Преобразования Лоренца: вывод из постулатов СТО

Преобразования Лоренца - это математическое сердце специальной теории относительности: они точно описывают, как координаты события в одной инерциальной системе отсчёта связаны с координатами в другой, движущейся относительно первой с постоянной скоростью. В отличие от преобразований Галилея, они сохраняют скорость света одинаковой для всех наблюдателей и предсказывают сокращение длины, замедление времени и другие наблюдаемые релятивистские эффекты. Ниже - полный вывод и интерактивный калькулятор, который покажет фактор Лоренца и результат преобразования конкретного события.

Два постулата, из которых всё следует

Эйнштейн в 1905 году построил СТО на двух утверждениях:

1. Принцип относительности. Законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Ни один эксперимент не позволит определить, покоится ли система или движется равномерно.
2. Постоянство скорости света. Скорость света в вакууме $c \approx 3 \times 10^8$ м/с одинакова во всех инерциальных системах, независимо от движения источника или наблюдателя.

Эти два постулата несовместимы с преобразованиями Галилея. Следовательно, нужны новые преобразования - именно их мы и выведем.

Геометрия задачи

Пусть система $S'$ движется вдоль оси $x$ системы $S$ с постоянной скоростью $v$. В момент $t = t' = 0$ начала координат совпадают. Нужно найти формулы, выражающие $(x', t')$ через $(x, t)$.

Преобразование должно быть линейным: негомогенная зависимость нарушала бы однородность пространства-времени. Запишем пробный линейный анзац:

$$x' = A x + B t, \qquad t' = C x + D t.$$

Четыре коэффициента $A, B, C, D$ определяются из условий задачи.

Вывод коэффициентов

Условие 1. Начало координат $S'$ (то есть точка $x' = 0$) движется в $S$ по закону $x = vt$. Подставляя:

$$0 = A(vt) + B t \implies B = -Av.$$

Условие 2. По постоянству скорости света, световой импульс, выпущенный в момент $t = 0$ из общего начала, описывается в обеих системах уравнением $x = ct$ и $x' = ct'$. Подставим:

$$ct' = Ax + Bt = A(ct) - Avt = Act(1 - v/c), \quad \text{т.е.} \quad t' = A t(1-\beta),$$

где $\beta = v/c$. С другой стороны, $x' = ct'$, и $x' = Ax + Bt = Act - Avt = Act(1-\beta)$. Это согласованно: отношение $x'/t' = c$ выполнено. Пока $A$ свободно.

Условие 3. Обратное преобразование отличается заменой $v \to -v$ (принцип относительности): система $S$ движется в $S'$ со скоростью $-v$. Симметрия требует, чтобы произведение прямого и обратного преобразований давало тождество:

$$A(-v) \cdot A(v) = 1 \implies A^2(1 - \beta^2) = 1 \implies A = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} \equiv \gamma.$$

Отрицательный корень отброшен: при $v \to 0$ должно получаться тождественное преобразование ($A \to 1$).

Коэффициент $C$. Из симметрии и работы со световым сигналом:

$$C = -\frac{\gamma v}{c^2}.$$

Итого - преобразования Лоренца:

$$\boxed{x' = \gamma(x - vt), \qquad t' = \gamma\!\left(t - \frac{vx}{c^2}\right),}$$ $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}, \quad \beta = \frac{v}{c}.$$

Обратные формулы получаются заменой $v \to -v$:

$$x = \gamma(x' + vt'), \qquad t = \gamma\!\left(t' + \frac{vx'}{c^2}\right).$$

Рассчитать для своей задачи

Фактор Лоренца и его физический смысл

Центральная величина - фактор Лоренца $\gamma \ge 1$. При малых скоростях $\beta \ll 1$ он практически равен единице и преобразования Лоренца вырождаются в галилеевы. При приближении к скорости света $\gamma \to \infty$.

Характерные значения:

• $\beta = 0{,}1$ (самолёт/МКС): $\gamma \approx 1{,}005$ - эффект незаметен
• $\beta = 0{,}6$ (частица ускорителя): $\gamma = 1{,}25$
• $\beta = 0{,}8$: $\gamma \approx 1{,}67$
• $\beta = 0{,}99$: $\gamma \approx 7{,}09$
• $\beta = 0{,}9999$: $\gamma \approx 70{,}7$

Сокращение длины

Рассмотрим стержень длиной $L_0$ в системе $S'$, лежащий вдоль $x'$. Чтобы измерить его длину в $S$, нужно зафиксировать координаты обоих концов одновременно ($t = \text{const}$). Из первого уравнения Лоренца:

$$\Delta x' = \gamma \,\Delta x \implies \Delta x = \frac{\Delta x'}{\gamma} = \frac{L_0}{\gamma}.$$

Длина $L = L_0/\gamma \le L_0$: движущийся стержень сокращается в направлении движения. Поперечные размеры не изменяются.

