Как найти путь по скорости: решение через интеграл

Дано: скорость точки $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$ м/с, промежуток от $t_1 = 0$ до $t_2 = 5$ с. Найти: путь $s$ и перемещение $\Delta x$.

Путь равен определённому интегралу от модуля скорости, поэтому промежуток сначала разбивают в точках, где $v(t)$ меняет знак, а затем складывают модули интегралов по участкам. Ответ: путь 28 м, перемещение 20 м. Калькулятор сверху сам находит моменты разворота и считает оба числа для любой квадратичной скорости, а ниже идёт решение по шагам.

Решение по шагам

Дано: $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$ м/с, $t_1 = 0$ с, $t_2 = 5$ с. Найти: путь и перемещение.

Шаг 1. Записываем формулу пути. Путь за промежуток времени равен интегралу от модуля скорости:

$$s = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt.$$

Модуль здесь не формальность. Если скорость всё время одного знака, его можно снять и считать обычный интеграл. Если знак меняется, интеграл без модуля даст перемещение, а не путь, и ответ будет занижен.

Шаг 2. Ищем моменты смены знака. Приравниваем скорость к нулю:

$$3t^2 - 12t + 9 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad t^2 - 4t + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 1, \; t = 3.$$

Оба корня попали внутрь промежутка $[0;\,5]$, значит участков будет три. Знак на каждом определяем по пробной точке:

Шаг 3. Находим первообразную. Интегрируем многочлен почленно:

$$F(t) = \int (3t^2 - 12t + 9)\,dt = t^3 - 6t^2 + 9t.$$

Проверка занимает секунду: $F'(t) = 3t^2 - 12t + 9 = v(t)$, первообразная найдена верно.

Шаг 4. Считаем интеграл на каждом участке. По формуле Ньютона-Лейбница подставляем границы участков:

$$\begin{aligned} \int_0^1 v\,dt &= F(1) - F(0) = 4 - 0 = 4 \text{ м}, \\ \int_1^3 v\,dt &= F(3) - F(1) = 0 - 4 = -4 \text{ м}, \\ \int_3^5 v\,dt &= F(5) - F(3) = 20 - 0 = 20 \text{ м}. \end{aligned}$$

Промежуточные значения первообразной: $F(0) = 0$, $F(1) = 1 - 6 + 9 = 4$, $F(3) = 27 - 54 + 27 = 0$, $F(5) = 125 - 150 + 45 = 20$.

Шаг 5. Складываем модули. Отрицательный интеграл на среднем участке берём по модулю: на нём точка прошла те же 4 метра, только назад.

$$s = |4| + |-4| + |20| = 28 \text{ м}.$$

Шаг 6. Для сравнения считаем перемещение. Здесь модуль не нужен, промежуток дробить тоже не нужно:

$$\Delta x = \int_0^5 v(t)\,dt = F(5) - F(0) = 20 \text{ м}.$$

Ответ. Путь равен 28 м, перемещение равно 20 м. Средняя путевая скорость на этом промежутке: $s / (t_2 - t_1) = 28/5 = 5{,}6$ м/с.

Формула пути и откуда она берётся

Скорость по определению есть производная координаты: $v(t) = x'(t)$. Значит координата - первообразная скорости, и её приращение считается по формуле Ньютона-Лейбница. Отсюда сразу выходит перемещение:

$$\Delta x = x(t_2) - x(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt.$$

Путь строится иначе, хотя формула похожа. Разобьём промежуток на маленькие кусочки длиной $\Delta t$. За такой кусочек точка проходит примерно $|v(t_i)|\,\Delta t$ метров: направление за мгновение измениться не успевает, а пройденное расстояние всегда положительно. Сумма таких кусочков и есть путь, а предел суммы при $\Delta t \to 0$ - интеграл от модуля скорости.

Именно поэтому в формуле пути стоит $|v(t)|$, а в формуле перемещения - сам $v(t)$. Геометрически путь равен площади между графиком скорости и осью времени, где куски под осью считаются положительными; перемещение - та же площадь, но с учётом знака. Техника вычисления самого интеграла при этом обычная: первообразная плюс подстановка пределов, как в разборе определённого интеграла.

Путь и перемещение: почему числа разошлись

В нашей задаче точка сначала ушла на 4 м вперёд, затем вернулась на те же 4 м назад и только после этого уехала на 20 м вперёд. Координата в момент $t = 5$ отличается от начальной на 20 м - это перемещение. Одометр же намотал 28 м - это путь.

Разница двух величин всегда равна удвоенному «откату»: точка прошла лишние 4 м назад и потом заново те же 4 м вперёд, откуда $28 - 20 = 2 \cdot 4$. Отсюда простая проверка: путь никогда не меньше модуля перемещения, и совпадают они ровно тогда, когда скорость на промежутке не меняет знак.

