Как найти относительную скорость точки: пошаговое решение

Дано: диск вращается вокруг неподвижной оси $O$ с угловой скоростью $\omega = 5$ рад/с; по прямому радиальному пазу диска движется точка $M$; в рассматриваемый момент $OM = 0{,}4$ м, модуль абсолютной скорости точки $v_{\text{абс}} = 2{,}5$ м/с. Найти: относительную скорость точки, то есть её скорость по отношению к диску.

Задача решается теоремой о сложении скоростей: абсолютная скорость раскладывается на переносную и относительную, переносная считается по угловой скорости диска и перпендикулярна радиусу, а относительная идёт вдоль паза, поэтому слагаемые оказываются взаимно перпендикулярными и модуль относительной скорости достаётся теоремой Пифагора. Ответ: $v_{\text{отн}} = 1{,}5$ м/с вдоль паза, при этом $v_{\text{пер}} = 2{,}0$ м/с, а абсолютная скорость наклонена к пазу на $53{,}1^\circ$. Калькулятор сверху перестраивает эту же схему под любые значения угловой скорости, расстояния и абсолютной скорости, а разбор ниже идёт по шагам.

Решение по шагам

Дано: $\omega = 5$ рад/с, $OM = 0{,}4$ м, $v_{\text{абс}} = 2{,}5$ м/с. Найти: $v_{\text{отн}}$.

Шаг 1. Разделить движения. В сложном движении точки всегда две системы отсчёта. Неподвижная связана со станиной, подвижная - с диском. Движение точки относительно диска называют относительным, движение самого диска (вместе с той его точкой, где $M$ находится в этот момент) - переносным, а движение относительно станины - абсолютным. Здесь относительное движение - скольжение вдоль паза, переносное - вращение диска вокруг оси $O$.

Шаг 2. Переносная скорость. Переносная скорость - это скорость той точки диска, с которой $M$ сейчас совпадает. Диск вращается вокруг неподвижной оси, значит его точка идёт по окружности радиуса $OM$:

$$v_{\text{пер}} = \omega \cdot OM = 5 \cdot 0{,}4 = 2{,}0 \ \text{м/с}, \qquad \vec{v}_{\text{пер}} \perp OM.$$

Вектор направлен по касательной к окружности в сторону вращения диска.

Шаг 3. Направление относительной скорости. Относительная скорость всегда касательна к относительной траектории, то есть к той линии, которую точка чертит на самом диске. Здесь эта линия - прямой паз, значит $\vec{v}_{\text{отн}}$ лежит вдоль $OM$. Направление известно, неизвестен только модуль.

Шаг 4. Теорема о сложении скоростей. Записываем основное соотношение и выделяем из него искомый вектор:

$$\vec{v}_{\text{абс}} = \vec{v}_{\text{пер}} + \vec{v}_{\text{отн}} \quad \Longrightarrow \quad \vec{v}_{\text{отн}} = \vec{v}_{\text{абс}} - \vec{v}_{\text{пер}}.$$

Слагаемые взаимно перпендикулярны: переносная скорость поперёк радиуса, относительная вдоль него. Значит треугольник скоростей прямоугольный, абсолютная скорость в нём гипотенуза, и модуль относительной скорости находится обратной теоремой Пифагора:

$$v_{\text{отн}} = \sqrt{v_{\text{абс}}^{2} - v_{\text{пер}}^{2}} = \sqrt{2{,}5^{2} - 2{,}0^{2}} = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5 \ \text{м/с}.$$

Шаг 5. Угол и направление. Угол $\alpha$ между абсолютной скоростью и пазом берётся из того же треугольника:

$$\cos\alpha = \frac{v_{\text{отн}}}{v_{\text{абс}}} = \frac{1{,}5}{2{,}5} = 0{,}6, \qquad \alpha = 53{,}1^\circ.$$

Модуль не различает, скользит точка от оси или к оси: оба варианта дают одну и ту же гипотенузу. Сторону берут из условия или с чертежа; в нашей постановке точка удаляется от оси, поэтому $\vec{v}_{\text{отн}}$ направлена по пазу наружу.

Ответ. $v_{\text{пер}} = 2{,}0$ м/с поперёк паза, $v_{\text{отн}} = 1{,}5$ м/с вдоль паза от оси, абсолютная скорость наклонена к пазу на $53{,}1^\circ$.

