Как найти угол трения: формула и пример расчёта

Дано: брусок массой $m = 10$ кг на наклонной плоскости с углом наклона $\alpha = 20^\circ$, коэффициент трения покоя $f = 0{,}25$. Найти: угол трения $\varphi$, угол при вершине конуса трения, проверить условие самоторможения и найти силу, удерживающую брусок.

Угол трения ищут одной формулой: это арктангенс коэффициента трения, $\varphi = \operatorname{arctg} f$. Дальше задача сводится к сравнению двух углов - наклона и трения. Ответ: $\varphi \approx 14{,}04^\circ$, то есть $14^\circ 02'$; угол при вершине конуса трения $2\varphi \approx 28{,}07^\circ$; самоторможения нет, потому что $\alpha > \varphi$; для удержания бруска нужна сила $10{,}5$ Н, направленная вдоль плоскости вверх. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: подвинь ползунки, и рабочая точка на графике переедет в свою зону.

Решение по шагам

Дано. $m = 10$ кг, $\alpha = 20^\circ$, $f = 0{,}25$, ускорение свободного падения $g = 9{,}81$ м/с². Найти. $\varphi$, $2\varphi$, выполняется ли условие самоторможения, удерживающую силу $F$.

Шаг 1. Считаем угол трения. По определению угол трения - это угол, тангенс которого равен коэффициенту трения покоя:

$$\operatorname{tg}\varphi = f \quad\Longrightarrow\quad \varphi = \operatorname{arctg} f = \operatorname{arctg} 0{,}25 = 14{,}0362^\circ \approx 14{,}04^\circ.$$

Переведём дробную часть в минуты: $0{,}0362^\circ \cdot 60 = 2{,}2'$, значит $\varphi = 14^\circ 02'$. Обрати внимание, чего в этом расчёте нет: ни массы, ни угла наклона, ни площади контакта. Угол трения - характеристика пары трущихся материалов, и он тот же самый для бруска в 10 кг и для станины в тонну.

Шаг 2. Строим конус трения. Конус трения - это конус с осью вдоль нормали к поверхности и углом $\varphi$ между осью и образующей. Угол при его вершине вдвое больше угла трения:

$$2\varphi = 2 \cdot 14{,}0362^\circ = 28{,}0725^\circ \approx 28{,}07^\circ.$$

Смысл этой фигуры простой: полная реакция шероховатой поверхности не может выйти за пределы конуса. Внутри конуса связь удержит тело, на границе начинается срыв, вне конуса равновесия нет.

Шаг 3. Проверяем самоторможение. Тело на шероховатой наклонной плоскости стоит без всякой посторонней силы, пока угол наклона не превысил угол трения:

$$\alpha \le \varphi.$$

Подставляем: $\alpha = 20^\circ$, $\varphi = 14{,}04^\circ$, то есть $20^\circ > 14{,}04^\circ$. То же самое в коэффициентах: $\operatorname{tg} 20^\circ = 0{,}364 > f = 0{,}25$. Условие не выполняется, самоторможения нет - брусок поедет вниз, если его не держать.

Шаг 4. Находим удерживающую силу. Раз тело срывается, посчитаем, какой силы вдоль плоскости не хватает. Сначала вес и его составляющие:

$$\begin{aligned} G &= mg = 10 \cdot 9{,}81 = 98{,}1\ \text{Н}, \\ N &= G\cos\alpha = 98{,}1 \cdot \cos 20^\circ = 98{,}1 \cdot 0{,}9397 = 92{,}18\ \text{Н}, \\ G\sin\alpha &= 98{,}1 \cdot 0{,}3420 = 33{,}55\ \text{Н}. \end{aligned}$$

Предельная сила трения покоя равна произведению коэффициента на нормальную реакцию:

$$F_{\text{тр}}^{\max} = fN = 0{,}25 \cdot 92{,}18 = 23{,}05\ \text{Н}.$$

Скатывающая составляющая $33{,}55$ Н больше этого предела, разницу и добирает внешняя сила:

$$F = G\sin\alpha - fN = 33{,}55 - 23{,}05 = 10{,}51\ \text{Н}.$$

Шаг 5. Проверяем ответ через угол трения. Если подставить $f = \operatorname{tg}\varphi$ и свернуть разность синуса и косинуса, получится компактная формула через два угла:

$$F = G\,\frac{\sin(\alpha - \varphi)}{\cos\varphi} = 98{,}1 \cdot \frac{\sin(20^\circ - 14{,}04^\circ)}{\cos 14{,}04^\circ} = 98{,}1 \cdot \frac{0{,}1039}{0{,}9701} = 10{,}51\ \text{Н}.$$

Оба пути дали одно число, значит арифметика сошлась. Заодно видно, почему знак разности $\alpha - \varphi$ и есть критерий самоторможения: при $\alpha < \varphi$ сила выходит отрицательной, то есть удерживать нечего.

