Граница серии Бальмера: длина волны и формула

Серия Бальмера - это набор спектральных линий атома водорода, которые возникают при переходах электрона с уровней $n \ge 3$ на уровень $n = 2$. Каждой линии отвечает своя длина волны, и все они укладываются в формулу Ридберга. У этой серии есть особая точка - граница серии: при росте верхнего уровня линии не разбегаются, а сгущаются и упираются в одно предельное значение длины волны, около 364,6 нм. Ниже разберём, как считать длину волны любой линии серии Бальмера, откуда берётся граница серии, чему она равна и где студенты чаще всего теряют баллы. Чтобы сразу почувствовать связь номера уровня и длины волны, покрутите калькулятор ниже: он показывает линию на спектре и её приближение к границе серии.

Что такое серия Бальмера

Электрон в атоме водорода может находиться только на дискретных энергетических уровнях, пронумерованных целым числом $n = 1, 2, 3, \dots$. Когда электрон переходит с более высокого уровня на более низкий, атом излучает фотон, энергия которого равна разности энергий уровней. Если конечным уровнем всегда служит второй ($m = 2$), а начальным - любой уровень с номером $n \ge 3$, то излучаемые линии образуют серию Бальмера. Именно она лежит в видимом диапазоне, поэтому её линии видны в школьном спектроскопе и исторически были открыты первыми.

Первые четыре линии серии имеют собственные обозначения и хорошо известны:

• $H_\alpha$ (переход $n = 3 \to 2$) - красная линия, длина волны около 656 нм;
• $H_\beta$ (переход $n = 4 \to 2$) - голубая, около 486 нм;
• $H_\gamma$ (переход $n = 5 \to 2$) - сине-фиолетовая, около 434 нм;
• $H_\delta$ (переход $n = 6 \to 2$) - фиолетовая, около 410 нм.

С ростом номера верхнего уровня линии становятся всё короче по длине волны и всё ближе друг к другу.

Формула Ридберга для серии Бальмера

Длина волны любой линии водорода считается по формуле Ридберга. Для серии Бальмера нижний уровень фиксирован ($m = 2$), поэтому она записывается так:

$\frac{1}{\lambda} = R_H\left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2}\right), \qquad n = 3, 4, 5, \dots$

Здесь $\lambda$ - длина волны линии, $n$ - номер верхнего (начального) уровня перехода, а $R_H \approx 1{,}097 \cdot 10^{7}$ м$^{-1}$ - постоянная Ридберга для водорода. Формула даёт обратную длину волны (её называют волновым числом), поэтому в конце нужно взять обратную величину и перевести метры в нанометры.

Рассчитать для своей задачи

Например, для линии $H_\alpha$ подставляем $n = 3$:

$\frac{1}{\lambda} = 1{,}097 \cdot 10^{7}\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right) = 1{,}097 \cdot 10^{7} \cdot \frac{5}{36} \approx 1{,}524 \cdot 10^{6}\ \text{м}^{-1},$

откуда $\lambda \approx 656$ нм - та самая красная линия. Аналогично для $n = 4$ получается около 486 нм, для $n = 5$ - около 434 нм. Чем больше $n$, тем меньше разность в скобках стремится к величине $1/4$, и тем короче длина волны линии.

Граница серии Бальмера и её длина волны

Главный вопрос темы: что происходит, когда верхний уровень $n$ становится очень большим? Слагаемое $1/n^2$ при $n \to \infty$ обращается в ноль, и формула Ридберга превращается в предельное выражение:

$\frac{1}{\lambda_{гр}} = R_H \cdot \frac{1}{2^2} = \frac{R_H}{4}.$

Отсюда длина волны границы серии Бальмера:

$\lambda_{гр} = \frac{4}{R_H} = \frac{4}{1{,}097 \cdot 10^{7}\ \text{м}^{-1}} \approx 3{,}646 \cdot 10^{-7}\ \text{м} = 364{,}6\ \text{нм}.$

Это и есть граница серии - самая коротковолновая линия серии Бальмера. Никакой отдельный переход на неё не приходится: она соответствует условному переходу с бесконечно удалённого уровня, то есть из состояния, в котором электрон только что был свободным и присоединился к атому на уровень $n = 2$. Поэтому граница серии отмечает энергию связи электрона на втором уровне: фотон с длиной волны 364,6 нм несёт ровно эту энергию.

Рассчитать для своей задачи

На спектре это видно наглядно: справа стоят яркие далеко разнесённые линии $H_\alpha$, $H_\beta$, $H_\gamma$, $H_\delta$, а слева, по мере роста $n$, линии всё теснее жмутся друг к другу и обрываются у вертикальной черты 364,6 нм. За этой чертой отдельных линий уже нет - там начинается непрерывный спектр, отвечающий ионизации атома с уровня $n = 2$.