Формула и откуда она берётся

Теорема о сложении скоростей выглядит как очевидное правило, но выводится она аккуратным дифференцированием. Положение точки в неподвижных осях складывается из положения начала подвижных осей и радиус-вектора точки в этих осях:

$$\vec{r} = \vec{r}_{O'} + \vec{\rho}, \qquad \vec{\rho} = x'\,\vec{i}' + y'\,\vec{j}' + z'\,\vec{k}'.$$

Дифференцируем по времени, помня, что в неподвижных осях меняются и координаты $x'$, $y'$, $z'$, и сами орты подвижной системы:

$$\frac{d\vec{\rho}}{dt} = \left(\dot{x}'\,\vec{i}' + \dot{y}'\,\vec{j}' + \dot{z}'\,\vec{k}'\right) + \left(x'\,\dot{\vec{i}}' + y'\,\dot{\vec{j}}' + z'\,\dot{\vec{k}}'\right).$$

Первая скобка - это производная, взятая так, как будто подвижные оси стоят на месте, то есть относительная скорость. Вторая по формулам Пуассона равна $\vec{\omega} \times \vec{\rho}$: она описывает, как точку несёт вместе с вращающимися осями. Добавив скорость начала осей, получаем итог:

$$\vec{v}_{\text{абс}} = \underbrace{\vec{v}_{O'} + \vec{\omega} \times \vec{\rho}}_{\vec{v}_{\text{пер}}} + \vec{v}_{\text{отн}}.$$

Отсюда и практическое правило: переносная скорость - это скорость точки подвижного тела, совпадающей с движущейся точкой в данный момент, и считать её нужно так, будто относительное движение выключено, а точка приклеена к телу. У вращения вокруг неподвижной оси $\vec{v}_{O'} = 0$, поэтому остаётся только $\omega \cdot OM$. Как связаны угловая скорость и скорость точки обода, подробно разобрано в задаче про угловую скорость вращения.

Если абсолютная скорость задана проекциями

Вариант, где известен не модуль, а проекции, решается ещё короче и не требует прямого угла между слагаемыми. Направим ось $x$ вдоль $OM$ наружу, ось $y$ поперёк, в сторону вращения. Тогда переносная скорость имеет только поперечную проекцию, и вычитание идёт покомпонентно:

$$\begin{aligned} v_{\text{отн},x} &= v_{\text{абс},x} - 0 = 1{,}5 - 0 = 1{,}5 \ \text{м/с}, \\ v_{\text{отн},y} &= v_{\text{абс},y} - \omega \cdot OM = 2{,}0 - 2{,}0 = 0. \end{aligned}$$

Нулевая поперечная проекция - это и есть проверка того, что точка идёт строго по пазу: если бы она получилась ненулевой, относительная траектория в этот момент отклонялась бы от радиуса. Модуль снова равен $1{,}5$ м/с, то есть оба способа дают один ответ. Переключи в калькуляторе сверху режим ввода на проекции: вектор абсолютной скорости разложится по осям, а относительная посчитается вычитанием.

Обратная задача решается тем же уравнением, только с другой стороны. Если задана относительная скорость $1{,}5$ м/с вдоль паза и угловая скорость диска, то абсолютная собирается сложением: $v_{\text{абс}} = \sqrt{1{,}5^{2} + 2{,}0^{2}} = 2{,}5$ м/с. Полезно помнить, что при радиальном пазе абсолютная скорость никогда не бывает меньше переносной - иначе прямоугольный треугольник не построить, и условие задачи противоречиво.

Другие схемы переносного движения

Когда подвижная система не вращается, а движется поступательно, всё упрощается: переносная скорость одинакова для всех точек и равна скорости самой системы. Это классические задачи про человека в вагоне, эскалатор или лодку на реке, где векторы складываются напрямую; разбор такой схемы с выводом и примерами есть в статье про относительность движения и сложение скоростей. Обратная операция та же: чтобы получить скорость относительно вагона, из абсолютной вычитают скорость вагона.

Если относительная траектория не прямая, меняется только шаг с направлением. Пусть точка движется по окружности, прочерченной на диске: тогда $\vec{v}_{\text{отн}}$ касательна к этой окружности, а не к радиусу, и угол между слагаемыми уже не прямой. Модуль относительной скорости в этом случае удобнее искать проекциями, а не Пифагором. Переменная угловая скорость диска на формулу скоростей не влияет вовсе: в неё входит $\omega$ в данный момент, а угловое ускорение появится только в ускорениях.

Отдельно стоит развести два разных смысла слова «относительная». В сложном движении точки это скорость относительно подвижного тела. В плоском движении твёрдого тела относительной называют скорость точки вокруг полюса, $\vec{v}_{BA} = \vec{\omega} \times \vec{r}_{BA}$ - именно её снимают с чертежа, когда строят план скоростей механизма. Формулы похожи, но объекты разные: в первом случае тело и точка, во втором две точки одного тела.

Проверка ответа

Первая проверка - обратный ход: сложить найденные векторы и получить исходную абсолютную скорость. Здесь $\sqrt{1{,}5^{2} + 2{,}0^{2}} = 2{,}5$ м/с, совпало с условием. Заодно сходится и угол: $\operatorname{tg}\alpha = 2{,}0/1{,}5 = 1{,}33$, то есть $\alpha = 53{,}1^\circ$.

