Как найти работу изотермического процесса: решение

Дано: идеальный газ, $\nu = 2$ моль, температура $T = 300$ К постоянна, объём растёт с $V_1 = 5$ л до $V_2 = 15$ л. Найти: работу газа $A$, количество теплоты $Q$ и изменение внутренней энергии $\Delta U$.

Работа считается по формуле $A = \nu R T \ln (V_2 / V_1)$: давление вдоль изотермы меняется, поэтому произведение $p \, \Delta V$ здесь не подходит и в формуле появляется логарифм отношения объёмов. Ответ: $A \approx 5480$ Дж, то есть около $5{,}48$ кДж; $Q = A \approx 5{,}48$ кДж; $\Delta U = 0$.

Калькулятор сверху пересчитывает эти величины под любые свои числа и закрашивает площадь под изотермой, которая и равна работе. Ниже разобрано, как ответ получается вручную.

Решение по шагам

Дано.

Найти: $A$, $Q$, $\Delta U$.

Шаг 1. Проверяем, что происходит с внутренней энергией. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, а температура в изотермическом процессе не меняется:

$$\Delta U = \frac{i}{2} \nu R \, \Delta T = 0, \qquad \text{так как } \Delta T = 0.$$

Это ключевой шаг: он избавляет от необходимости знать число степеней свободы $i$, то есть от вопроса, одноатомный газ в сосуде или двухатомный. Для изотермы ответ одинаков.

Шаг 2. Записываем формулу работы. Для изотермического процесса работа газа равна

$$A = \nu R T \ln \frac{V_2}{V_1}.$$

Шаг 3. Подставляем числа. Удобно сначала посчитать множитель $\nu R T$ - это одновременно и произведение $p V$ в любой точке изотермы:

$$\begin{aligned} \nu R T &= 2 \cdot 8{,}314 \cdot 300 = 4988{,}4\ \text{Дж}, \\ \frac{V_2}{V_1} &= \frac{15}{5} = 3, \qquad \ln 3 \approx 1{,}0986, \\ A &= 4988{,}4 \cdot 1{,}0986 \approx 5480\ \text{Дж}. \end{aligned}$$

Переводить литры в кубометры здесь не пришлось: под логарифмом стоит отношение объёмов, и единицы сокращаются. Главное, чтобы оба объёма были в одних и тех же единицах.

Шаг 4. Находим теплоту через первое начало термодинамики. Подставляем $\Delta U = 0$ в закон сохранения энергии для газа:

$$Q = \Delta U + A = 0 + A = A \approx 5480\ \text{Дж} \approx 5{,}48\ \text{кДж}.$$

Вся подведённая теплота ушла в работу: газ не нагрелся ни на градус, но толкнул поршень. Подробный разбор самого закона есть в статье про первое начало термодинамики.

Шаг 5. Считаем давления для контроля. Они в условии не спрашивались, но дают быструю проверку:

$$p_1 = \frac{\nu R T}{V_1} = \frac{4988{,}4}{5 \cdot 10^{-3}} = 997\,680\ \text{Па} \approx 998\ \text{кПа}, \qquad p_2 = \frac{\nu R T}{V_2} = \frac{4988{,}4}{15 \cdot 10^{-3}} = 332\,560\ \text{Па} \approx 333\ \text{кПа}.$$

Произведения совпадают: $997{,}68 \cdot 5 = 332{,}56 \cdot 15 = 4988{,}4$ (кПа·л), как и требует постоянство температуры на всём процессе.

Ответ: $A = Q \approx 5480$ Дж $\approx 5{,}48$ кДж, $\Delta U = 0$.

