Как найти скорость после удара: решение по шагам

Дано: тело массой $m_1 = 2$ кг движется со скоростью $v_1 = 8$ м/с и догоняет тело массой $m_2 = 3$ кг, идущее в ту же сторону со скоростью $v_2 = 2$ м/с. Найти: скорости тел после центрального удара в двух предельных случаях - абсолютно неупругом и абсолютно упругом.

Оба случая держатся на законе сохранения импульса, а различает их второе уравнение: при неупругом ударе тела движутся дальше вместе, при упругом сохраняется кинетическая энергия. Ответ: неупругий удар даёт общую скорость 4,4 м/с и потерю 21,6 Дж; упругий даёт $u_1 = 0{,}8$ м/с и $u_2 = 6{,}8$ м/с без потерь энергии. Калькулятор сверху считает обе схемы и любую промежуточную: подставь свои массы, скорости и коэффициент восстановления.

Решение по шагам

Дано.

Найти: $u$ при абсолютно неупругом ударе, $u_1$ и $u_2$ при абсолютно упругом, а также потерю кинетической энергии.

Шаг 1. Выбираем ось и считаем импульс системы. Удар центральный: оба тела до и после столкновения движутся по одной прямой. Направим ось вдоль движения первого тела, тогда обе скорости положительны, и проекции можно писать как обычные числа. Суммарный импульс системы до удара:

$$p = m_1 v_1 + m_2 v_2 = 2 \cdot 8 + 3 \cdot 2 = 16 + 6 = 22\ \text{кг} \cdot \text{м/с}.$$

Во время удара на систему действуют только внутренние силы (внешние - тяжесть и реакция опоры - за короткое время удара импульса почти не передают), поэтому $p$ после удара тот же. Это единственное уравнение, общее для обоих случаев.

Шаг 2. Абсолютно неупругий удар. Тела после столкновения не разлетаются, а движутся как одно целое с общей скоростью $u$. Подставляем это в закон сохранения импульса:

$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)\, u \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{22}{5} = 4{,}4\ \text{м/с}.$$

Результат разумен: общая скорость лежит между 2 и 8 м/с и ближе к скорости более тяжёлого тела.

Шаг 3. Потеря энергии при неупругом ударе. Кинетическая энергия до удара:

$$T_0 = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{2 \cdot 64}{2} + \frac{3 \cdot 4}{2} = 64 + 6 = 70\ \text{Дж}.$$

После удара тела движутся вместе:

$$T = \frac{(m_1 + m_2)\, u^2}{2} = \frac{5 \cdot 4{,}4^2}{2} = \frac{5 \cdot 19{,}36}{2} = 48{,}4\ \text{Дж}.$$

Потеря $\Delta T = 70 - 48{,}4 = 21{,}6$ Дж, то есть около 31 % исходной энергии ушло на деформацию и нагрев.

Шаг 4. Абсолютно упругий удар. Здесь второе уравнение - сохранение кинетической энергии, и решение системы даёт готовые формулы:

$$\begin{aligned} u_1 &= \frac{(m_1 - m_2) v_1 + 2 m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{(2 - 3) \cdot 8 + 2 \cdot 3 \cdot 2}{5} = \frac{-8 + 12}{5} = 0{,}8\ \text{м/с}, \\[4pt] u_2 &= \frac{(m_2 - m_1) v_2 + 2 m_1 v_1}{m_1 + m_2} = \frac{(3 - 2) \cdot 2 + 2 \cdot 2 \cdot 8}{5} = \frac{2 + 32}{5} = 6{,}8\ \text{м/с}. \end{aligned}$$

Оба ответа положительны: первое тело продолжает ползти вперёд, но почти останавливается, второе - разгоняется и уходит вперёд.

Шаг 5. Проверка. Импульс: $2 \cdot 0{,}8 + 3 \cdot 6{,}8 = 1{,}6 + 20{,}4 = 22$ - совпало с шагом 1. Энергия: $\tfrac{2 \cdot 0{,}64}{2} + \tfrac{3 \cdot 46{,}24}{2} = 0{,}64 + 69{,}36 = 70$ Дж - совпало с шагом 3.

Ответ. Абсолютно неупругий удар: $u = 4{,}4$ м/с, потеря энергии 21,6 Дж. Абсолютно упругий удар: $u_1 = 0{,}8$ м/с, $u_2 = 6{,}8$ м/с, энергия сохраняется.

