Упругий удар шара о покоящийся: формулы скоростей

Упругий удар движущегося шара с покоящимся - одна из самых частых задач механики: один шар налетает на другой, стоящий на месте, и нужно найти скорости обоих после столкновения. В отличие от неупругого удара, где шары слипаются и часть энергии теряется, при упругом ударе кинетическая энергия системы сохраняется полностью, и это вместе с законом сохранения импульса даёт ровно два уравнения на две неизвестные скорости. Ниже - полный вывод формул, разбор частных случаев по соотношению масс и калькулятор, который сразу считает скорости, энергию и импульс для любых введённых чисел.

Что сохраняется при упругом ударе

Рассмотрим шар массой $m_1$, который движется со скоростью $v_0$ и налетает на покоящийся шар массой $m_2$ (его начальная скорость равна нулю). Удар считаем центральным (лобовым) - оба шара до и после столкновения движутся вдоль одной прямой, без вращения и без бокового смещения.

Закон сохранения импульса для замкнутой системы даёт первое уравнение:

$m_1 v_0 = m_1 v_1 + m_2 v_2.$

Второе уравнение - определяющее свойство именно упругого удара: кинетическая энергия системы после столкновения равна кинетической энергии до него, ничего не уходит на деформацию, нагрев или звук:

$\frac{1}{2} m_1 v_0^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2.$

Здесь $v_1$ и $v_2$ - скорости первого и второго шара сразу после удара (с учётом знака: положительное направление совпадает с направлением $v_0$).

Формулы скоростей после удара

Рассчитать для своей задачи

Решая систему из двух уравнений выше относительно $v_1$ и $v_2$, получаем формулы, которые и составляют суть темы:

$v_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\, v_0, \qquad v_2 = \frac{2 m_1}{m_1 + m_2}\, v_0.$

Заметьте: знак $v_1$ определяется только знаком разности $m_1 - m_2$. Если налетающий шар тяжелее покоящегося, он продолжает двигаться вперёд после удара; если легче - отскакивает назад. Скорость же второго шара $v_2$ всегда положительна (при $v_0 > 0$) - он не может двигаться назад, потому что до удара стоял на месте, а удар может только сообщить ему направленный вперёд импульс.

Рассчитать для своей задачи

Частные случаи по соотношению масс

Формулы выше удобно проверять на трёх характерных соотношениях масс - они же самые частые в задачах.

Равные массы, $m_1 = m_2$. Подставив это в формулы, получаем $v_1 = 0$ и $v_2 = v_0$: налетающий шар полностью останавливается, а покоившийся шар улетает ровно с той скоростью, с которой к нему подъехал первый. Это классическая иллюстрация упругого удара - энергия и импульс полностью «передаются» второму шару.

Рассчитать для своей задачи

Лёгкий шар налетает на тяжёлый, $m_1 \ll m_2$. Дробь $\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}$ стремится к $-1$, поэтому $v_1 \to -v_0$ - лёгкий шар отскакивает назад почти с той же по модулю скоростью, с какой подлетел, как мяч от стены. Тяжёлый шар при этом получает скорость $v_2 \to 0$: он практически не сдвигается.

Тяжёлый шар налетает на лёгкий, $m_1 \gg m_2$. Здесь дробь стремится к $+1$, значит $v_1 \to v_0$ - тяжёлый шар почти не замечает столкновения и продолжает двигаться с прежней скоростью. А вот скорость лёгкого шара стремится не к $v_0$, а к $2 v_0$ - это частая ошибка в задачах: кажется, что лёгкий шар просто «подхватывает» скорость тяжёлого, но на самом деле в пределе он улетает вдвое быстрее.

Отдельно стоит нецентральный (нелобовой) удар двух шаров одинаковой массы: если траектории не совпадают, после столкновения шары расходятся под прямым углом друг к другу - это прямое следствие того же сохранения импульса и энергии, но с учётом двух измерений. В этой статье и калькуляторе ниже разбирается именно центральный удар вдоль одной прямой.

Проверка через законы сохранения

Удобный способ проверить себя в задаче - подставить найденные $v_1$ и $v_2$ обратно в исходные законы сохранения. Импульс до удара - это просто $p_0 = m_1 v_0$, а после удара - сумма $p_1 + p_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$; эти два числа обязаны совпасть. То же самое с энергией: кинетическая энергия до удара $E_0 = \frac{1}{2} m_1 v_0^2$ должна равняться сумме энергий после удара $E_1 + E_2 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2$. Если хотя бы одна из двух проверок не сходится - где-то ошибка в подстановке чисел или в знаке скорости.