Почему линии сгущаются именно к границе

Сгущение линий - прямое следствие того, что энергетические уровни водорода сами сходятся к пределу. Энергия уровня равна $E_n = -13{,}6\,/\,n^2$ эВ, и с ростом $n$ соседние уровни сближаются: расстояние между ними убывает как $1/n^3$. Длина волны линии определяется разностью энергий уровней $n$ и $2$, и эта разность при больших $n$ меняется всё медленнее, стремясь к фиксированному значению $13{,}6/4 = 3{,}4$ эВ. Поэтому длины волн линий тоже стремятся к одному пределу, а сами линии накапливаются у границы серии.

Удобный способ это увидеть - построить зависимость длины волны от номера уровня $n$. На графике в калькуляторе выше точки ложатся на кривую, которая всё медленнее опускается и асимптотически прижимается к горизонтальной линии 364,6 нм. Сколько бы уровней мы ни добавляли, кривая никогда не пересечёт эту асимптоту - именно поэтому граница серии является пределом, а не очередной линией.

Как граница серии связана с ионизацией

Длина волны границы серии напрямую переводится в энергию. Энергия фотона связана с длиной волны соотношением $E = hc/\lambda$, и для удобства в нанометрах и электронвольтах работает формула $E\,[\text{эВ}] = 1240\,/\,\lambda\,[\text{нм}]$. Подставив длину волны границы серии Бальмера, получаем:

$E_{гр} = \frac{1240}{364{,}6} \approx 3{,}40\ \text{эВ}.$

Это энергия связи электрона на втором уровне водорода, она же модуль энергии уровня $n = 2$. Если же взять границу серии Лаймана (переходы на уровень $n = 1$, граница около 91,2 нм), та же логика даёт 13,6 эВ - энергию ионизации водорода из основного состояния. Так граница серии оказывается не абстрактным пределом, а прямым измерением энергии связи электрона на соответствующем уровне.

Частые ошибки

• Путают номера уровней в формуле. В серии Бальмера в скобках стоит $1/2^2 - 1/n^2$, причём $n > 2$. Если случайно поменять местами $2$ и $n$, обратная длина волны выйдет отрицательной.
• Забывают взять обратную величину. Формула Ридберга даёт $1/\lambda$, а не $\lambda$. Получив волновое число, нужно разделить единицу на результат и только потом переводить в нанометры.
• Считают границу серии длинноволновой. Граница серии - это самая коротковолновая линия (364,6 нм), а не самая длинноволновая. Длинноволновый край серии - это первая линия $H_\alpha$ при 656 нм.
• Берут постоянную Ридберга в неверных единицах. Если в задаче дана $R$ в обратных метрах ($1{,}097 \cdot 10^{7}$ м$^{-1}$), ответ получится в метрах. Не путайте её с постоянной в единицах энергии (13,6 эВ).
• Применяют формулу к многоэлектронным атомам. Формула Ридберга в таком виде верна только для водорода и водородоподобных ионов; для гелия и тяжелее нужны поправки.

FAQ

Чему равна длина волны границы серии Бальмера? Около 364,6 нм. Она считается как $\lambda_{гр} = 4/R_H$, где $R_H = 1{,}097 \cdot 10^{7}$ м$^{-1}$. Это ультрафиолетовая область, чуть короче фиолетового края видимого диапазона, поэтому глазом граница серии не видна, хотя сами яркие линии серии видимы.

Как найти номер уровня по длине волны линии? Подставьте известную длину волны в формулу Ридберга и выразите $1/n^2 = 1/4 - 1/(R_H \lambda)$. Отсюда найдите $n^2$, а затем $n$. Для контроля помните опорные значения: 656 нм отвечает $n = 3$, 486 нм - $n = 4$, 434 нм - $n = 5$.

Почему серия Бальмера видна, а другие серии нет? Только переходы на уровень $n = 2$ дают фотоны видимого диапазона. Серия Лаймана (переходы на $n = 1$) лежит в ультрафиолете, а серии Пашена, Брэкета и Пфунда (переходы на $n = 3, 4, 5$) - в инфракрасном диапазоне, поэтому невооружённым глазом они не наблюдаются.

Коротко

Длина волны линий серии Бальмера считается по формуле Ридберга $1/\lambda = R_H(1/4 - 1/n^2)$ для переходов с уровней $n \ge 3$ на уровень $n = 2$. С ростом $n$ линии укорачиваются и сгущаются к границе серии - предельной длине волны $\lambda_{гр} = 4/R_H \approx 364{,}6$ нм, которая отвечает переходу с бесконечно удалённого уровня и численно задаёт энергию связи электрона на втором уровне (около 3,4 эВ). Граница серии - это самая коротковолновая точка, за которой отдельные линии сменяются непрерывным спектром ионизации.