Формулы и откуда они берутся

Неупругая формула выводится в одну строку: неизвестная скорость одна, уравнение тоже одно. Выражение $u = (m_1 v_1 + m_2 v_2)/(m_1 + m_2)$ - это в точности скорость центра масс системы, и она не меняется ни при каком ударе. Полезно запомнить именно так: при абсолютно неупругом ударе тела просто «садятся» на скорость центра масс.

Для упругого удара неизвестных две, поэтому к импульсу добавляют сохранение энергии. Квадратное уравнение решать не обязательно: если поделить энергетическое равенство на импульсное, система сводится к линейной и даёт правило Ньютона - относительная скорость меняет знак, сохраняя модуль:

$$u_2 - u_1 = v_1 - v_2.$$

Проверим на нашем ответе: $6{,}8 - 0{,}8 = 6$ и $8 - 2 = 6$. Подробный вывод обеих формул для случая, когда второе тело покоится, разобран в статье про упругий удар движущегося шара с покоящимся - здесь он не повторяется, зато формулы записаны сразу для произвольных $v_1$ и $v_2$.

Потерю энергии при неупругом ударе тоже не нужно считать через разность двух больших чисел. Есть компактная формула через приведённую массу $\mu = \dfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$:

$$\Delta T = \frac{\mu\, (v_1 - v_2)^2}{2} = \frac{1{,}2 \cdot 6^2}{2} = 21{,}6\ \text{Дж}.$$

Здесь $\mu = \frac{2 \cdot 3}{5} = 1{,}2$ кг. Результат совпал с шагом 3, и заодно видно главное: теряется только та часть энергии, которая связана с относительным движением тел. Если тела летят с одинаковой скоростью, относительная скорость нулевая, удара нет и терять нечего.

Коэффициент восстановления: общий случай

Реальный удар не бывает ни идеально упругим, ни идеально неупругим. Степень упругости задаёт коэффициент восстановления $k$ - отношение модуля относительной скорости после удара к модулю относительной скорости до удара:

$$k = \frac{u_2 - u_1}{v_1 - v_2}, \qquad 0 \le k \le 1.$$

Через $k$ обе наши задачи становятся частными случаями одной формулы. Обозначим скорость центра масс $v_c = 4{,}4$ м/с, тогда

$$\begin{aligned} u_1 &= v_c - k \cdot \frac{m_2}{m_1 + m_2}(v_1 - v_2) = 4{,}4 - 3{,}6\,k, \\[4pt] u_2 &= v_c + k \cdot \frac{m_1}{m_1 + m_2}(v_1 - v_2) = 4{,}4 + 2{,}4\,k. \end{aligned}$$

Потеря энергии при этом равна $\Delta T = \dfrac{\mu (v_1 - v_2)^2}{2}\,(1 - k^2) = 21{,}6\,(1 - k^2)$ Дж. Подставим три значения:

Крайние строки таблицы - это ровно ответы из решения по шагам, а середина показывает, как устроен промежуточный случай: скорости расходятся тем сильнее, чем ближе $k$ к единице. Импульс во всех трёх строках один и тот же - 22 кг·м/с, потому что закон сохранения импульса не зависит от упругости. Именно эту зависимость рисует график в калькуляторе сверху: две линии скоростей расходятся из общей точки $v_c$ при $k = 0$, а кривая потерь падает до нуля при $k = 1$.

Частные случаи по массам и проверка ответа

Ответ упругого удара удобно проверять по трём ориентирам, не считая формулы заново.

Равные массы. При $m_1 = m_2$ формулы дают $u_1 = v_2$ и $u_2 = v_1$: тела просто обмениваются скоростями. Отсюда знаменитый бильярдный эффект - налетевший шар встаёт на месте покоившегося, а тот уходит с его скоростью.

Тяжёлое бьёт лёгкое. Если $m_1 \gg m_2$, то $u_1 \approx v_1$, а $u_2 \approx 2 v_1 - v_2$: массивное тело почти не замечает удара, лёгкое отлетает почти с удвоенной скоростью. Так мяч отскакивает от ракетки быстрее, чем летела ракетка.