Вторая проверка - предельные случаи. Если остановить диск, $\omega = 0$, то переносная скорость исчезает и абсолютная совпадает с относительной. Если, наоборот, точка замирает в пазу, относительная скорость обращается в ноль, а абсолютная становится равной $2{,}0$ м/с и целиком поперечной. Оба крайних режима легко проверить ползунками калькулятора сверху, и оба должны получаться без разрывов.

Третья проверка нужна, если задача продолжается ускорениями. Найденная относительная скорость входит в ускорение Кориолиса: $a_{\text{кор}} = 2\omega v_{\text{отн}} = 2 \cdot 5 \cdot 1{,}5 = 15$ м/с². Само ускорение Кориолиса, его направление и полная теорема о сложении ускорений разобраны отдельно, в материале про теорему о сложении ускорений; там же показано, почему в ускорениях появляется третье слагаемое, которого в скоростях нет. Общие приёмы разложения ускорения на составляющие собраны в разборе про ускорение точки.

Частые ошибки

• Считают переносной скоростью скорость всего тела. Переносная скорость - это скорость конкретной точки подвижного тела, той, где сейчас находится движущаяся точка. У вращающегося диска она зависит от расстояния до оси: при $OM = 0{,}4$ м это $2{,}0$ м/с, а вдвое ближе к оси будет вдвое меньше.
• Складывают модули вместо векторов. Запись $v_{\text{абс}} = v_{\text{пер}} + v_{\text{отн}}$ верна только вдоль одной прямой. Здесь сложение даёт $3{,}5$ м/с вместо $2{,}5$ м/с, потому что векторы перпендикулярны и складываются по Пифагору.
• Берут для $v_{\text{пер}}$ радиус диска, а не расстояние $OM$. В формулу входит текущее расстояние от оси до точки. Радиус диска нужен разве что для проверки, что точка ещё не вышла за край.
• Проводят относительную скорость по абсолютной траектории. Относительная скорость касательна к линии на подвижном теле, к пазу, а не к той кривой, которую точка описывает относительно станины.
• Забывают указать направление. Ответ «$1{,}5$ м/с» неполон: нужно сказать, что вектор лежит вдоль паза и направлен от оси. Модуль абсолютной скорости сам по себе знак не задаёт, его берут из условия.
• Тащат в скорости ускорение Кориолиса. В теореме о сложении скоростей три вектора, не четыре. Добавочный член появляется только при переходе к ускорениям.

FAQ

Чем относительная скорость отличается от абсолютной? Относительная измеряется в подвижной системе отсчёта: это то, что увидел бы наблюдатель, сидящий на диске. Абсолютная измеряется в неподвижной системе, связанной со станиной или землёй. Связывает их переносная скорость: абсолютная равна сумме переносной и относительной.

Как быстро определить направление переносной скорости? Мысленно приклей точку к подвижному телу и посмотри, куда её понесёт. При вращении вокруг неподвижной оси это касательная к окружности радиуса $OM$, то есть перпендикуляр к $OM$ в сторону вращения.

Что делать, если абсолютная скорость меньше переносной? При радиальном пазе это невозможно: переносная скорость целиком лежит в поперечном направлении и уже является проекцией абсолютной. Такое условие означает опечатку в числах либо непрямой паз, и тогда задачу надо решать проекциями, а не Пифагором.

Нужно ли учитывать ускорение Кориолиса при поиске скорости? Нет. В скоростях складываются ровно два вектора, переносный и относительный. Кориолисово слагаемое появляется при дифференцировании этой суммы, то есть только в теореме о сложении ускорений.

Коротко

1. Раздели движения: относительное - по пазу диска, переносное - вращение диска, абсолютное - движение относительно станины.
2. Найди переносную скорость: $v_{\text{пер}} = \omega \cdot OM = 5 \cdot 0{,}4 = 2{,}0$ м/с, вектор перпендикулярен $OM$.
3. Определи направление относительной скорости: она касательна к относительной траектории, здесь это сам паз, то есть вдоль $OM$.
4. Выдели искомое из теоремы: $\vec{v}_{\text{отн}} = \vec{v}_{\text{абс}} - \vec{v}_{\text{пер}}$; при перпендикулярных слагаемых $v_{\text{отн}} = \sqrt{2{,}5^{2} - 2{,}0^{2}} = 1{,}5$ м/с.
5. Ответ: $v_{\text{отн}} = 1{,}5$ м/с вдоль паза от оси, угол абсолютной скорости с пазом $53{,}1^\circ$; проверка обратным сложением даёт исходные $2{,}5$ м/с.