Как применить закон сохранения энергии: решение

Дано: масса $m = 2$ кг, высота горки $h = 1{,}8$ м, начальная скорость $v_0 = 0$, спуск гладкий, на горизонтальном участке коэффициент трения $\mu = 0{,}25$, ускорение свободного падения $g = 9{,}8$ м/с². Закон сохранения энергии применяется тут дважды: на гладком спуске весь запас потенциальной энергии переходит в кинетическую, на горизонтали вся кинетическая уходит в работу силы трения. Ответ получится такой: скорость у основания $v \approx 5{,}94$ м/с, путь до остановки $s = 7{,}2$ м. Калькулятор сверху считает эти же величины для любых своих значений массы, высоты и коэффициента трения.

Решение по шагам

Нулевой уровень потенциальной энергии удобно положить на горизонтальном участке. Тогда внизу потенциальная энергия равна нулю, а наверху она максимальна. Тело на вершине покоится, значит вся его механическая энергия сейчас потенциальная, и именно она и есть весь бюджет задачи.

Шаг 1. Считаем запас энергии на вершине.

$$E = mgh = 2 \cdot 9{,}8 \cdot 1{,}8 = 35{,}28\ \text{Дж}.$$

Больше 35,28 Дж тело взять неоткуда: дальше этот запас только перераспределяется между кинетической энергией и теплом.

Шаг 2. Спуск по гладкой горке. Трения на спуске нет, внешних сил, кроме тяжести и нормальной реакции, тоже: реакция перпендикулярна скорости и работы не совершает. Значит полная механическая энергия сохраняется, и в нижней точке весь запас стал кинетическим:

$$mgh = \frac{mv^2}{2} \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{2gh}.$$

Масса сократилась, и это не случайность: скорость у основания гладкой горки не зависит ни от массы, ни от формы склона. Важна только разность высот. Подставляем числа:

$$v = \sqrt{2 \cdot 9{,}8 \cdot 1{,}8} = \sqrt{35{,}28} \approx 5{,}94\ \text{м/с}.$$

Шаг 3. Находим силу трения на горизонтали. На горизонтальном участке нормальная реакция равна весу тела, поэтому

$$F_{\text{тр}} = \mu N = \mu m g = 0{,}25 \cdot 2 \cdot 9{,}8 = 4{,}9\ \text{Н}.$$

Шаг 4. Ищем путь до остановки. Тело встанет, когда трение израсходует всю кинетическую энергию. Работа силы трения равна $F_{\text{тр}} s$, приравниваем её кинетической энергии:

$$\frac{mv^2}{2} = \mu m g s \quad \Rightarrow \quad s = \frac{v^2}{2\mu g} = \frac{h}{\mu}.$$ $$s = \frac{35{,}28}{4{,}9} = \frac{1{,}8}{0{,}25} = 7{,}2\ \text{м}.$$

Ответ: $v \approx 5{,}94$ м/с, $s = 7{,}2$ м.

Проверить результат можно вторым способом, через кинематику. На горизонтали ускорение торможения $a = \mu g = 2{,}45$ м/с², а тормозной путь при равнозамедленном движении равен $v^2/(2a) = 35{,}28/4{,}9 = 7{,}2$ м. Совпало, значит арифметика верна.

Формула и откуда она берётся

Полная механическая энергия тела складывается из кинетической и потенциальной:

$$E = E_{\text{к}} + E_{\text{п}} = \frac{mv^2}{2} + mgh.$$

Закон сохранения энергии в механике звучит так: если на тело действуют только потенциальные силы (тяжести, упругости), полная механическая энергия не меняется. Энергия при этом никуда не исчезает, она просто перекладывается из одного кармана в другой: тело падает, высота уменьшается, скорость растёт.

Как только появляется непотенциальная сила вроде трения или сопротивления воздуха, формулировка расширяется. Изменение полной механической энергии равно работе таких сил:

$$E_2 - E_1 = A_{\text{нп}}.$$

Работа силы трения всегда отрицательна, потому что сила направлена против перемещения. Поэтому энергия убывает, и убывает ровно на количество выделившегося тепла. Записывать это удобнее в положительном виде: запас в начале равен запасу в конце плюс потери, то есть $E_1 = E_2 + Q_{\text{тр}}$. Именно эта строчка и стоит за шагом 4.

Отсюда же понятен смысл простой формулы $s = h/\mu$: высота, с которой тело спустилось, и коэффициент трения полностью определяют тормозной путь. Масса выпала с обеих сторон, потому что и запас энергии, и сила трения пропорциональны ей.

Маятник: та же схема через высоту подъёма

Второй классический сюжет на закон сохранения энергии выглядит иначе, но решается тем же способом. Шар на нити длиной $L = 1{,}2$ м отклонили на угол $\alpha = 60^\circ$ и отпустили. Найти скорость в нижней точке.