Лёгкое бьёт тяжёлое. При $m_1 \ll m_2$ первое тело отскакивает назад ($u_1 \approx -v_1$ при покоящейся преграде), а тяжёлое почти не трогается с места. В нашей задаче массы близки, поэтому картина промежуточная: первое тело не отскочило, но затормозилось с 8 до 0,8 м/с.

Три обязательные проверки любого ответа: импульс до и после равны; при упругом ударе равны и энергии; относительная скорость меняет знак с сохранением модуля. Если хотя бы одна не сходится, ошибка в знаке или в подстановке масс. Полезно помнить и про родственную теорему: сама идея «импульс системы меняется только внешними силами» разобрана в заметке про теорему об изменении количества движения точки, а кинематика звеньев после удара считается уже другими методами, например через план скоростей.

Частые ошибки

• Применяют закон сохранения энергии к неупругому удару. При слипании тел энергия не сохраняется: в нашей задаче теряется 21,6 Дж из 70. Уравнений всё равно хватает - неизвестная скорость одна.
• Теряют знак при встречном ударе. Если тела движутся навстречу, одна из скоростей отрицательна: $v_2 = -2$ м/с, а не 2. Ось выбирается один раз и до конца задачи, проекции подставляются со знаком.
• Складывают скорости вместо импульсов. Общая скорость при слипании - это не среднее арифметическое $(8 + 2)/2 = 5$ м/с, а средневзвешенное по массам: 4,4 м/с. Совпадают они только при равных массах.
• Путают массы местами в формулах упругого удара. В числителе $u_1$ стоит разность $(m_1 - m_2)$ и удвоенная масса второго тела, в $u_2$ - наоборот. Перестановка даёт ответ, который не проходит проверку по импульсу.
• Считают удар центральным там, где он косой. Формулы выше работают, только если скорости направлены по линии удара. При косом столкновении импульс сохраняется покомпонентно, и уравнений становится вдвое больше.
• Округляют промежуточные значения. Скорость 4,4 м/с при округлении до 4 м/с даёт энергию 40 Дж вместо 48,4 и потерю с ошибкой в 40 %. Округлять стоит только окончательный ответ.

FAQ

Чем отличается абсолютно неупругий удар от абсолютно упругого? Импульс сохраняется в обоих случаях, различается второе условие. При абсолютно неупругом ударе тела движутся дальше вместе, и часть кинетической энергии переходит в тепло и деформацию. При абсолютно упругом энергия сохраняется полностью, и тела разлетаются с разными скоростями.

Как найти скорость после удара, если второе тело покоится? Это частный случай общих формул при $v_2 = 0$. Неупругий удар даёт $u = m_1 v_1 / (m_1 + m_2)$, упругий - $u_1 = (m_1 - m_2) v_1 / (m_1 + m_2)$ и $u_2 = 2 m_1 v_1 / (m_1 + m_2)$. Никаких отдельных законов тут нет.

Может ли скорость после удара получиться отрицательной? Да, и это нормальный ответ: минус означает, что тело после удара движется против выбранной оси. Так бывает при упругом ударе лёгкого тела о тяжёлое и почти всегда при встречном столкновении.

Зачем нужен коэффициент восстановления, если есть два предельных случая? Реальные тела занимают промежуточное положение: у стали $k$ около 0,6 до 0,8, у дерева около 0,5, у пластилина близко к нулю. Формулы с $k$ покрывают весь диапазон и при $k = 0$ и $k = 1$ превращаются в неупругий и упругий случаи.

Коротко

1. Записать закон сохранения импульса вдоль линии удара со знаками проекций: $m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 u_2$.
2. Абсолютно неупругий удар: тела движутся вместе, $u = \dfrac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$. Для чисел задачи $u = 4{,}4$ м/с.
3. Потеря энергии считается через приведённую массу: $\Delta T = \dfrac{\mu (v_1 - v_2)^2}{2} = 21{,}6$ Дж, то есть около 31 % от исходных 70 Дж.
4. Абсолютно упругий удар: $u_1 = \dfrac{(m_1 - m_2) v_1 + 2 m_2 v_2}{m_1 + m_2} = 0{,}8$ м/с, $u_2 = \dfrac{(m_2 - m_1) v_2 + 2 m_1 v_1}{m_1 + m_2} = 6{,}8$ м/с.
5. Проверить ответ тремя способами: импульс 22 кг·м/с до и после, энергия 70 Дж при упругом ударе, относительная скорость меняет знак и сохраняет модуль 6 м/с.