Формула работы изотермы и откуда берётся логарифм

Работа газа в любом процессе - это интеграл давления по объёму, то есть площадь под кривой процесса на диаграмме $p$–$V$. На изотерме давление выражается из уравнения состояния как $p = \nu R T / V$, причём $\nu R T$ - постоянный множитель, который выносится за знак интеграла:

$$A = \int_{V_1}^{V_2} p \, dV = \nu R T \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V} = \nu R T \ln \frac{V_2}{V_1}.$$

Логарифм берётся именно отсюда: первообразная от $1/V$ - натуральный логарифм, а не степень. Отсюда же следует, что работа зависит не от разности объёмов, а от их отношения: расширение с 1 л до 3 л и с 5 л до 15 л при одной температуре и одном количестве газа дают одинаковую работу.

У формулы три равноправных записи, и выбирать нужно ту, под которую есть данные:

$$A = \nu R T \ln \frac{V_2}{V_1} = p_1 V_1 \ln \frac{V_2}{V_1} = \nu R T \ln \frac{p_1}{p_2}.$$

Вторая форма удобна, когда в условии даны давление и объём начального состояния, но нет ни количества вещества, ни температуры: произведение $p_1 V_1$ уже равно $\nu R T$. Третья появляется, когда состояния заданы давлениями: по закону Бойля-Мариотта отношение объёмов равно обратному отношению давлений, поэтому $V_2 / V_1 = p_1 / p_2$. Сам закон и его график разобраны в статье про закон Бойля-Мариотта.

Если в условии масса газа или давления

Замена данных не меняет метод, а добавляет одно действие перед основной формулой.

Дана масса. Количество вещества находится как $\nu = m / M$, где $M$ - молярная масса. Кислород массой $m = 64$ г имеет $M = 32$ г/моль, значит $\nu = 64 / 32 = 2$ моль - ровно то количество, что в разобранной задаче, и ответ будет тем же: $A \approx 5480$ Дж. Молярную массу берут в граммах на моль, а массу в граммах, иначе результат уедет в тысячу раз. В калькуляторе сверху для этого есть переключатель: количество вещества можно задать напрямую или через массу и выбранный газ.

Даны давления. Пусть газ расширяется от $p_1 = 998$ кПа до $p_2 = 333$ кПа при тех же $\nu$ и $T$. Тогда

$$A = \nu R T \ln \frac{p_1}{p_2} = 4988{,}4 \cdot \ln \frac{998}{333} \approx 4988{,}4 \cdot 1{,}0976 \approx 5475\ \text{Дж},$$

то есть те же $5{,}48$ кДж с точностью до округления давлений. Расхождение в несколько джоулей - след округления давлений, а не ошибка метода.

Даны объёмы и одно давление. Работайте по форме $A = p_1 V_1 \ln (V_2 / V_1)$, но обязательно переведите давление в паскали, а объём в кубометры: только тогда произведение $p_1 V_1$ получится в джоулях.

Изотермическое сжатие: знак работы

Если газ не расширяют, а сжимают, формула не меняется - меняется знак логарифма. Сожмём тот же газ обратно, с 15 л до 5 л:

$$A = \nu R T \ln \frac{5}{15} = 4988{,}4 \cdot \ln \frac{1}{3} \approx -5480\ \text{Дж}.$$

Отрицательная работа газа означает, что работу совершают над ним внешние силы: $A_{\text{внеш}} = -A \approx +5480$ Дж. Теплота при этом тоже отрицательна, $Q = A \approx -5480$ Дж, то есть газ отдаёт теплоту термостату. Иначе он нагрелся бы, а по условию температура постоянна.

Именно на этой паре процессов построен цикл Карно: изотермическое расширение при высокой температуре даёт положительную работу, изотермическое сжатие при низкой отбирает меньшую по модулю. Для сравнения полезно помнить и соседний случай: в изобарном процессе давление постоянно, и работа считается без логарифма, как $A = p \, \Delta V$.

Как проверить ответ за десять секунд

Площадь под гиперболой всегда зажата между двумя прямоугольниками: со сторонами $p_{\min}$ и $\Delta V$ снизу и $p_{\max}$ и $\Delta V$ сверху. Для разобранной задачи $\Delta V = 0{,}01\ \text{м}^3$, поэтому

$$p_2 \, \Delta V \approx 3326\ \text{Дж} < A \approx 5480\ \text{Дж} < p_1 \, \Delta V \approx 9977\ \text{Дж}.$$

Ответ попал в коридор - грубой ошибки в порядке величины нет. Если результат вылез за границы, ищите потерянный множитель или перепутанные единицы; калькулятор сверху показывает этот коридор рядом с ответом.