Всё, что нужно, это высота подъёма шара относительно нижней точки. Нить задаёт её через угол:

$$h = L(1 - \cos\alpha) = 1{,}2 \cdot (1 - 0{,}5) = 0{,}6\ \text{м}.$$

Дальше буквально шаг 2 из разбора выше: нить работы не совершает, она всё время перпендикулярна скорости, трения нет, значит

$$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}6} \approx 3{,}43\ \text{м/с}.$$

Сила натяжения в нижней точке считается уже не энергией, а вторым законом Ньютона для движения по окружности: $T - mg = mv^2/L$, откуда $T = mg(3 - 2\cos\alpha)$. При $\alpha = 60^\circ$ это ровно $2mg$. Период колебаний такого маятника энергия не даёт, его считают отдельно, и разобран он в статье про задачи на математический маятник.

Что меняется, если данные другие

Тело толкнули сверху. Если на вершине была скорость $v_0 = 3$ м/с, запас растёт: $E = mgh + mv_0^2/2 = 35{,}28 + 9 = 44{,}28$ Дж. Тогда $v = \sqrt{2gh + v_0^2} \approx 6{,}65$ м/с, а путь до остановки $s = E/(\mu m g) = 9{,}04$ м. В калькуляторе за это отвечает ползунок начальной скорости.

Трение есть и на спуске. Тогда на склоне нормальная реакция равна $mg\cos\alpha$, и работа трения считается по длине склона, а не по высоте. Подробный разбор такого случая с наклонной плоскостью лежит в статье энергия при движении по наклонной с трением, там же выведена формула скорости у основания склона.

Разгоняет не тяжесть, а пружина. Схема не меняется, меняется только вид потенциальной энергии: вместо $mgh$ пишем $kx^2/2$. Груз 0,5 кг, сжавший пружину жёсткостью 400 Н/м на 6 см, получит $E = 0{,}72$ Дж и скорость около 1,70 м/с. Разбор таких условий собран в материале про потенциальную энергию деформированной пружины.

Тело не скользит, а катится. Для шара или цилиндра часть запаса уходит во вращение, и в баланс добавляется слагаемое $I\omega^2/2$. Скорость у основания получается меньше, чем у скользящего тела с той же высоты. Как считается вращательная часть, показано в разборе угловой скорости вращения.

Частые ошибки

• Считают высоту по длине склона. В $mgh$ подставляют длину наклонной плоскости, а не вертикальную высоту. Если дан угол, высота равна $l\sin\alpha$, а для маятника $L(1 - \cos\alpha)$.
• Ищут скорость через силы, когда горка кривая. На криволинейном спуске ускорение непостоянно, и кинематические формулы не работают. Энергия работает всегда, ей нужна только разность высот.
• Забывают, что трение забирает энергию безвозвратно. Тепло обратно в механику не возвращается, поэтому писать $mgh = mv^2/2$ на участке с трением нельзя.
• Путают нормальную реакцию на склоне и на горизонтали. На горизонтали $N = mg$, на наклонной $N = mg\cos\alpha$. Отсюда разная сила трения.
• Теряют начальную кинетическую энергию. Если тело пустили с толчком, слагаемое $mv_0^2/2$ входит в запас и заметно меняет и скорость, и тормозной путь.
• Берут нулевой уровень в одной точке, а высоту отсчитывают от другой. Нулевой уровень выбирается один раз на всю задачу, дальше все высоты считаются от него.

FAQ

Зависит ли скорость у основания от массы тела? Нет. В равенстве $mgh = mv^2/2$ масса сокращается, поэтому $v = \sqrt{2gh}$ одинакова для лёгкого и тяжёлого тела. То же и с тормозным путём: $s = h/\mu$ массы не содержит. Масса появится, только если нужна энергия в джоулях или сила трения в ньютонах.

Когда закон сохранения энергии применять нельзя? Формально он применим всегда, вопрос лишь в том, все ли виды энергии учтены. В механике нельзя писать $E_1 = E_2$, если действуют трение, сопротивление среды или удар: там часть энергии уходит в тепло и деформацию. В этом случае используют расширенную запись $E_1 = E_2 + Q$.

Что взять за нулевой уровень потенциальной энергии? Любую горизонталь, обычно самую нижнюю точку траектории. Выбор не влияет на ответ, потому что в задачу входит только разность высот. Главное не менять уровень по ходу решения.

Почему форма горки не важна, а длина пути на горизонтали важна? Работа силы тяжести зависит только от разности высот, это свойство потенциальной силы. Работа силы трения зависит от длины пройденного пути, потому что трение непотенциально: чем длиннее дорога, тем больше потери.

Коротко

1. Выбери нулевой уровень высоты и выпиши полную механическую энергию в начальной и конечной точках.
2. Если непотенциальных сил нет, приравняй энергии: $mgh = mv^2/2$, откуда $v = \sqrt{2gh}$.
3. Если есть трение, добавь потери: начальная энергия равна конечной плюс $\mu m g s$.
4. Подставь числа и проверь ответ вторым способом, через кинематику или динамику.
5. Для условия задачи получается $v = \sqrt{2 \cdot 9{,}8 \cdot 1{,}8} \approx 5{,}94$ м/с и $s = 1{,}8/0{,}25 = 7{,}2$ м.