Как построить план скоростей: пример решения

Дано: кривошипно-ползунный механизм, кривошип $OA = 0{,}2$ м вращается вокруг неподвижной оси $O$ с угловой скоростью $\omega_{OA} = 10$ рад/с против часовой стрелки, шатун $AB = 0{,}6$ м, ползун $B$ ходит по направляющей, проходящей через $O$; угол кривошипа с направляющей $\varphi = 60^\circ$. Найти: план скоростей, скорость ползуна и угловую скорость шатуна.

План строится по векторному уравнению $\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{v}_{BA}$: скорость точки $A$ известна целиком, у скорости ползуна известно направление вдоль направляющей, у относительной скорости - перпендикуляр к шатуну. Ответ: $v_B \approx 2{,}03$ м/с, $\omega_{AB} \approx 1{,}74$ рад/с по часовой стрелке. Калькулятор сверху перестраивает план под любые длины звеньев и любое положение кривошипа, а второй режим показывает тот же момент на схеме механизма.

Решение по шагам

Шаг 1. Скорость ведущей точки. Кривошип вращается вокруг неподвижной оси, значит точка $A$ идёт по окружности радиуса $OA$. Её скорость перпендикулярна кривошипу и направлена в сторону вращения:

$$v_A = \omega_{OA} \cdot OA = 10 \cdot 0{,}2 = 2{,}0 \ \text{м/с}.$$

Это единственный вектор, который в начале построения известен полностью: и по модулю, и по направлению. С него всегда и начинают план.

Шаг 2. Векторное уравнение для ползуна. Шатун $AB$ совершает плоское движение. Принимаем за полюс точку $A$, скорость которой уже найдена, и записываем теорему о скоростях точек плоской фигуры:

$$\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{v}_{BA}, \qquad v_{BA} = \omega_{AB} \cdot AB, \qquad \vec{v}_{BA} \perp AB.$$

Разберём, что в уравнении известно. Вектор $\vec{v}_B$ направлен вдоль направляющей ползуна, модуль неизвестен. Вектор $\vec{v}_A$ известен полностью. Вектор $\vec{v}_{BA}$ перпендикулярен шатуну, модуль неизвестен. Итого два неизвестных числа, а векторное уравнение на плоскости равносильно двум скалярным, значит задача решается.

Шаг 3. Наклон шатуна. Чтобы провести перпендикуляр к $AB$, нужен угол шатуна с направляющей. Ползун ходит по прямой, проходящей через $O$, поэтому высоту точки $A$ над направляющей шатун перекрывает целиком: $AB\sin\beta = OA\sin\varphi$. Отсюда

$$\sin\beta = \frac{OA \sin\varphi}{AB} = \frac{0{,}2 \cdot 0{,}866}{0{,}6} = 0{,}289, \qquad \beta = 16{,}8^\circ.$$

Шаг 4. Масштаб плана. План скоростей - это чертёж, и у него есть свой масштаб. Задаём длину отрезка $pa$, изображающего скорость точки $A$: берём круглые 40 мм, чтобы весь план уместился на листе. Тогда

$$\mu_v = \frac{v_A}{pa} = \frac{2{,}0}{40} = 0{,}05 \ \frac{\text{м/с}}{\text{мм}}.$$

Шаг 5. Построение. Ставим на свободном поле полюс $p$. Из полюса откладываем отрезок $pa$ длиной 40 мм перпендикулярно кривошипу $OA$ в сторону вращения - это вектор $\vec{v}_A$. Через конец $a$ проводим прямую, перпендикулярную шатуну $AB$: на ней лежит вектор $\vec{v}_{BA}$. Через полюс $p$ проводим прямую, параллельную направляющей ползуна: на ней лежит вектор $\vec{v}_B$. Пересечение двух прямых даёт точку $b$, и построение закончено.

Шаг 6. Снимаем результат с чертежа. Измеряем полученные отрезки: $pb = 40{,}7$ мм, $ab = 20{,}9$ мм. Переводим их в скорости:

$$\begin{aligned} v_B &= \mu_v \cdot pb = 0{,}05 \cdot 40{,}7 = 2{,}03 \ \text{м/с}, \\ v_{BA} &= \mu_v \cdot ab = 0{,}05 \cdot 20{,}9 = 1{,}04 \ \text{м/с}. \end{aligned}$$

Шаг 7. Угловая скорость шатуна. Модуль берётся из определения относительной скорости, направление - переносом вектора $ab$ в точку $B$:

$$\omega_{AB} = \frac{v_{BA}}{AB} = \frac{1{,}04}{0{,}6} = 1{,}74 \ \text{рад/с}.$$

Перенесённый в точку $B$ вектор $\vec{v}_{BA}$ разворачивает шатун вокруг полюса $A$ по часовой стрелке, то есть навстречу кривошипу.

