Релятивистский импульс: формула p = γmv и расчёт

Импульс в школьной механике определяется одной строкой: $p = mv$. Эта формула верна ровно до тех пор, пока скорость мала по сравнению со скоростью света. В ускорителе, в космических лучах и в ядерной реакции частицы разгоняются до $0{,}8c$ и выше, и тогда произведение массы на скорость даёт ответ, заниженный в разы. Правильную величину даёт релятивистский импульс $p = \gamma m v$. Ниже разберём, откуда берётся фактор Лоренца в этой формуле, как импульс связан с энергией и до какой скорости ещё можно считать по-школьному, а калькулятор сразу покажет обе величины рядом.

Калькулятор релятивистского импульса

Выберите частицу и скорость в долях $c$: калькулятор посчитает фактор Лоренца $\gamma$, релятивистский импульс в МэВ/c и в килограмм-метрах в секунду, сравнит его с ньютоновским $mv$ и проверит инвариант $E^2 - (pc)^2 = (mc^2)^2$. Переключатель под результатами меняет график: зависимость импульса от скорости или диаграмма энергии и импульса, где видно, чем частица с массой отличается от безмассовой.

Формула релятивистского импульса: p = γmv

Импульс частицы с массой $m$, летящей со скоростью $\vec{v}$, равен

$\vec{p} = \gamma m \vec{v}, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}, \qquad \beta = \frac{v}{c}.$

Направление осталось прежним: вектор импульса сонаправлен скорости. Изменился только множитель: вместо массы стоит произведение $\gamma m$, которое растёт с ростом скорости. Масса $m$ при этом остаётся той же самой характеристикой частицы, какой была в покое.

Посчитаем для протона, разогнанного до $v = 0{,}8c$. Фактор Лоренца равен $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0{,}64} = 1{,}667$. Масса протона $1{,}673 \cdot 10^{-27}$ кг, скорость $2{,}4 \cdot 10^{8}$ м/с, поэтому

$p = \gamma m v = 1{,}667 \cdot 1{,}673 \cdot 10^{-27} \cdot 2{,}4 \cdot 10^{8} \approx 6{,}69 \cdot 10^{-19}\ \text{кг} \cdot \text{м/с}.$

В задачах по ядерной физике тот же ответ чаще записывают в энергетических единицах: $pc = \gamma \beta\, mc^2 = 1{,}667 \cdot 0{,}8 \cdot 938{,}3 = 1251{,}0$ МэВ, то есть $p = 1251{,}0$ МэВ/c. Ньютоновская формула дала бы всего $750{,}6$ МэВ/c.

Рассчитать для своей задачи

Почему ньютоновская формула mv перестаёт работать

У формулы $p = mv$ есть встроенный потолок: модуль скорости не превышает $c$, поэтому и импульс не превысил бы $mc$. Но на частицу можно сколь угодно долго действовать силой, и по теореме об импульсе величина $p$ обязана расти без ограничения. Одно с другим не сходится: ньютоновское определение импульса несовместимо с предельной скоростью.

Это хорошо видно на задаче о постоянной силе. Пусть на покоящуюся частицу действует неизменная сила $F$. Импульс растёт строго линейно, $p = Ft$, а скорость получается из связи $\beta = pc/E$:

$v(t) = c\,\frac{u}{\sqrt{1 + u^2}}, \qquad u = \frac{Ft}{mc}.$

При малых временах $v \approx Ft/m$ - обычный школьный результат. Но с ростом времени корень в знаменателе гасит рост, и скорость подбирается к $c$, никогда её не достигая, тогда как импульс продолжает увеличиваться пропорционально времени. Потолок есть у скорости, а не у импульса, и формула $\gamma m v$ именно это и описывает.

Вторая, более глубокая причина связана с законом сохранения. Импульс полезен тем, что его сумма сохраняется в замкнутой системе, причём в любой инерциальной системе отсчёта. Скорости при переходе между системами пересчитываются по релятивистскому закону сложения скоростей, а не простым вычитанием. Если взять за импульс $mv$, то сумма, сохранившаяся в одной системе, в другой системе уже не сохранится. Требование «сохраняется во всех системах отсчёта» однозначно выделяет комбинацию $\gamma m v$, и именно её называют импульсом в специальной теории относительности. Тот же фактор $\gamma$ появляется и в преобразованиях Лоренца, из которых выводятся все релятивистские формулы.