Пример решения типовой задачи

Шар массой $m_1 = 2$ кг движется со скоростью $v_0 = 6$ м/с и налетает на покоящийся шар массой $m_2 = 1$ кг. Удар упругий, центральный. Найти скорости обоих шаров после удара и проверить закон сохранения энергии.

Подставляем данные в формулы скоростей:

$v_1 = \frac{2 - 1}{2 + 1} \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2\ \text{м/с}, \qquad v_2 = \frac{2 \cdot 2}{2 + 1} \cdot 6 = \frac{4}{3} \cdot 6 = 8\ \text{м/с}.$

Оба значения положительны, значит после удара оба шара продолжают движение вперёд, при этом второй шар летит быстрее первого. Проверяем импульс: до удара $p_0 = 2 \cdot 6 = 12$ кг·м/с, после удара $p_1 + p_2 = 2 \cdot 2 + 1 \cdot 8 = 4 + 8 = 12$ кг·м/с - совпадает. Проверяем энергию: до удара $E_0 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6^2 = 36$ Дж, после удара $E_1 + E_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2^2 + \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 8^2 = 4 + 32 = 36$ Дж - тоже совпадает, значит удар действительно упругий и ответ верный.

Частые ошибки

• Подстановка неверного знака скорости. Если по формуле получилась отрицательная $v_1$, это не ошибка вычисления, а значит шар действительно отскочил назад - знак нужно сохранять в дальнейших расчётах, а не отбрасывать как «лишний минус».
• Уверенность, что лёгкий шар получает скорость $v_0$. В пределе очень тяжёлого налетающего шара лёгкий шар получает не $v_0$, а $2 v_0$ - это прямое следствие формулы $v_2 = \dfrac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_0$.
• Путаница между упругим и абсолютно неупругим ударом. В неупругом ударе шары движутся после столкновения с одной общей скоростью и кинетическая энергия не сохраняется; формулы $v_1$, $v_2$ из этой статьи относятся только к упругому случаю.
• Забытая проверка сохранения энергии. Если после подстановки чисел энергия до и после не совпадает, значит где-то арифметическая ошибка - эту проверку стоит делать всегда, она занимает меньше минуты.
• Применение формул к нецентральному удару. Формулы $v_1$ и $v_2$ выведены для лобового столкновения вдоль одной прямой; если шары расходятся под углом, нужна уже двумерная система уравнений импульса.

FAQ

Что произойдёт, если массы шаров равны? Налетающий шар полностью остановится ($v_1 = 0$), а покоившийся шар улетит с той же скоростью, с какой к нему подъехал первый ($v_2 = v_0$). Это частный случай общих формул при $m_1 = m_2$.

Может ли покоящийся шар после удара остаться на месте? Нет, если удар действительно произошёл ($v_0 \ne 0$): формула $v_2 = \dfrac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_0$ даёт ноль только при $m_1 = 0$, то есть при отсутствии налетающего шара. При любой ненулевой массе $m_1$ второй шар получает положительную скорость.

Как найти скорости, если известны обе массы и суммарная энергия, а не $v_0$? Сначала находим $v_0$ из энергии до удара: $v_0 = \sqrt{2 E_0 / m_1}$, а дальше подставляем полученное значение в обычные формулы $v_1$ и $v_2$ - порядок действий не меняется.

Коротко

При центральном упругом ударе шара массой $m_1$, движущегося со скоростью $v_0$, с покоящимся шаром массой $m_2$, скорости после удара находятся из формул $v_1 = \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_0$ и $v_2 = \dfrac{2 m_1}{m_1 + m_2} v_0$. Знак $v_1$ показывает, продолжает ли первый шар двигаться вперёд или отскакивает назад, а $v_2$ всегда положительна. Три характерных случая - равные массы (первый шар останавливается), лёгкий шар на тяжёлом (отскок почти с исходной скоростью) и тяжёлый шар на лёгком (второй шар улетает почти вдвое быстрее первого) - стоит держать в голове как ориентиры при проверке любого численного ответа.