Ответ. $\varphi = 14{,}04^\circ = 14^\circ 02'$, угол при вершине конуса трения $2\varphi = 28{,}07^\circ$, условие самоторможения не выполняется ($20^\circ > 14{,}04^\circ$), удерживающая сила вдоль плоскости $F \approx 10{,}5$ Н.

Формула и откуда она берётся

Шероховатая поверхность действует на тело двумя силами сразу: нормальной реакцией $N$ и силой трения $F_{\text{тр}}$, лежащей в плоскости контакта. В теормехе их удобно складывать в одну полную реакцию связи $R$:

$$R = \sqrt{N^2 + F_{\text{тр}}^2}, \qquad \operatorname{tg}\theta = \frac{F_{\text{тр}}}{N},$$

где $\theta$ - угол отклонения полной реакции от нормали. Пока тело покоится, сила трения меняется вместе с нагрузкой, а с ней меняется и угол $\theta$. Но расти бесконечно он не может: трение покоя ограничено сверху значением $fN$.

Подставим этот предел в тангенс - и коэффициент трения останется единственным, что стоит справа:

$$\operatorname{tg}\varphi = \frac{fN}{N} = f \quad\Longrightarrow\quad \varphi = \operatorname{arctg} f.$$

Вот и весь вывод. Угол трения $\varphi$ - это максимально возможный угол отклонения полной реакции шероховатой связи от нормали. Нормальная реакция $N$ из формулы сокращается, поэтому ответ не зависит ни от прижимающей силы, ни от массы тела - сокращение $N$ и есть математическая причина того, что угол трения табличная величина. Если в задаче надо разложить полную реакцию обратно на составляющие или найти реакции нескольких связей сразу, схема стандартная и разобрана в задаче про реакции опор.

В нашем примере на пределе равновесия полная реакция равна $R = N / \cos\varphi = 92{,}18 / 0{,}9701 = 95{,}02$ Н и отклонена от нормали на те самые $14^\circ 02'$.

Конус трения и условие самоторможения

Если повернуть отрезок, отклонённый от нормали на угол $\varphi$, вокруг нормали, получится конус трения - геометрическое место всех предельных положений полной реакции. Для изотропной поверхности (коэффициент трения одинаков во всех направлениях) это круговой конус с половинным углом $\varphi$ и углом при вершине $2\varphi$.

Отсюда следует главный практический критерий статики с трением. Тело остаётся в покое при любой величине активной силы, если линия действия равнодействующей активных сил проходит внутри конуса трения. Если она вышла за конус, никакое увеличение прижима не поможет: обе части неравенства растут пропорционально $N$, и тело поедет. Такое состояние и называют самоторможением - оно определяется только направлением силы, а не её модулем.

На наклонной плоскости равнодействующая активных сил - это вес, направленный вертикально. Он отклонён от нормали к плоскости ровно на угол наклона $\alpha$, поэтому условие «вес внутри конуса» превращается в неравенство $\alpha \le \varphi$. Ровно этот критерий мы и проверяли в шаге 3, и ровно его показывает график в калькуляторе сверху: заливка под кривой $\varphi = \operatorname{arctg} f$ - зона самоторможения, а рабочая точка $(f, \alpha)$ либо попадает в неё, либо остаётся выше.

Тот же критерий работает в винтовых парах, клиновых и шпоночных соединениях: домкрат не раскручивается под грузом, а клин не выдавливается именно потому, что угол подъёма резьбы или скоса меньше угла трения.