Различаются и средние. Средняя путевая скорость считается через путь: $28/5 = 5{,}6$ м/с. Средняя скорость перемещения - через перемещение: $20/5 = 4$ м/с. В условии обычно просят первую, но формулировку стоит читать внимательно; типовые примеры на эту тему разобраны в статье про среднюю скорость на участках пути.

Если скорость задана иначе

Линейная скорость. При равноускоренном движении $v(t) = v_0 + at$, и интеграл даёт знакомую школьную формулу:

$$s = \int_0^{t} (v_0 + a\tau)\,d\tau = v_0 t + \frac{a t^2}{2}.$$

Но она верна, только пока скорость не сменила знак. Если тело тормозит до остановки и едет назад, момент $t_0 = -v_0/a$ становится границей участков, и формулу применяют к каждому куску отдельно. Остальные соотношения кинематики собраны в разборе равноускоренного движения.

Скорость задана графиком. Считать площадь под ломаной проще геометрически: прямоугольники и трапеции вместо первообразной. Куски ниже оси времени тоже дают положительный вклад в путь.

Скорость задана таблицей. Аналитической формулы нет, поэтому интеграл оценивают численно. Для замеров через равные шаги $h$ работает формула трапеций: $s \approx h\left(\frac{v_0 + v_n}{2} + v_1 + \dots + v_{n-1}\right)$. Например, для замеров 0; 3,2; 5,1; 6,0; 6,4 м/с через каждые 2 с получаем $s \approx 2 \cdot (3{,}2 + 14{,}3) = 35$ м.

Движение по окружности или по кривой. Если задана величина скорости вдоль траектории, формула та же - путь есть интеграл модуля скорости. Отличие в том, что перемещение считается уже векторно, и связь «путь минус перемещение» через простой откат не работает.

Частые ошибки

• Забыли модуль. Самая частая потеря: $\int_0^5 v\,dt = 20$ м записывают как путь. Это перемещение, путь на 8 м больше.
• Не проверили, есть ли корни внутри промежутка. Уравнение $v(t) = 0$ решают всегда, а не только когда «видно» разворот. Корни вне промежутка просто отбрасывают, как и в задаче на промежутки монотонности.
• Сложили интегралы со знаками, а модуль поставили в конце. $|4 - 4 + 20| = 20$ - это снова перемещение. Модуль берётся у каждого участка отдельно, до сложения.
• Перепутали границы участков. После деления в точках $t = 1$ и $t = 3$ интегрируют по $[0;\,1]$, $[1;\,3]$, $[3;\,5]$, а не по всему промежутку три раза.
• Подставили пределы не в ту первообразную. $F(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ - первообразная скорости, а не самой координаты с начальным значением. Константа при вычитании сокращается, дописывать её не нужно.
• Потеряли единицы. Скорость в м/с, время в секундах, значит интеграл выходит в метрах. Если скорость дана в км/ч, а время в минутах, единицы приводят до интегрирования.

FAQ

Чем путь отличается от перемещения? Путь - длина траектории, он не убывает и всегда неотрицателен. Перемещение - изменение координаты, оно может быть отрицательным или нулевым. Совпадают они только при движении без разворотов.

Обязательно ли искать корни уравнения v(t) = 0? Да, иначе можно не заметить смену знака. Если корней внутри промежутка нет, модуль снимается сразу и решение сводится к одному интегралу, но убедиться в этом нужно.

Как найти путь, если известна не скорость, а ускорение? Сначала интегрируют ускорение и получают скорость: $v(t) = v_0 + \int_0^t a(\tau)\,d\tau$. Затем действуют по обычной схеме, интегрируя модуль полученной скорости.

Может ли путь равняться нулю при ненулевом времени? Нет. Путь равен нулю, только если скорость тождественно равна нулю на всём промежутке. А вот перемещение обнуляется легко: в нашей задаче на промежутке $[0;\,3]$ путь равен 8 м, а перемещение равно нулю, потому что $F(3) = F(0) = 0$.

Коротко

1. Путь считается по формуле $s = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$, перемещение - по той же формуле без модуля.
2. Решают уравнение $v(t) = 0$ и оставляют корни, попавшие внутрь промежутка: они делят его на участки постоянного знака.
3. Находят первообразную $F(t)$ и на каждом участке считают приращение $F(\text{конец}) - F(\text{начало})$.
4. Складывают модули приращений - это путь; складывают их со знаками - это перемещение.
5. В примере $v(t) = 3t^2 - 12t + 9$ на промежутке $[0;\,5]$: корни $t = 1$ и $t = 3$, вклады 4, $-4$ и 20 м, путь 28 м, перемещение 20 м, средняя путевая скорость 5,6 м/с.