Как найти импульс системы тел: решение по шагам

Дано: тело $m_1 = 3$ кг движется со скоростью $v_1 = 5$ м/с вдоль оси $x$, тело $m_2 = 2$ кг со скоростью $v_2 = 6$ м/с вдоль оси $y$, тело $m_3 = 5$ кг со скоростью $v_3 = 1{,}2$ м/с против оси $x$. Найти: импульс системы трёх тел.

Импульс системы - это векторная сумма импульсов всех тел, поэтому складывать надо не числа, а проекции на оси. Раскладываем каждый импульс по $x$ и $y$, суммируем отдельно по каждой оси и собираем результат обратно по теореме Пифагора. Ответ: $p = 15$ кг·м/с под углом $53^\circ$ к оси $x$, что соответствует скорости центра масс $1{,}5$ м/с. Калькулятор сверху считает ту же сумму для любых масс, скоростей и углов и рисует многоугольник импульсов.

Решение по шагам

Дано.

Найти: модуль и направление вектора $\vec{p}$ системы, а заодно скорость её центра масс.

Шаг 1. Выбираем оси и переходим к проекциям. Все три скорости лежат в одной плоскости, поэтому хватит двух осей. Ось $x$ направим по движению первого тела, ось $y$ - по движению второго. Тогда каждый импульс описывается парой чисел:

$$p_{ix} = m_i v_i \cos\alpha_i, \qquad p_{iy} = m_i v_i \sin\alpha_i,$$

где $\alpha_i$ - угол между скоростью тела и осью $x$. Знак проекции берётся из косинуса и синуса автоматически, поэтому отдельно следить за «плюсом и минусом» не нужно: достаточно правильно записать угол.

Шаг 2. Считаем импульс каждого тела. Модуль импульса тела равен произведению массы на скорость, а раскладывается он по тем же правилам, что и любой вектор:

$$\begin{aligned} p_1 &= m_1 v_1 = 3 \cdot 5 = 15\ \text{кг} \cdot \text{м/с}, &&\quad \vec{p}_1 = (15;\ 0),\\ p_2 &= m_2 v_2 = 2 \cdot 6 = 12\ \text{кг} \cdot \text{м/с}, &&\quad \vec{p}_2 = (0;\ 12),\\ p_3 &= m_3 v_3 = 5 \cdot 1{,}2 = 6\ \text{кг} \cdot \text{м/с}, &&\quad \vec{p}_3 = (-6;\ 0). \end{aligned}$$

У третьего тела проекция отрицательная: оно движется против выбранной оси, $\cos 180^\circ = -1$. Это не ошибка расчёта, а способ записать противоположное направление.

Шаг 3. Складываем проекции по каждой оси отдельно. Это и есть главный шаг: векторное равенство $\vec{p} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3$ распадается на два скалярных.

$$\begin{aligned} p_x &= p_{1x} + p_{2x} + p_{3x} = 15 + 0 - 6 = 9\ \text{кг} \cdot \text{м/с},\\ p_y &= p_{1y} + p_{2y} + p_{3y} = 0 + 12 + 0 = 12\ \text{кг} \cdot \text{м/с}. \end{aligned}$$

Шаг 4. Возвращаемся к модулю и направлению. Проекции - катеты, модуль импульса - гипотенуза:

$$p = \sqrt{p_x^2 + p_y^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\ \text{кг} \cdot \text{м/с}.$$

Угол между вектором импульса и осью $x$ находим через тангенс:

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{p_y}{p_x} = \frac{12}{9} = 1{,}33 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \operatorname{arctg} 1{,}33 \approx 53^\circ.$$

Обе проекции положительные, значит вектор лежит в первой четверти и уточнять четверть не требуется.

Шаг 5. Проверяем через центр масс. Импульс системы равен произведению полной массы на скорость центра масс, поэтому есть независимая проверка:

$$M = 3 + 2 + 5 = 10\ \text{кг}, \qquad v_c = \frac{p}{M} = \frac{15}{10} = 1{,}5\ \text{м/с}.$$

Проекции скорости центра масс равны $v_{cx} = 0{,}9$ м/с и $v_{cy} = 1{,}2$ м/с, их модуль даёт те же $1{,}5$ м/с, а направление совпадает с направлением импульса. Расчёт сошёлся.

Ответ: $p = 15$ кг·м/с, вектор направлен под углом $\approx 53^\circ$ к оси $x$; центр масс системы движется со скоростью $1{,}5$ м/с в ту же сторону.

Формула и откуда она берётся

Импульс одного тела $\vec{p}_i = m_i \vec{v}_i$ - вектор, сонаправленный со скоростью. Импульсом системы называют сумму импульсов всех её тел:

$$\vec{p} = \sum_{i=1}^{n} m_i \vec{v}_i.$$

Почему именно сумма, видно из второго закона Ньютона. Запишем его для каждого тела и сложим все уравнения. Внутренние силы входят парами по третьему закону: сила, с которой первое тело действует на второе, равна по модулю и противоположна по направлению силе второго на первое, поэтому в сумме они взаимно уничтожаются. Остаётся только сумма внешних сил:

$$\frac{d\vec{p}}{dt} = \sum \vec{F}^{\text{внеш}}.$$

Отсюда же следует связь с центром масс. Радиус-вектор центра масс равен $\vec{r}_c = \frac{1}{M}\sum m_i \vec{r}_i$, и после дифференцирования по времени получается

$$\vec{p} = M \vec{v}_c,$$

то есть система любой сложности движется в смысле импульса как одна материальная точка массой $M$, помещённая в центр масс. Этой формулой удобно проверять ответ: скорость центра масс обязана быть меньше самой быстрой скорости в системе.

