Фотон: энергия, импульс и масса - формулы и расчёт

Фотон - это квант электромагнитного поля, частица света без массы покоя, которая тем не менее переносит и энергию, и импульс. Именно из-за нулевой массы покоя вокруг фотона возникает путаница: студенты пытаются считать его кинетическую энергию по формуле для обычной частицы, делят импульс на массу или, наоборот, утверждают, что у фотона массы нет вообще никакой. На самом деле всё описывается тремя короткими формулами, связанными между собой через скорость света. Ниже разберём, как считать энергию фотона по длине волны, откуда берётся его импульс, что такое эффективная масса и почему масса покоя строго равна нулю. Чтобы сразу увидеть числа для своей длины волны, покрути калькулятор ниже: он мгновенно пересчитывает энергию, импульс, массу и частоту и рисует два ключевых закона на графиках.

Энергия фотона: формула E = hc / lambda

Энергия фотона определяется только его частотой - это основной постулат квантовой гипотезы Планка и Эйнштейна:

$E = h\nu,$

где $h = 6{,}626\cdot10^{-34}$ Дж·с - постоянная Планка, а $\nu$ - частота излучения в герцах. Частота связана с длиной волны через скорость света соотношением $\nu = c/\lambda$, поэтому энергию удобнее выражать сразу через длину волны:

$E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}.$

Здесь $c = 3\cdot10^8$ м/с, а $\lambda$ - длина волны в метрах. Главное, что видно из этой формулы: энергия фотона обратно пропорциональна длине волны. Коротковолновое излучение (ультрафиолет, рентген) переносит больше энергии на квант, чем длинноволновое (инфракрасное, радио). Например, для зелёного света с $\lambda = 532$ нм энергия фотона равна $E = 3{,}73\cdot10^{-19}$ Дж.

Рассчитать для своей задачи

Перевод в электронвольты

В джоулях энергия фотона выражается крайне малым числом, поэтому в атомной и ядерной физике её обычно переводят в электронвольты:

$1\ \text{эВ} = 1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{Дж}.$

Для зелёного фотона $\lambda = 532$ нм получаем $E = 3{,}73\cdot10^{-19} / 1{,}602\cdot10^{-19} = 2{,}33$ эВ. Удобная инженерная формула для быстрой оценки энергии в электронвольтах по длине волны в нанометрах:

$E\,[\text{эВ}] \approx \frac{1240}{\lambda\,[\text{нм}]}.$

Подставив $\lambda = 532$ нм, снова получаем около 2,33 эВ - проверка сходится. Эта приближённая формула удобна тем, что число 1240 уже содержит в себе все константы ($hc$, выраженное в эВ·нм). Видимый свет лежит в диапазоне примерно от 1,6 эВ (красный, 760 нм) до 3,3 эВ (фиолетовый, 380 нм) - именно эту полосу подсвечивает зелёная зона на графике энергии в калькуляторе.

Импульс фотона: формула p = h / lambda

Несмотря на нулевую массу покоя, фотон обладает импульсом - именно благодаря ему свет создаёт давление и отклоняет хвосты комет. Импульс фотона выражается через энергию и скорость света:

$p = \frac{E}{c} = \frac{h\nu}{c} = \frac{h}{\lambda}.$

Самая удобная форма - последняя: импульс прямо пропорционален постоянной Планка и обратно пропорционален длине волны, как и энергия. Для зелёного фотона $\lambda = 532$ нм импульс равен $p = 1{,}25\cdot10^{-27}$ кг·м/с. Это ничтожно малая величина по сравнению с импульсами макроскопических тел, но именно она проявляется в эффекте Комптона, в световом давлении и при отдаче атома, испустившего фотон.

Рассчитать для своей задачи

Поскольку $p = E/c$, между энергией и импульсом существует строго линейная связь:

$E = pc.$

Это и есть фундаментальное соотношение для безмассовой частицы. На графике в калькуляторе оно выглядит как прямая под 45 градусов в координатах энергии и произведения $pc$: какую бы длину волны мы ни взяли, точка остаётся на этой прямой, потому что отношение $E/p$ всегда равно $c$.

Масса фотона: почему масса покоя равна нулю

Здесь сосредоточена главная путаница темы. У фотона нужно различать две вещи - массу покоя и эффективную (релятивистскую) массу.

Масса покоя фотона равна нулю: $m_0 = 0$. Это не приближение, а точный результат: фотон по определению движется со скоростью света и в системе отсчёта, где он покоится, не существует. Нулевая масса покоя - причина того, что фотон обязан двигаться со скоростью $c$ и не может ни остановиться, ни замедлиться в вакууме.

