именно такие цифры заставляют считать прочность быстро вращающихся дисков. Через угловую скорость выражаются также момент импульса и кинетическая энергия тела, но это уже динамика вращательного движения, а не кинематика.

Проверка ответа

Проверять такие задачи стоит двумя независимыми способами. Первый - обратный перевод: делим найденную угловую скорость на $2\pi$ и получаем $125{,}66 / 6{,}283 = 20$ оборотов за секунду, то есть ровно 1200 об/мин из условия. Если после обратного перевода не получается исходное число, где-то потерян множитель 60 или $2\pi$.

Второй способ - счёт оборотов через среднюю частоту. За 8 с равнозамедленного торможения средняя частота вращения равна половине начальной, то есть 10 об/с, и всего получается $10 \cdot 8 = 80$ оборотов. Это совпадает с результатом шага 6, где угол считался в радианах.

Полезна и оценка порядка величины. Для бытовых механизмов угловая скорость лежит в диапазоне от единиц до сотен рад/с: минутная стрелка часов даёт около 0,0017 рад/с, колесо автомобиля в городском потоке - около 60 рад/с, шпиндель станка - сотни рад/с. Если в ответе получились тысячи рад/с при обычных оборотах, почти наверняка обороты не поделили на 60.

Частые ошибки

• Не переводят обороты в минуту в обороты в секунду. Подстановка $\omega = 2\pi \cdot 1200$ даёт 7540 рад/с вместо 125,7: результат завышен ровно в 60 раз. Деление на 60 удобно объединить с $2\pi$ в готовый множитель $\pi/30$.
• Считают угол в градусах. Формула $v = \omega R$ верна только для радианной меры. Если угловую скорость посчитали в градусах в секунду, её надо умножить на $\pi/180$, прежде чем подставлять.
• Путают частоту и угловую скорость. Частота 20 Гц и угловая скорость 20 рад/с - разные величины, различаются множителем $2\pi$. В ответе всегда указывайте единицы.
• Берут диаметр вместо радиуса. В формулу $v = \omega R$ входит радиус, поэтому 40 см из условия нужно сначала поделить пополам: с диаметром линейная скорость удваивается.
• Теряют знак углового ускорения. При торможении $\varepsilon$ отрицательно, если за положительное направление принято направление вращения. Модуль 15,7 рад/с² и значение $-15{,}7$ рад/с² отвечают на разные вопросы.
• Считают угол поворота как $\omega_0 t$. При равнозамедленном вращении угол равен $\omega_0 t / 2$, потому что скорость падает от начальной до нуля. Формула $\varphi = \omega t$ работает только для равномерного вращения.

FAQ

Почему угловую скорость измеряют в рад/с, а не в об/мин? Обороты в минуту - практическая единица, она стоит на шильдиках двигателей и в каталогах. Но в формулы механики входит именно радианная мера: только с ней верны соотношения $v = \omega R$ и $a_n = \omega^2 R$. Поэтому обороты переводят в рад/с умножением на $\pi/30$.

Как быстро перевести об/мин в рад/с в уме? Умножить на 0,105 или, что проще, поделить на 10 и вычесть примерно 5 процентов. Для 1200 об/мин получается 120 минус 5 процентов, то есть около 126 рад/с - совпадает с точным ответом 125,7.

Зависит ли угловая скорость от радиуса? Нет. У всех точек жёстко вращающегося тела угловая скорость одинакова, от радиуса зависит только линейная скорость $v = \omega R$ и центростремительное ускорение $a_n = \omega^2 R$. Если в задаче угловая скорость получилась разной для двух точек одного тела, где-то ошибка.

Как найти угловую скорость при неравномерном вращении? Через производную угла по времени: $\omega(t) = d\varphi / dt$. Если задано постоянное угловое ускорение, работает формула $\omega = \omega_0 + \varepsilon t$, а угол считается как $\varphi = \omega_0 t + \varepsilon t^2 / 2$.

Коротко

1. Перевести данные в СИ: радиус в метры, частоту из об/мин в об/с делением на 60.
2. Найти угловую скорость по любой из равносильных формул: $\omega = 2\pi / T = 2\pi\nu = \pi n / 30 = v / R$.
3. Линейную скорость точки получить как $v = \omega R$, центростремительное ускорение как $a_n = \omega^2 R$.
4. Угловое ускорение при равнопеременном вращении найти как $\varepsilon = (\omega - \omega_0)/t$, а угол поворота как $\varphi = (\omega_0 + \omega) t / 2$.
5. Для примера с шкивом: $\omega_0 \approx 125{,}7$ рад/с, $v \approx 25{,}13$ м/с, $\varepsilon \approx -15{,}7$ рад/с², 80 оборотов до остановки.