Как найти ускорение точки: пошаговое решение

Дано: точка движется в плоскости по закону $x(t) = 2t^2 - 2t$ м и $y(t) = t^3 - 4t$ м. Найти: ускорение точки в момент $t = 2$ с, его касательную и нормальную составляющие и радиус кривизны траектории.

При координатном способе задания движения ускорение находят двойным дифференцированием: проекции $a_x$ и $a_y$ складывают по теореме Пифагора, а затем раскладывают полное ускорение на касательную и нормальную составляющие, чтобы отделить разгон от поворота. Ответ: $v = 10$ м/с, $a \approx 12{,}65$ м/с², $a_\tau = 12$ м/с², $a_n = 4$ м/с², $\rho = 25$ м. Калькулятор сверху считает то же самое для любых коэффициентов и любого момента времени, а дальше идёт разбор по шагам.

Решение по шагам

Дано: $x(t) = 2t^2 - 2t$ м, $y(t) = t^3 - 4t$ м, момент времени $t = 2$ с. Найти: $v$, $a$, $a_\tau$, $a_n$, $\rho$.

Шаг 1. Проекции скорости. Скорость - первая производная координаты по времени, поэтому дифференцируем каждый закон отдельно:

$$v_x = \dot{x} = 4t - 2, \qquad v_y = \dot{y} = 3t^2 - 4.$$

Подставляем момент $t = 2$ с и получаем $v_x = 4 \cdot 2 - 2 = 6$ м/с, $v_y = 3 \cdot 4 - 4 = 8$ м/с. Заодно найдём положение точки: $x = 2 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 4$ м, $y = 8 - 8 = 0$ м.

Шаг 2. Модуль скорости. Проекции перпендикулярны, значит модуль собирается по теореме Пифагора:

$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 \ \text{м/с}.$$

Это число понадобится дважды: в формуле касательного ускорения и в формуле радиуса кривизны, поэтому считать его нужно точно, а не округлять по дороге.

Шаг 3. Проекции и модуль полного ускорения. Ускорение - вторая производная координат, то есть производная от проекций скорости:

$$a_x = \dot{v}_x = 4 \ \text{м/с}^2, \qquad a_y = \dot{v}_y = 6t = 6 \cdot 2 = 12 \ \text{м/с}^2.$$ $$a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{4^2 + 12^2} = \sqrt{160} \approx 12{,}65 \ \text{м/с}^2.$$

Обрати внимание: проекция $a_x$ постоянна, потому что $x(t)$ квадратичная, а $a_y$ растёт линейно - кубический закон по $y$ даёт переменное ускорение вдоль этой оси.

Шаг 4. Касательное ускорение. Оно равно производной модуля скорости, но брать её напрямую от корня неудобно. Проще воспользоваться готовым следствием - проекцией вектора ускорения на направление скорости:

$$a_\tau = \frac{v_x a_x + v_y a_y}{v} = \frac{6 \cdot 4 + 8 \cdot 12}{10} = \frac{120}{10} = 12 \ \text{м/с}^2.$$

Знак получился положительным, значит модуль скорости в этот момент растёт: точка разгоняется на 12 м/с за каждую секунду.

Шаг 5. Нормальное ускорение и радиус кривизны. Касательная и нормаль перпендикулярны, поэтому нормальную составляющую достаём из того же прямоугольного треугольника:

$$a_n = \sqrt{a^2 - a_\tau^2} = \sqrt{160 - 144} = \sqrt{16} = 4 \ \text{м/с}^2.$$ $$\rho = \frac{v^2}{a_n} = \frac{10^2}{4} = 25 \ \text{м}.$$

Ответ: $v = 10$ м/с, полное ускорение $a = \sqrt{160} \approx 12{,}65$ м/с², касательное $a_\tau = 12$ м/с², нормальное $a_n = 4$ м/с², радиус кривизны траектории $\rho = 25$ м.

Формула и откуда она берётся

Ускорение точки по определению - производная вектора скорости по времени, $\vec{a} = d\vec{v}/dt$. Если движение задано координатами, вектор раскладывают по неподвижным осям, и каждая проекция дифференцируется независимо от остальных. Отсюда и рецепт первых трёх шагов: продифференцировал дважды, сложил квадраты, извлёк корень.

Но проекции на неподвижные оси ничего не говорят о характере движения. Одно и то же ускорение $12{,}65$ м/с² может целиком уходить на разгон по прямой, а может целиком на поворот при неизменной скорости. Поэтому вектор раскладывают ещё раз, теперь по естественным осям - касательной к траектории и нормали к ней:

$$\vec{a} = a_\tau \vec{\tau} + a_n \vec{n}, \qquad a_\tau = \frac{dv}{dt}, \qquad a_n = \frac{v^2}{\rho}.$$

Первая составляющая отвечает за изменение модуля скорости, вторая - за изменение её направления. Оси взаимно перпендикулярны, поэтому модуль полного ускорения равен $a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2}$, а угол между ускорением и скоростью находится как $\cos\beta = a_\tau / a$. В нашем примере $\cos\beta = 12 / 12{,}65$, то есть $\beta \approx 18{,}4^\circ$ - вектор ускорения почти совпал с направлением движения, потому что разгон здесь заметно сильнее поворота. Подробный вывод этого разложения разобран в статье про полное ускорение при криволинейном движении.

Формула шага 4 получается из равенства $v^2 = v_x^2 + v_y^2$: продифференцируй обе части по времени, и слева окажется $2v \cdot dv/dt$, а справа $2(v_x a_x + v_y a_y)$. Сократив двойку и поделив на $v$, получаешь ровно то выражение, которым мы считали $a_\tau$. Это не отдельная формула, которую надо зубрить, а следствие определения.