Импульс и энергия: инвариант E² - p²c² = m²c⁴

Импульс и энергия в СТО связаны жёстко. Частный случай этой связи при $p = 0$ - энергия покоя $E_0 = mc^2$, разобранная в статье про связь массы и энергии. Полная энергия равна $E = \gamma mc^2$, импульс в энергетических единицах равен $pc = \gamma \beta mc^2$. Возведём оба выражения в квадрат и вычтем:

$E^2 - (pc)^2 = (\gamma mc^2)^2 (1 - \beta^2) = (mc^2)^2.$

Слева стоят величины, которые меняются при переходе в другую систему отсчёта, справа - только масса и скорость света. Значит, комбинация $E^2 - p^2c^2$ одинакова для всех наблюдателей: это инвариант. На чертеже он выглядит как прямоугольный треугольник, у которого катеты равны $pc$ и $mc^2$, а гипотенуза равна полной энергии.

Рассчитать для своей задачи

Из инварианта следуют два рабочих следствия. Во-первых, импульс через энергию: $pc = \sqrt{E^2 - (mc^2)^2}$, а через кинетическую энергию - $pc = \sqrt{E_k^2 + 2E_k mc^2}$. Так удобно считать, когда в условии дана энергия ускорения, а не скорость; подробный разбор энергетической части - в статье про релятивистскую кинетическую энергию. Во-вторых, связь скорости с импульсом: $\vec{v} = \dfrac{\vec{p}c^2}{E}$, то есть $\beta = pc/E$.

Импульс безмассовых частиц: p = E/c

Подставить $m = 0$ прямо в $p = \gamma m v$ нельзя: при $v = c$ фактор Лоренца обращается в бесконечность, и получается неопределённость. А вот инвариант подстановку выдерживает. При $m = 0$ он даёт $E^2 = (pc)^2$, то есть

$p = \frac{E}{c}.$

Это и есть импульс фотона: величина, которой у ньютоновской механики просто нет, ведь при нулевой массе $mv$ равно нулю. Для видимого света с длиной волны $500$ нм энергия кванта равна $2{,}48$ эВ, а импульс $p = 2{,}48$ эВ/c $= 1{,}33 \cdot 10^{-27}$ кг$\cdot$м/с. Он крошечный, но именно он создаёт световое давление и позволяет солнечному парусу разгонять аппарат. Подробнее про энергию, импульс и массу кванта - в разборе формул для фотона.

На диаграмме энергии и импульса в калькуляторе безмассовая частица лежит на прямой $E = pc$, а частица с массой - на гиперболе, которая к этой прямой лишь асимптотически приближается. Чем больше энергия, тем ближе массивная частица к «фотонной» прямой, но попасть на неё не может.

Предел малых скоростей: когда хватает mv

При $\beta \ll 1$ фактор Лоренца раскладывается в ряд: $\gamma \approx 1 + \tfrac12 \beta^2$. Тогда

$p = \gamma m v \approx m v \left(1 + \frac{v^2}{2c^2}\right),$

и первое слагаемое - это в точности школьный импульс. Поправка растёт как квадрат скорости, поэтому ньютоновская формула занижает импульс на долю $1 - 1/\gamma$: при $0{,}1c$ это $0{,}5$ %, при $0{,}3c$ уже $4{,}6$ %, при $0{,}5c$ - $13{,}4$ %, а при $0{,}8c$ - целых $40$ %.

Рассчитать для своей задачи

Граница «одного процента» приходится на $v \approx 0{,}141c$, то есть примерно $4{,}2 \cdot 10^{7}$ м/с. Всё, что медленнее, можно спокойно считать по $mv$: спутники, пули и молекулы газа в эту зону укладываются с огромным запасом. Электроны в кинескопе ($0{,}3c$) и тем более частицы в ускорителе в неё уже не попадают.

Сохранение импульса в релятивистских столкновениях

В замкнутой системе сохраняются обе величины: суммарная энергия $\sum E_i$ и суммарный импульс $\sum \vec{p}_i$. Это справедливо и для упругих, и для неупругих процессов, и для реакций с рождением новых частиц. Рабочая схема решения такая: перевести все данные в энергетические единицы, записать два уравнения сохранения (энергия и проекции импульса) и связать их инвариантом для каждой частицы.