Как найти угол трения из опыта

Обратная задача встречается не реже: коэффициент трения неизвестен, зато плоскость можно наклонять. Тело кладут на плиту и медленно поднимают её край, пока брусок не сорвётся. Угол в момент срыва называют углом трогания $\alpha_0$, и он численно равен углу трения:

$$\alpha_0 = \varphi, \qquad f = \operatorname{tg}\alpha_0.$$

Например, срыв при $\alpha_0 = 18^\circ$ даёт $f = \operatorname{tg} 18^\circ = 0{,}325$ и $\varphi = 18^\circ$. Именно этот режим включает второй чип в калькуляторе: вводишь измеренный угол, получаешь коэффициент. Подробный разбор равновесия до момента срыва, с проверкой запаса по трению покоя, есть в статье про силу трения покоя.

Для сверки порядка величин удобна короткая таблица:

Видно, что углы трения в технике почти всегда лежат в диапазоне от 5 до 20 градусов, поэтому наклонная плоскость круче 20 градусов почти наверняка не самотормозится.

Частые ошибки

• Путают угол трения с углом наклона. $\varphi$ считается только по коэффициенту, $\alpha$ задаётся условием. Совпадают они лишь в одной точке - в момент срыва, и именно на этом построен опытный метод.
• Берут синус вместо тангенса. В формуле стоит $\operatorname{tg}\varphi = f$, потому что тангенс - это отношение силы трения к нормальной реакции. Через синус получилось бы отношение трения к полной реакции, а это уже другая величина.
• Считают арктангенс в радианах и оставляют так. Инженерный ответ в градусах: $\operatorname{arctg} 0{,}25 = 0{,}245$ рад - это те же $14{,}04^\circ$, но в ответе теормеха должны стоять градусы и минуты.
• Вписывают в предельную формулу вес, а не нормальную реакцию. На наклонной $N = G\cos\alpha = 92{,}18$ Н, а не $98{,}1$ Н. Ошибка на косинус даёт завышенную силу трения и ложное самоторможение.
• Называют конусом трения угол $\varphi$, а не $2\varphi$. Половинный угол конуса равен $\varphi$, угол при вершине вдвое больше. В ответе стоит писать, какой именно угол имеется в виду.
• Забывают, что самоторможение не зависит от массы. Утяжелить груз, чтобы он перестал съезжать, нельзя: вес входит и в скатывающую составляющую, и в силу трения, и при сравнении сокращается.

FAQ

Чем угол трения отличается от коэффициента трения? Это одна и та же характеристика пары материалов в разных единицах: коэффициент $f$ безразмерный, угол $\varphi = \operatorname{arctg} f$ измеряется в градусах. Через угол удобнее решать задачи геометрически, через коэффициент - подставлять в уравнения равновесия.

Может ли угол трения быть больше 45 градусов? Да, если коэффициент трения больше единицы. Такое встречается у резины по сухому асфальту, у чистых притёртых металлов в вакууме и у некоторых полимеров. Формально ограничений нет: $\operatorname{arctg} f$ определён при любом положительном $f$.

Зачем нужен конус трения, если есть неравенство $\operatorname{tg}\alpha \le f$? Неравенство работает для наклонной плоскости, где направление активной силы очевидно. Конус трения - общая формулировка того же условия для произвольного направления нагрузки: в задачах про клин, резьбу или тягу под углом только он и позволяет ответить сразу, без разложения по осям.

Какой угол трения брать, если в справочнике два коэффициента: покоя и скольжения? Для проверки равновесия и самоторможения - угол по коэффициенту трения покоя, он больше. Угол по коэффициенту трения скольжения нужен, когда тело уже движется и считается работа сил трения.

Коротко

1. Угол трения находится одной формулой: $\varphi = \operatorname{arctg} f$. Для $f = 0{,}25$ получаем $\varphi = 14{,}04^\circ = 14^\circ 02'$.
2. Угол при вершине конуса трения вдвое больше половинного: $2\varphi = 28{,}07^\circ$. Внутри конуса лежат все возможные положения полной реакции шероховатой связи.
3. Самоторможение на наклонной плоскости выполняется при $\alpha \le \varphi$. У нас $20^\circ > 14{,}04^\circ$, значит брусок съезжает.
4. Удерживающая сила вдоль плоскости: $F = G\sin\alpha - fG\cos\alpha = 33{,}55 - 23{,}05 = 10{,}51 \approx 10{,}5$ Н, что совпадает с проверкой по формуле $F = G\sin(\alpha - \varphi)/\cos\varphi$.
5. Обратная задача решается опытом: угол трогания плоскости равен углу трения, а коэффициент считается как $f = \operatorname{tg}\alpha_0$.