Рассчитать для своей задачи

Дилатация времени

Возьмём часы в начале координат $S'$ ($x' = 0$). Два тика разделены собственным временем $\Delta t_0$. Из второго уравнения Лоренца:

$$\Delta t = \gamma \,\Delta t_0.$$

Промежуток между событиями увеличивается при наблюдении из системы $S$: движущиеся часы идут медленнее - «замедление времени» или дилатация. Экспериментально подтверждено для мюонов в атмосфере (их распад замедлен ровно в $\gamma$ раз по сравнению с покоящимися), для атомных часов на самолётах и спутниках GPS (поправка $\sim 7$ мкс/сутки).

Инвариантный пространственно-временной интервал

Важнейшее следствие - существование инварианта:

$$s^2 = c^2 \Delta t^2 - \Delta x^2 = c^2 \Delta t'^2 - \Delta x'^2.$$

Эта величина одинакова во всех инерциальных системах. Знак $s^2$ делит события на три класса:

• $s^2 > 0$ - времениподобный интервал: между событиями можно успеть с сигналом (или лично)
• $s^2 = 0$ - световой интервал: связан только фотоном
• $s^2 < 0$ - пространственноподобный интервал: причинная связь невозможна

Инвариант объясняет, почему нельзя изменить причинно-следственный порядок событий путём смены системы отсчёта: если $s^2 > 0$ и событие A предшествует B, то во всех системах $t_A < t_B$.

Релятивистский закон сложения скоростей

Преобразования Лоренца напрямую дают закон сложения скоростей: если тело движется в $S'$ со скоростью $u'$ вдоль $x'$, то его скорость в $S$:

$$u = \frac{u' + v}{1 + \dfrac{u'v}{c^2}}.$$

При $u' = v = 0{,}9c$ получаем $u = 1{,}8c / (1 + 0{,}81) \approx 0{,}994c$ - скорость суммируется, но никогда не превышает $c$.

Частые ошибки

• Путают $t$ в $S$ и $t'$ в $S'$. Дилатацию $\Delta t = \gamma \Delta t_0$ применяют к собственному времени (часы в одной точке $S'$), а не к произвольному интервалу между разнесёнными событиями.
• Забывают $x$-компоненту в преобразовании $t'$. Слагаемое $-vx/c^2$ критично: именно оно нарушает абсолютность одновременности - события, одновременные в $S$ ($\Delta t = 0$), в $S'$ разделены временем $\gamma v \Delta x / c^2$.
• Применяют сокращение длины без оговорки «одновременно». Длина измеряется фиксацией обоих концов при $t = \text{const}$ в системе наблюдателя; без этого условия результат бессмысленен.
• Складывают скорости по-галилеевски. При $v, u' \sim c$ необходимо использовать релятивистскую формулу; классическая даёт значение, превышающее $c$.
• Принимают $\gamma$ за малую поправку. При $\beta = 0{,}8$ уже $\gamma = 5/3 \approx 1{,}67$ - отклонение от 1 составляет 67 %, это не малость.

FAQ

Почему именно квадратный корень в $\gamma$? Он появляется естественно из условия, что прямое и обратное преобразования образуют группу: $A(v) \cdot A(-v) = 1$. Из этого алгебраического требования и постоянства $c$ вытекает $A = (1-\beta^2)^{-1/2}$.

Как преобразования Лоренца переходят в галилеевы при малых скоростях? При $v \ll c$ имеем $\beta \ll 1$, поэтому $\gamma \approx 1$ и $vx/c^2 \approx 0$. Тогда $x' \approx x - vt$ и $t' \approx t$ - классические формулы Галилея. СТО содержит классическую механику как предельный случай.

Что означает «одновременность относительна»? Два события с $\Delta t = 0$ в $S$ имеют $\Delta t' = -\gamma v \Delta x/c^2 \ne 0$ в $S'$ (если $\Delta x \ne 0$). Понятие «происходит в один момент» зависит от системы отсчёта. Лишь события с пространственноподобным интервалом ($s^2 < 0$) могут быть одновременны в какой-либо системе.

Коротко

Преобразования Лоренца выводятся из двух постулатов Эйнштейна линейным анзацем и условиями симметрии: $x' = \gamma(x-vt)$, $t' = \gamma(t - vx/c^2)$, где $\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}$. Они предсказывают сокращение длины ($L = L_0/\gamma$), дилатацию времени ($\Delta t = \gamma \Delta t_0$) и относительность одновременности. Инвариантный интервал $s^2 = c^2\Delta t^2 - \Delta x^2$ сохраняется во всех системах и определяет причинную структуру пространства-времени. При $v \ll c$ формулы вырождаются в галилеевы - классическая механика остаётся предельным случаем. Использовать калькулятор выше удобно для быстрой проверки конкретной задачи на $\gamma$, сокращение или преобразование события.