Как найти кинетическую энергию системы: разбор

Дано: груз 1 массой $m_1 = 6$ кг опускается со скоростью $v = 2$ м/с; блок 2 массой $m_2 = 4$ кг (сплошной диск радиусом $r = 0{,}2$ м) вращается вокруг неподвижной оси, нить по нему не скользит; каток 3 массой $m_3 = 10$ кг (сплошной цилиндр радиусом $R = 0{,}3$ м) катится без скольжения, нить прикреплена к его оси. Найти: кинетическую энергию системы $T$.

Кинетическая энергия системы - это скалярная сумма энергий всех её тел, и считается она в три хода: выразить скорости всех тел через одну, посчитать энергию каждого тела по формуле своего вида движения, сложить. Ответ получится такой: $T = 46$ Дж, что равносильно движению одного тела приведённой массы $m_{\text{пр}} = 23$ кг со скоростью груза. Калькулятор сверху считает ту же сумму для любых масс и скорости и показывает, какая доля энергии сидит во вращении.

Решение по шагам

Шаг 1. Кинематические связи. Это главный шаг: в системе три тела, но степень свободы одна, значит все скорости выражаются через скорость груза $v$. Нить нерастяжима и не скользит по блоку, поэтому точка обода блока движется со скоростью груза:

$$\omega_2 = \frac{v}{r} = \frac{2}{0{,}2} = 10\ \text{рад/с}.$$

Второй конец нити закреплён на оси катка, значит центр катка движется со скоростью нити, а качение без скольжения связывает эту скорость с угловой:

$$v_C = v = 2\ \text{м/с}, \qquad \omega_3 = \frac{v_C}{R} = \frac{2}{0{,}3} \approx 6{,}67\ \text{рад/с}.$$

Шаг 2. Моменты инерции. Блок и каток - однородные тела вращения, для них $I = \tfrac{1}{2} m \rho^2$ относительно центральной оси:

$$I_2 = \frac{1}{2} m_2 r^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 0{,}2^2 = 0{,}08\ \text{кг}\cdot\text{м}^2,$$ $$I_C = \frac{1}{2} m_3 R^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0{,}3^2 = 0{,}45\ \text{кг}\cdot\text{м}^2.$$

Шаг 3. Энергия груза - поступательное движение. Все точки груза движутся одинаково, работает школьная формула:

$$T_1 = \frac{1}{2} m_1 v^2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2^2 = 12\ \text{Дж}.$$

Шаг 4. Энергия блока - вращение вокруг неподвижной оси. Центр масс блока неподвижен, поступательной части нет:

$$T_2 = \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2 = \frac{1}{2} \cdot 0{,}08 \cdot 10^2 = 4\ \text{Дж}.$$

Шаг 5. Энергия катка - плоское движение. Здесь работает теорема Кёнига: энергия равна сумме энергии центра масс и энергии вращения вокруг него:

$$T_3 = \frac{1}{2} m_3 v_C^2 + \frac{1}{2} I_C \omega_3^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2^2 + \frac{1}{2} \cdot 0{,}45 \cdot \left(\frac{2}{0{,}3}\right)^2 = 20 + 10 = 30\ \text{Дж}.$$

Шаг 6. Суммируем. Энергия скалярна, направления скоростей роли не играют, поэтому слагаемые просто складываются:

$$T = T_1 + T_2 + T_3 = 12 + 4 + 30 = 46\ \text{Дж}.$$

Ответ: $T = 46$ Дж. Во вращение при этом уходит $4 + 10 = 14$ Дж, то есть 30,4 % всей энергии системы - как раз поэтому каток с тем же весом «тяжелее» разогнать, чем такой же груз на нити.

Формула и откуда она берётся

Кинетическая энергия механической системы по определению равна сумме энергий всех её точек, а после группировки точек по телам - сумме энергий тел:

$$T = \sum_{k} T_k .$$

Для каждого тела вид формулы диктуется видом его движения, и этих видов в задачах теормеха практически всегда три.

При поступательном движении скорости всех точек тела равны, и энергия сводится к $T = \tfrac{1}{2} m v^2$. При вращении вокруг неподвижной оси скорость точки равна $\omega h$, где $h$ - расстояние до оси; суммирование даёт $T = \tfrac{1}{2} I_z \omega^2$, где $I_z$ - момент инерции относительно этой оси. При плоском движении тело одновременно переносится и поворачивается, и разложение движения на перенос вместе с центром масс и поворот вокруг него даёт теорему Кёнига:

$$T = \frac{1}{2} m v_C^2 + \frac{1}{2} I_C \omega^2 .$$

Важная деталь теоремы: момент инерции берётся строго относительно центральной оси, иначе перекрёстные слагаемые при выводе не сокращаются. Подробный вывод и обсуждение коэффициента формы разобраны в статье про кинетическую энергию при плоском движении тела, а способы посчитать сам $I_C$ - в разборе момента инерции относительно оси.

Приведённая масса: как свернуть систему в одну формулу

Подставим в каждое слагаемое связи из первого шага и вынесем $v^2$ за скобку. Для нашей схемы получается:

$$T = \frac{1}{2}\left(m_1 + \frac{m_2}{2} + \frac{3 m_3}{2}\right) v^2 = \frac{1}{2} m_{\text{пр}} v^2 .$$

Величину в скобках называют приведённой массой: система из трёх тел ведёт себя как одно тело массой

$$m_{\text{пр}} = 6 + 2 + 15 = 23\ \text{кг},$$

движущееся со скоростью груза. Проверка сходится: $T = \tfrac{1}{2} \cdot 23 \cdot 2^2 = 46$ Дж.