Эффективная масса связана с энергией через знаменитую формулу Эйнштейна:

$m = \frac{E}{c^2} = \frac{h\nu}{c^2} = \frac{h}{\lambda c}.$

Это масса, которую можно приписать энергии фотона: она показывает, какую инертность и гравитационное притяжение несёт его энергия. Для зелёного фотона $\lambda = 532$ нм эффективная масса равна $m = 4{,}16\cdot10^{-36}$ кг. Подчеркнём: это не масса покоя, а удобная характеристика энергии. Когда говорят, что свет притягивается гравитацией или отклоняется около Солнца, речь идёт именно об эффективной массе-энергии, а не о массе покоя.

Согласованность всех трёх формул проверяется через релятивистское соотношение энергии:

$E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2.$

Подставив $m_0 = 0$, мгновенно получаем $E = pc$ - ту же связь, что и выше. Это и есть строгое обоснование того, почему для фотона масса покоя выпадает из уравнения, а энергия определяется только импульсом.

Как всё связано: единая цепочка

Удобно держать в голове, что энергия, импульс и масса фотона - это одна величина, записанная в разных единицах и связанная множителями $c$:

$E = h\nu = \frac{hc}{\lambda}, \qquad p = \frac{E}{c} = \frac{h}{\lambda}, \qquad m = \frac{E}{c^2} = \frac{h}{\lambda c}.$

Зная любую одну из них (или длину волны, или частоту), остальные находятся домножением или делением на $c$. Поэтому в задачах достаточно сначала найти энергию по длине волны, а затем получить импульс делением на $c$ и эффективную массу делением на $c^2$. Калькулятор выше выполняет ровно эту цепочку и показывает, как растут все величины при укорочении длины волны.

Частые ошибки

• Подстановка длины волны в нанометрах в формулу СИ. В $E = hc/\lambda$ длина волны должна быть в метрах. Перед расчётом переводите нанометры в метры: $532\ \text{нм} = 532\cdot10^{-9}$ м.
• Путаница массы покоя и эффективной массы. Масса покоя фотона $m_0 = 0$ всегда. Формула $m = E/c^2$ даёт эффективную массу-энергию, а не массу покоя - это разные понятия.
• Попытка считать импульс как $p = mv$. Для фотона эта формула не работает, потому что масса покоя нулевая. Импульс находят через $p = E/c = h/\lambda$.
• Деление энергии на массу покоя. Нельзя писать $E = m_0 c^2$ для фотона - получится ноль. Правильное соотношение для безмассовой частицы - $E = pc$.
• Забытый перевод джоулей в электронвольты. Если ответ в задаче ждут в эВ, не оставляйте его в джоулях: разделите на $1{,}602\cdot10^{-19}$.

FAQ

Чему равна масса фотона? Масса покоя фотона строго равна нулю. Но фотон несёт энергию, которой по формуле $m = E/c^2$ можно сопоставить эффективную (релятивистскую) массу. Для зелёного света с $\lambda = 532$ нм она составляет около $4{,}16\cdot10^{-36}$ кг. Именно эта масса-энергия отклоняется гравитацией, тогда как масса покоя остаётся нулевой.

Как найти энергию фотона по длине волны? По формуле $E = hc/\lambda$, подставив длину волны в метрах. Для быстрой оценки в электронвольтах удобна формула $E\,[\text{эВ}] \approx 1240/\lambda\,[\text{нм}]$: например, для 532 нм получается около 2,33 эВ.

Почему у фотона есть импульс, если нет массы покоя? Импульс не обязательно требует массы покоя. Для безмассовой частицы из релятивистского соотношения $E^2 = (pc)^2 + (m_0 c^2)^2$ при $m_0 = 0$ следует $E = pc$, то есть $p = E/c = h/\lambda$. Этот импульс реален: он проявляется в световом давлении и эффекте Комптона.

Коротко

Энергия фотона задаётся формулой $E = h\nu = hc/\lambda$ и обратно пропорциональна длине волны; в электронвольтах удобна оценка $E \approx 1240/\lambda$ при $\lambda$ в нанометрах. Импульс находится как $p = E/c = h/\lambda$, а эффективная масса - как $m = E/c^2 = h/(\lambda c)$. Масса покоя фотона равна нулю, поэтому энергия и импульс связаны строгим линейным законом $E = pc$. Все три величины - это по сути одна, записанная в разных единицах через множители скорости света.