Если движение задано другим способом

Координатный способ - не единственный. Когда траектория известна заранее (окружность, дуга, направляющая), движение задают естественным способом: законом пути $s = s(t)$ вдоль траектории. Тогда касательное ускорение считается напрямую как $a_\tau = \ddot{s}$, а нормальное - по радиусу кривизны:

$$a_\tau = \ddot{s}, \qquad a_n = \frac{\dot{s}^2}{\rho}, \qquad a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2}.$$

Например, для точки на окружности радиусом $R = 20$ м со скоростью $v = 10$ м/с нормальное ускорение равно $v^2/R = 5$ м/с² независимо от того, разгоняется точка или нет. При равномерном движении по окружности касательная составляющая обращается в ноль, и полное ускорение сводится к центростремительному - этот частный случай разобран в материале про кинематику равномерного движения по окружности.

Третий вариант - прямолинейное движение. Там траектория не искривляется, радиус кривизны бесконечен, нормальное ускорение равно нулю, и ускорение точки полностью совпадает с касательным. Если при этом дана не координата, а скорость, задача сводится к дифференцированию или, в обратную сторону, к интегрированию: так решается разбор как найти путь по скорости.

Проверка ответа

Первый способ проверки - пересчитать нормальное ускорение не через разность квадратов, а через векторное произведение проекций:

$$a_n = \frac{|v_x a_y - v_y a_x|}{v} = \frac{|6 \cdot 12 - 8 \cdot 4|}{10} = \frac{40}{10} = 4 \ \text{м/с}^2.$$

Число совпало, значит арифметика в шагах 3 и 5 верна. Этот путь надёжнее, когда $a_\tau$ и $a$ близки: разность двух почти равных квадратов теряет точность при округлениях.

Второй способ - прикинуть порядок величин. Радиус кривизны $25$ м при скорости $10$ м/с означает довольно пологий поворот, и это согласуется с малым углом $\beta \approx 18^\circ$ между ускорением и скоростью. Если бы в ответе получился радиус в доли метра при той же скорости, это означало бы, что точка практически разворачивается на месте, - повод перепроверить знаки в проекциях. Подробнее про связь координатного описания с траекторией - в разборе координатного способа задания движения.

Частые ошибки

• Складывают проекции арифметически. $a = a_x + a_y$ неверно: проекции перпендикулярны, работает только $a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$. В нашем примере ошибка дала бы 16 вместо 12,65.
• Путают полное ускорение с касательным. Модуль вектора ускорения и скорость изменения модуля скорости - разные величины: здесь $a \approx 12{,}65$, а $a_\tau = 12$ м/с². Совпадают они только при прямолинейном движении.
• Считают $a_\tau$ как производную от квадратного корня по формуле в лоб. Так тоже можно, но выкладка длиннее и в ней легко потерять множитель. Проекция на направление скорости даёт тот же результат в одну строку.
• Подставляют число $t$ до дифференцирования. Если сначала подставить $t = 2$ в $y(t)$, получится константа, производная которой равна нулю. Дифференцировать нужно закон, а числа подставлять в готовые производные.
• Берут радиус траектории вместо радиуса кривизны. Для произвольной кривой $\rho$ - мгновенная характеристика в конкретной точке, она меняется от момента к моменту, и брать её постоянной нельзя.
• Теряют размерности. Если координаты в сантиметрах, ускорение получится в см/с², а радиус кривизны - в сантиметрах; смешивать их с метрами в одном ответе нельзя.

FAQ

Чем ускорение точки отличается от ускорения тела? Точка - модель без размеров, у неё одно ускорение на весь объект. У твёрдого тела разные точки движутся по-разному, поэтому там говорят об ускорении конкретной точки тела и добавляют угловое ускорение вращения. Задача выше решается именно для точки.

Можно ли получить отрицательное нормальное ускорение? Нет. Нормальная составляющая всегда направлена к центру кривизны, и её берут по модулю: $a_n \ge 0$. Знак есть только у касательной составляющей - минус означает торможение.

Что делать, если движение задано в пространстве? Добавляется третья координата $z(t)$, и все формулы работают без изменений: модули считаются по трём проекциям, а касательное ускорение - через скалярное произведение из трёх слагаемых.

Как быстро понять, разгоняется точка или тормозит? По знаку скалярного произведения $v_x a_x + v_y a_y$. Положительное - разгон, отрицательное - торможение, ноль - движение с постоянным модулем скорости, когда всё ускорение уходит на поворот.

Коротко

1. Дважды продифференцируй законы движения: $v_x = \dot{x}$, $v_y = \dot{y}$, затем $a_x = \ddot{x}$, $a_y = \ddot{y}$; числа подставляй только в готовые производные.
2. Собери модули: $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ и $a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$.
3. Найди касательное ускорение как проекцию на направление скорости: $a_\tau = (v_x a_x + v_y a_y)/v$; его знак показывает разгон или торможение.
4. Нормальное ускорение достань из прямоугольного треугольника $a_n = \sqrt{a^2 - a_\tau^2}$ и посчитай радиус кривизны $\rho = v^2 / a_n$.
5. Для примера $x = 2t^2 - 2t$, $y = t^3 - 4t$ при $t = 2$ с ответ: $v = 10$ м/с, $a \approx 12{,}65$ м/с², $a_\tau = 12$ м/с², $a_n = 4$ м/с², $\rho = 25$ м.