Шаг 8. Скорость середины шатуна. Точка $S$ делит $AB$ пополам, поэтому по теореме подобия и точка $s$ делит пополам отрезок $ab$ плана. Измеряем $ps = 39{,}0$ мм и получаем $v_S = 0{,}05 \cdot 39{,}0 = 1{,}95$ м/с.

Ответ. Масштаб плана $\mu_v = 0{,}05$ м/(с·мм); $v_A = 2{,}0$ м/с, $v_B = 2{,}03$ м/с, $v_{BA} = 1{,}04$ м/с, $\omega_{AB} = 1{,}74$ рад/с по часовой стрелке, скорость середины шатуна $v_S = 1{,}95$ м/с.

Векторное уравнение, полюс и масштаб

План скоростей - это графическое решение системы векторных уравнений вида $\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{v}_{BA}$, записанных для всех звеньев механизма. Векторы скоростей всех точек откладываются из одной точки - полюса $p$, поэтому отрезок от полюса до буквы всегда означает абсолютную скорость соответствующей точки механизма: $pa$ - скорость точки $A$, $pb$ - скорость точки $B$. Полюс при этом изображает все неподвижные точки сразу: их скорость равна нулю, и они попадают в одну точку чертежа.

Отрезки, соединяющие концы векторов, читаются иначе. Отрезок $ab$ - это относительная скорость $\vec{v}_{BA}$, то есть скорость точки $B$ в её движении вокруг полюса $A$. Отсюда простое правило чтения плана: буква рядом с полюсом - абсолютная скорость, две буквы без полюса - относительная. Теория плоского движения, из которой всё это следует, подробно разобрана в статье про плоскопараллельное движение твёрдого тела.

Масштаб $\mu_v$ в теормехе принято задавать в метрах в секунду на миллиметр чертежа. Удобно подбирать его так, чтобы длина известного вектора выражалась круглым числом: 30, 40, 50 или 100 мм. Величина отрезка на ответ не влияет, но слишком мелкий план даёт ошибку уже при снятии результата линейкой.

Отдельного внимания стоит теорема подобия: фигура, образованная точками плана, подобна фигуре из соответствующих точек звена и повёрнута относительно неё на 90 градусов. Из неё и берётся скорость середины шатуна одним делением отрезка пополам, а для точки, лежащей вне отрезка $AB$, строится подобный треугольник.

Проверка ответа: аналитика и мгновенный центр скоростей

Графическое построение всегда полезно проверить счётом. Для кривошипно-ползунного механизма проекции векторного уравнения на оси дают замкнутые формулы:

$$v_B = v_A\,\frac{\sin(\varphi + \beta)}{\cos\beta}, \qquad v_{BA} = v_A\,\frac{\cos\varphi}{\cos\beta}.$$

Подставляем числа: $v_B = 2{,}0 \cdot \sin 76{,}8^\circ / \cos 16{,}8^\circ = 2{,}0 \cdot 0{,}973 / 0{,}957 = 2{,}03$ м/с и $v_{BA} = 2{,}0 \cdot 0{,}5 / 0{,}957 = 1{,}04$ м/с. Оба значения совпали с тем, что снято с чертежа.

Второй способ проверки - мгновенный центр скоростей шатуна. Он лежит на пересечении перпендикуляров к скоростям двух точек: перпендикуляр к $\vec{v}_A$ - это сама прямая $OA$, перпендикуляр к $\vec{v}_B$ - вертикаль через точку $B$. Расстояния до полюса $P$ получаются равными $PA = 1{,}149$ м и $PB = 1{,}168$ м, откуда $\omega_{AB} = v_A / PA = 2{,}0/1{,}149 = 1{,}74$ рад/с и $v_B = \omega_{AB} \cdot PB = 1{,}74 \cdot 1{,}168 = 2{,}03$ м/с. Третья проверка занимает одну строку: проекции скоростей точек $A$ и $B$ на прямую $AB$ обязаны быть равны, и здесь обе равны 1,947 м/с.

Другие положения механизма и другие схемы

Крайние положения кривошипа полезно разобрать заранее - их любят спрашивать. При $\varphi = 0^\circ$ и $\varphi = 180^\circ$ кривошип и шатун вытягиваются в одну линию: это мёртвые положения, скорость ползуна обращается в ноль, точка $b$ садится на полюс, а весь отрезок $pa$ превращается в относительную скорость. Угловая скорость шатуна при этом максимальна и равна $v_A/AB = 3{,}33$ рад/с.