Когда импульс системы сохраняется

Если сумма внешних сил равна нулю, производная импульса равна нулю, и вектор $\vec{p}$ не меняется ни по модулю, ни по направлению. Такую систему называют замкнутой. На практике полностью замкнутых систем почти не бывает, но закон работает в двух ослабленных вариантах, и именно они встречаются в задачах.

Первый вариант - удар или взрыв. Внешние силы (тяжесть, трение) за миллисекунды столкновения успевают передать системе пренебрежимо малый импульс по сравнению с внутренними силами удара, поэтому импульс «до» приравнивают импульсу «после». На этом держится весь разбор в задаче как найти скорость после удара, где столкновение центральное и хватает одной оси.

Второй вариант - сохранение по отдельной оси. Импульс может не сохраняться в целом, но сохраняться в проекции на то направление, где внешние силы отсутствуют. Классический пример: снаряд разрывается в полёте, вертикальная проекция импульса меняется из-за тяжести, а горизонтальная остаётся прежней, и уравнения пишут только для оси $x$. Теоретический вывод этого правила для одной точки разобран в статье теорема об изменении количества движения.

Если скорости направлены под произвольным углом

Прямые углы в условии - подарок, но схема решения от этого не зависит. Пусть первое тело движется не вдоль оси, а под углом $\alpha_1 = 30^\circ$ к ней, остальные данные те же. Тогда его импульс распадается на две ненулевые проекции: $p_{1x} = 15 \cos 30^\circ = 12{,}99$ и $p_{1y} = 15 \sin 30^\circ = 7{,}5$ кг·м/с.

Суммы меняются: $p_x = 12{,}99 - 6 = 6{,}99$ кг·м/с, $p_y = 7{,}5 + 12 = 19{,}5$ кг·м/с, откуда $p = \sqrt{6{,}99^2 + 19{,}5^2} \approx 20{,}7$ кг·м/с под углом $\approx 70^\circ$ к оси $x$. Ни одна формула не изменилась - изменились только два косинуса. Поставь в калькуляторе сверху угол $30^\circ$ для первого тела и увидишь те же числа.

Отдельный частый сюжет - что будет, если после столкновения все три тела слипнутся в одно. Импульс системы при этом не меняется, поэтому общая скорость равна $u = p / M = 1{,}5$ м/с, то есть скорости центра масс. Кинетическая энергия, наоборот, падает: до слипания она равна $37{,}5 + 36 + 3{,}6 = 77{,}1$ Дж, после - всего $11{,}25$ Дж, разница $65{,}85$ Дж уходит в деформацию и нагрев. Энергия системы считается иначе, чем импульс, и разбор этого расчёта есть в задаче как найти кинетическую энергию системы.

Частые ошибки

• Складывают модули вместо векторов. В нашей задаче $15 + 12 + 6 = 33$ кг·м/с, а правильный ответ 15 кг·м/с: больше чем вдвое меньше. Модули можно складывать, только если все скорости параллельны и сонаправлены.
• Теряют знак у встречного тела. Третье тело идёт против оси, его проекция равна $-6$, а не $+6$. С потерянным знаком выходит $p_x = 21$ и ответ завышен почти в полтора раза.
• Берут корень из суммы проекций, а не из суммы квадратов. Формула гипотенузы - $\sqrt{p_x^2 + p_y^2}$, а не $\sqrt{p_x + p_y}$.
• Путают угол с осью, от которой он отсчитан. Если в условии дан угол к оси $y$, то в формулу проекции на $x$ пойдёт синус, а не косинус. Всегда фиксируй, от какой оси отсчитывается $\alpha$.
• Делят импульс на одну массу вместо полной. Скорость центра масс - это $p / M$, где $M$ - сумма всех масс, здесь 10 кг.
• Считают импульс сохранившимся там, где действует внешняя сила. Если тела трутся об опору или задача длится секунды, а не миллисекунды, импульс системы меняется, и приравнивать «до» и «после» нельзя.

FAQ

Чем импульс системы отличается от импульса силы? Импульс системы $\vec{p} = \sum m_i \vec{v}_i$ - характеристика движения, она измеряется в кг·м/с. Импульс силы $\vec{F}\Delta t$ - это то, что система получает извне, и он измеряется в ньютон-секундах. Числовые значения совпадают по размерности, потому что изменение импульса системы равно импульсу внешних сил.

Может ли импульс системы быть нулевым, если тела движутся? Да. Если два тела одинаковой массы летят навстречу с равными скоростями, проекции гасят друг друга и $\vec{p} = 0$, хотя кинетическая энергия системы не равна нулю. Именно так устроена система отсчёта центра масс.

Как считать импульс, если движение трёхмерное? Так же, только проекций становится три: $p_x$, $p_y$, $p_z$, каждая суммируется отдельно, а модуль равен $\sqrt{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}$. Никаких новых идей это не добавляет.

Что делать, если тело вращается? Для поступательного импульса важна только скорость центра масс тела: катящийся диск даёт $m v_c$ независимо от угловой скорости. Вращение учитывается отдельной величиной - моментом импульса.

Коротко

1. Импульс системы - векторная сумма $\vec{p} = \sum m_i \vec{v}_i$, складывать модули нельзя.
2. Выбери оси и найди проекции каждого импульса: $p_{ix} = m_i v_i \cos\alpha_i$, $p_{iy} = m_i v_i \sin\alpha_i$.
3. Сложи проекции по каждой оси отдельно, следя за знаками встречных тел.
4. Модуль собери как гипотенузу $\sqrt{p_x^2 + p_y^2}$, направление - через $\operatorname{arctg}(p_y / p_x)$.
5. В примере: $p_x = 9$, $p_y = 12$, значит $p = 15$ кг·м/с под углом $53^\circ$ к оси $x$, скорость центра масс $1{,}5$ м/с.