Второй быстрый контроль - прикидка логарифма в уме. Полезно помнить, что $\ln 2 \approx 0{,}69$, $\ln 3 \approx 1{,}1$, $\ln 10 \approx 2{,}3$. Умножив $4988 \cdot 1{,}1$, получаем около $5490$ Дж - совпадает с точным ответом в пределах процента.

Частые ошибки

• Считают работу как $p \, \Delta V$. Это формула изобары. На изотерме давление падает по мере расширения, и произведение $p \, \Delta V$ даёт завышенный или заниженный результат в зависимости от того, какое из двух давлений подставили.
• Берут десятичный логарифм вместо натурального. В формуле стоит $\ln$, а не $\lg$. Ответ окажется меньше правильного в $2{,}3$ раза, причём выглядеть будет правдоподобно.
• Переворачивают отношение объёмов. Под логарифмом всегда конечный объём делится на начальный, $V_2 / V_1$. Перевёрнутая дробь меняет знак ответа: расширение превратится в сжатие.
• Записывают $\Delta U$ через теплоёмкость. При $T = \text{const}$ изменение внутренней энергии равно нулю независимо от газа и его теплоёмкости. Считать $\Delta U = \nu C_V \Delta T$ бессмысленно: $\Delta T = 0$.
• Смешивают единицы в форме $A = p_1 V_1 \ln(V_2 / V_1)$. Отношение объёмов можно оставить в литрах, но множитель $p_1 V_1$ требует паскалей и кубометров, иначе джоулей не получится.
• Забывают, что $Q = A$. Часть решений обрывается на работе, хотя вопрос про теплоту решается одной строкой: раз $\Delta U = 0$, вся теплота пошла в работу.

FAQ

Чему равно изменение внутренней энергии в изотермическом процессе? Нулю. Внутренняя энергия идеального газа определяется только температурой, а она по условию постоянна. Поэтому вся подведённая теплота превращается в работу расширения, и наоборот, при сжатии вся работа внешних сил уходит в теплоту, отданную термостату.

Почему в формуле логарифм, а не разность объёмов? Потому что работа - интеграл от давления по объёму, а на изотерме $p$ обратно пропорционально $V$. Интеграл от $1/V$ даёт натуральный логарифм. Физически это значит, что важно во сколько раз изменился объём, а не на сколько литров.

Как найти работу, если известны только давления? По формуле $A = \nu R T \ln (p_1 / p_2)$: отношение давлений на изотерме обратно отношению объёмов. Если количество вещества неизвестно, но дано состояние 1, используйте $A = p_1 V_1 \ln (p_1 / p_2)$.

Работа газа и работа внешних сил - это одно и то же? Нет, они противоположны по знаку: $A_{\text{внеш}} = -A$. При расширении положительна работа газа, при сжатии - работа внешних сил. В ответе всегда указывайте, чья именно работа найдена, иначе знак будет выглядеть ошибкой.

Коротко

1. Убедитесь, что процесс изотермический: $T = \text{const}$, значит $\Delta U = 0$.
2. Посчитайте множитель $\nu R T$ (или возьмите готовое произведение $p_1 V_1$): $2 \cdot 8{,}314 \cdot 300 = 4988{,}4$ Дж.
3. Умножьте его на натуральный логарифм отношения объёмов: $A = 4988{,}4 \cdot \ln (15/5) \approx 5480$ Дж.
4. Теплоту возьмите из первого начала: $Q = \Delta U + A = A \approx 5{,}48$ кДж.
5. Проверьте ответ коридором $p_2 \Delta V < A < p_1 \Delta V$: $3326 < 5480 < 9977$ Дж.