Противоположный случай - $\varphi = 90^\circ$: скорость точки $A$ направлена вдоль направляющей, точки $a$ и $b$ плана сливаются, $ab = 0$ и $\omega_{AB} = 0$. Шатун в этот момент движется мгновенно поступательно, все его точки имеют одинаковую скорость. Подвигайте ползунок угла в калькуляторе сверху: план на глазах вырождается в отрезок и снова разворачивается в треугольник.

Для шарнирного четырёхзвенника порядок тот же, меняется только вторая подсказка: направление скорости точки $B$ задаёт не направляющая, а коромысло $BC$, поэтому через полюс проводится перпендикуляр к $BC$, а не параллель. Если механизм многозвенный, звенья разбирают по цепочке: как только у очередного звена остаются ровно два неизвестных числа, для него строится своя часть плана. Дальше по найденным скоростям обычно строят план ускорений, а он опирается на те же приёмы, что и расчёт ускорения точки; силовой расчёт механизма начинается уже с определения реакций опор.

Частые ошибки

• Откладывают вектор $\vec{v}_{BA}$ из полюса. Из полюса выходят только абсолютные скорости. Относительная скорость соединяет концы двух векторов, то есть точки $a$ и $b$, и через полюс не проходит.
• Путают перпендикуляры. Через точку $a$ проводится перпендикуляр к шатуну $AB$, а не к кривошипу; через полюс - параллель направляющей, а не перпендикуляр к ней. Одна перепутанная линия даёт правдоподобный, но неверный ответ.
• Меняют масштаб посреди задачи. Если план дорисовывается для второго звена, $\mu_v$ остаётся прежним. Новый масштаб для новой части чертежа - самая обидная ошибка, потому что построение выглядит аккуратным.
• Забывают про направление $\omega_{AB}$. Ответ «1,74 рад/с» неполон: нужно перенести вектор $ab$ в точку $B$ и указать, куда он поворачивает звено вокруг полюса $A$. Здесь это направление противоположно вращению кривошипа.
• Делят на длину не того звена. В формуле $\omega_{AB} = v_{BA}/AB$ стоит длина того звена, вокруг полюса которого идёт вращение, то есть шатуна, а не кривошипа и не расстояния до полюса плана.
• Считают, что $v_B$ всегда больше $v_A$. Соотношение зависит от положения: в мёртвых точках $v_B = 0$, при $\varphi = 90^\circ$ скорости равны, а вблизи 60 градусов ползун обгоняет палец кривошипа менее чем на два процента.

FAQ

Что означает полюс плана скоростей? Полюс $p$ - точка, из которой откладываются все абсолютные скорости. Одновременно он изображает любую неподвижную точку механизма: её скорость равна нулю, поэтому конец её вектора совпадает с началом. Отрезок от полюса до буквы всегда читается как скорость соответствующей точки.

Как выбрать масштаб плана скоростей? Задайте удобную длину отрезка для уже известной скорости, обычно 30-50 мм, и поделите скорость на эту длину. Полученное число $\mu_v$ в метрах в секунду на миллиметр применяется ко всем отрезкам плана без исключений.

Как определить направление угловой скорости звена по плану? Перенесите вектор относительной скорости $ab$ мысленно в саму точку $B$ механизма и посмотрите, в какую сторону он вращает звено вокруг полюса $A$. Это и есть направление $\omega_{AB}$.

Чем план скоростей лучше метода мгновенного центра? МЦС быстрее для одного звена, но для многозвенного механизма его приходится искать заново для каждого звена, а иногда он уходит в бесконечность. План скоростей строится последовательно по всей цепочке, даёт скорости всех точек сразу и напрямую готовит план ускорений.

Коротко

1. Найдите скорость ведущей точки: $v_A = \omega_{OA} \cdot OA = 2{,}0$ м/с, вектор перпендикулярен кривошипу.
2. Запишите $\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{v}_{BA}$ и убедитесь, что неизвестных ровно два: модуль $v_B$ и модуль $v_{BA}$.
3. Выберите масштаб: при $pa = 40$ мм получаем $\mu_v = 0{,}05$ м/(с·мм).
4. Постройте план: из полюса $p$ отрезок $pa$, через $a$ перпендикуляр к $AB$, через $p$ параллель направляющей; пересечение даёт точку $b$.
5. Снимите отрезки и переведите в скорости: $v_B = 2{,}03$ м/с, $v_{BA} = 1{,}04$ м/с, отсюда $\omega_{AB} = 1{,}74$ рад/с по часовой стрелке, а середина шатуна даёт $v_S = 1{,}95$ м/с.