Обрати внимание на то, чего в ответе нет: радиусов. И у блока, и у катка радиус входит в момент инерции в квадрате и в угловую скорость в минус первой степени, поэтому при подстановке $\omega = v / r$ он сокращается начисто. Это хорошая экспресс-проверка: если в твоём ответе радиус остался, скорее всего где-то потеряна связь между скоростями. Исключение - ступенчатый шкив, где нити сходят с разных радиусов: там отношение радиусов остаётся в ответе.

Ещё один вывод из формулы: вклад катка втрое больше вклада такого же по массе груза на нити и втрое же больше, чем у блока той же массы. Массу в системе выгоднее «складывать» туда, где тело движется медленнее или вовсе стоит на месте.

Что меняется, если условие другое

Три типовые вариации той же задачи меняют ровно одно слагаемое, а схема расчёта остаётся прежней.

Каток другой формы. Момент инерции записывается как $I_C = k m R^2$: у сплошного цилиндра $k = 0{,}5$, у тонкой трубы $k = 1$, у сплошного шара $k = 0{,}4$. Энергия катка равна $\tfrac{1}{2} m_3 v_C^2 (1 + k)$, поэтому для трубы она станет 40 Дж и вся система даст 56 Дж, а для шара - 28 Дж и 44 Дж соответственно.

Нить намотана на обод катка. Тогда нить сходит не с оси, а с верхней точки, а её скорость при качении вдвое больше скорости центра. Из $v = 2 v_C$ следует $v_C = 1$ м/с, энергия катка падает до 7,5 Дж, а вся система - до 23,5 Дж при той же скорости груза. Переключатель в калькуляторе сверху показывает этот случай.

Каток считают через мгновенный центр скоростей. При качении точка контакта неподвижна, и всю энергию можно взять одной формулой $T_3 = \tfrac{1}{2} I_P \omega_3^2$, где $I_P = I_C + m_3 R^2 = 1{,}35$ кг·м². Получается те же 30 Дж. Способ короче, но складывать его с формулой Кёнига нельзя - это одно и то же число, посчитанное дважды. Если в задаче нужны ещё и скорости точек, удобнее сразу построить план скоростей.

Частые ошибки

• Забывают вращательную часть катка. Считают $\tfrac{1}{2} m_3 v_C^2 = 20$ Дж и получают 36 Дж вместо 46. Катящееся тело всегда имеет две части энергии.
• Двойной счёт через мгновенный центр. К $\tfrac{1}{2} I_P \omega^2$ добавляют ещё и $\tfrac{1}{2} m v_C^2$. Формула с $I_P$ уже полная, добавлять к ней нечего.
• Берут одну угловую скорость на все тела. У блока $\omega_2 = v / r = 10$ рад/с, у катка $\omega_3 = v_C / R \approx 6{,}67$ рад/с - радиусы разные, значит и $\omega$ разные.
• В теореме Кёнига подставляют нецентральный момент инерции. $I_C$ берётся относительно оси через центр масс; если под рукой момент относительно другой оси, сначала переходят к центральной по теореме Гюйгенса.
• Вычитают энергии, если тела движутся в разные стороны. $T$ - скаляр и всегда неотрицателен: груз вниз, каток вправо, а энергии всё равно складываются.
• Путают единицы. Радиус в сантиметрах или масса в граммах дают ответ, промахивающийся на порядки; переводи всё в СИ до подстановки.

FAQ

Почему радиусы блока и катка не вошли в ответ? Потому что они сокращаются: момент инерции пропорционален квадрату радиуса, а угловая скорость обратно пропорциональна ему. Радиусы остаются в ответе только там, где тела связаны нитями, сходящими с разных радиусов, - например, у ступенчатого шкива.

Чем кинетическая энергия системы отличается от энергии одного тела? Формально ничем, кроме суммирования: считается энергия каждого тела и берётся сумма. Вся трудность в кинематике - нужно правильно выразить скорости и угловые скорости всех тел через одну обобщённую скорость.

Зачем вообще нужна приведённая масса? Она превращает систему в одно эквивалентное тело и резко упрощает дальнейшие шаги: подставив $T = \tfrac{1}{2} m_{\text{пр}} v^2$ в теорему об изменении кинетической энергии, ускорение системы получают в одну строку, без составления уравнений для каждого тела.

Что делать, если тело движется сложно и вид движения неочевиден? Всегда работает теорема Кёнига в общем виде: энергия равна энергии центра масс плюс энергия движения относительно центра масс. Поступательное и вращательное движения - её частные случаи, в которых одно из слагаемых обращается в ноль.

Коротко

1. Выпиши кинематические связи и вырази скорости всех тел через одну: $\omega_2 = v / r$, $v_C = v$, $\omega_3 = v_C / R$.
2. Посчитай моменты инерции относительно центральных осей: $I_2 = 0{,}08$ кг·м², $I_C = 0{,}45$ кг·м².
3. Энергию каждого тела бери по виду его движения: поступательное $\tfrac{1}{2} m v^2$, вращение $\tfrac{1}{2} I \omega^2$, плоское - теорема Кёнига.
4. Сложи скалярно: $12 + 4 + 30 = 46$ Дж, или через приведённую массу $T = \tfrac{1}{2} \cdot 23 \cdot 2^2$.
5. Проверь ответ: радиусы должны сократиться, а доля вращательной энергии в такой схеме - около 30 %.