Отдельный случай - поглощение света. Фотон приносит телу импульс $E/c$, и после поглощения тело получает точно такую же добавку к своему $\gamma m v$. Именно поэтому импульс обязан включать безмассовые частицы: без них баланс не сойдётся, хотя массы фотон не несёт.

Простой пример: два одинаковых протона летят навстречу друг другу со скоростями $0{,}8c$. Импульсы равны по модулю и противоположны по знаку, поэтому суммарный импульс равен нулю до и после столкновения, а суммарная энергия равна $2 \cdot 1563{,}8 = 3127{,}6$ МэВ. Инвариант, посчитанный для системы целиком, даёт $\sqrt{E^2_{\text{сум}} - (p_{\text{сум}}c)^2} = 3127{,}6$ МэВ: это и есть энергия, доступная для рождения новых частиц. Считать такую задачу через $mv$ бессмысленно: закон сохранения в ней просто не выполнится.

Как найти релятивистский импульс: порядок действий

1. Переведите скорость в доли $c$: $\beta = v/c$.
2. Посчитайте фактор Лоренца $\gamma = 1/\sqrt{1 - \beta^2}$ и не округляйте его грубо: при $\beta$ около единицы он очень чувствителен.
3. Найдите импульс: $p = \gamma m v$ или сразу в энергетических единицах $pc = \gamma \beta\, mc^2$.
4. Если в условии дана энергия, а не скорость, используйте $pc = \sqrt{E^2 - (mc^2)^2}$.
5. Проверьте себя инвариантом: $\sqrt{E^2 - (pc)^2}$ обязан дать энергию покоя $mc^2$.

Частые ошибки

• Считают по $mv$ при больших скоростях. При $0{,}8c$ ответ занижен на 40 %, при $0{,}95c$ - почти на 69 %. Проверяйте $\beta$ до того, как выбирать формулу.
• Подставляют в $\gamma$ скорость в метрах в секунду. В формуле стоит безразмерное отношение $v/c$; забытое деление на $c$ даёт корень из отрицательного числа.
• Пишут $p = E/c$ для частицы с массой. Это соотношение верно только при $m = 0$; для протона или электрона нужно $pc = \sqrt{E^2 - (mc^2)^2}$.
• Тянут «релятивистскую массу» $\gamma m$ в другие формулы. Для импульса приём даёт верный результат, но в остальных выражениях путает: в современной записи масса одна и постоянна, а фактор $\gamma$ выписывается явно.
• Забывают, что импульс векторный. При движении под углом складывайте проекции; $\gamma$ при этом считается по модулю полной скорости, а не по отдельной проекции.

FAQ

Чем релятивистский импульс отличается от обычного? Множителем $\gamma$. При малых скоростях $\gamma \approx 1$, и формулы совпадают; при $v \to c$ фактор Лоренца неограниченно растёт, поэтому растёт и импульс, хотя скорость почти не меняется.

Как найти импульс, если известна кинетическая энергия? Через инвариант. Полная энергия равна $E = E_k + mc^2$, а импульс тогда равен $pc = \sqrt{E_k^2 + 2E_k mc^2}$. Для электрона с $E_k = 1$ МэВ это даёт $pc = \sqrt{1 + 2 \cdot 0{,}511} \approx 1{,}42$ МэВ.

Может ли импульс частицы превысить mc? Да, и настолько, насколько хватит энергии. Ограничение $p \le mc$ есть только у ньютоновской формулы; у $\gamma m v$ верхней границы нет, хотя скорость при этом остаётся меньше $c$.

Коротко

Релятивистский импульс равен $p = \gamma m v$: тот же вектор скорости, но с фактором Лоренца. Ньютоновское $mv$ - это первый член разложения, оно занижает ответ на $1 - 1/\gamma$: до $0{,}14c$ погрешность меньше процента, при $0{,}8c$ достигает 40 %. С энергией импульс связан инвариантом $E^2 - (pc)^2 = (mc^2)^2$, из которого получаются и формула $pc = \sqrt{E^2 - (mc^2)^2}$, и импульс безмассовых частиц $p = E/c$. В столкновениях сохраняются одновременно энергия и импульс, поэтому считать их удобно в одних и тех же энергетических единицах.