Энергия уровней атома водорода: формула и расчёт

Энергия уровней атома водорода - это набор разрешённых значений энергии, которые может иметь электрон в атоме. В отличие от классической механики, где энергия меняется непрерывно, в атоме она квантуется: электрон сидит на одном из дискретных уровней и перескакивает между ними скачком, испуская или поглощая фотон. Главная формула, которую нужно помнить, предельно короткая: $E_n = -13{,}6/n^2$ электронвольт. Ниже разберём, откуда она берётся, как по ней посчитать энергию любого уровня, энергию и длину волны излучения при переходе между уровнями, как связаны формула Бора и формула Ридберга и где в задачах чаще всего теряют знак или единицы. Чтобы сразу почувствовать, как номер уровня управляет энергией и цветом спектральной линии, покрути калькулятор ниже: выбери нижний и верхний уровни перехода, и он покажет энергию каждого уровня, энергию фотона, длину волны и место линии на шкале длин волн.

Формула энергии уровней атома водорода

Энергия электрона на n-м уровне атома водорода задаётся формулой Бора:

$E_n = -\frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2}\cdot\frac{1}{n^2} = -\frac{13{,}6}{n^2}\ \text{эВ},$

где $n = 1, 2, 3, \dots$ - главное квантовое число, а константа $13{,}6$ эВ собирается из массы электрона $m$, его заряда $e$, электрической постоянной $\varepsilon_0$ и постоянной Планка $h$. Это число называют энергией Ридберга (в энергетических единицах). Ключевые особенности формулы такие.

Энергия отрицательна. Знак минус означает, что электрон связан с ядром: чтобы оторвать его, нужно сообщить энергию. За ноль принята энергия свободного электрона, бесконечно удалённого от ядра, поэтому все связанные состояния лежат ниже нуля.

Уровни сгущаются кверху. Поскольку в знаменателе стоит $n^2$, расстояние между соседними уровнями быстро уменьшается с ростом $n$: переход с первого на второй уровень даёт большой скачок энергии, а между десятым и одиннадцатым уровнями разница уже крошечная. У границы $E = 0$ уровни сливаются в сплошной спектр.

Рассчитать для своей задачи

Энергия основного состояния и энергия ионизации

Подставим в формулу несколько значений n и получим энергии первых уровней:

$E_1 = -\frac{13{,}6}{1} = -13{,}6\ \text{эВ}, \quad E_2 = -\frac{13{,}6}{4} = -3{,}4\ \text{эВ}, \quad E_3 = -\frac{13{,}6}{9} \approx -1{,}51\ \text{эВ}.$

Самое нижнее значение $E_1 = -13{,}6$ эВ отвечает основному состоянию: это самое устойчивое положение электрона, ближе всего к ядру. Чтобы полностью оторвать электрон от невозбуждённого атома, то есть перевести его на уровень $n = \infty$ с энергией $E_\infty = 0$, нужно сообщить ровно

$E_\text{ион} = E_\infty - E_1 = 0 - (-13{,}6) = 13{,}6\ \text{эВ}.$

Это и есть энергия ионизации водорода. В джоулях она равна $13{,}6 \cdot 1{,}602\cdot10^{-19} \approx 2{,}18\cdot10^{-18}$ Дж. Запомнить число $13{,}6$ эВ полезно: оно сразу даёт и глубину основного уровня, и энергию ионизации, и масштаб всей шкалы уровней водорода.

Энергия фотона при переходе между уровнями

Когда электрон переходит с верхнего уровня $n_2$ на нижний $n_1$, он теряет энергию, и эта разность уносится фотоном. Энергия фотона равна разности энергий уровней:

$\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = 13{,}6\left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right)\ \text{эВ}.$

Обрати внимание на порядок: в скобке из обратного квадрата нижнего уровня вычитают обратный квадрат верхнего, так что $\Delta E$ выходит положительной. При обратном процессе - поглощении - атом, наоборот, забирает фотон такой же энергии и забрасывает электрон вверх. Зная энергию фотона, легко найти длину волны и частоту излучения:

$\lambda = \frac{hc}{\Delta E}, \qquad \nu = \frac{\Delta E}{h}.$

Если энергию выражать в электронвольтах, а длину волны в нанометрах, удобно пользоваться готовым произведением $hc = 1239{,}84$ эВ·нм, тогда $\lambda\,[\text{нм}] = 1239{,}84 / \Delta E\,[\text{эВ}]$. Разберём канонический пример - переход с третьего уровня на второй (красная линия H-alpha):

$\Delta E = 13{,}6\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right) = 13{,}6\cdot 0{,}1389 \approx 1{,}89\ \text{эВ}, \qquad \lambda = \frac{1239{,}84}{1{,}89} \approx 656\ \text{нм}.$

Это та самая красная линия, по которой узнают водород в спектрах звёзд и газоразрядных трубок.

Рассчитать для своей задачи

Формула Ридберга и серии спектральных линий

Историческая формула Ридберга для длин волн водорода появилась раньше модели Бора - её подобрали по измеренным спектрам:

$\frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right), \qquad R = 1{,}097\cdot10^{7}\ \text{м}^{-1},$

где $R$ - постоянная Ридберга. Эта формула и выражение через $\Delta E$ - одно и то же: модель Бора как раз объяснила, почему постоянная Ридберга равна именно $R = E_\text{ион}/(hc)$. Спектральные линии водорода группируются в серии по номеру нижнего уровня $n_1$:

• $n_1 = 1$ - серия Лаймана, ультрафиолет (например, переход 2 на 1 даёт линию 122 нм);
• $n_1 = 2$ - серия Бальмера, в основном видимый свет (H-alpha 656 нм, H-beta 486 нм);
• $n_1 = 3$ - серия Пашена, инфракрасный диапазон;
• дальше идут серии Брэкета и Пфунда, ещё глубже в инфракрасной области.

Внутри каждой серии линии сгущаются к коротковолновой границе. Эту границу даёт переход с $n_2 = \infty$: например, для серии Бальмера $\lambda_\text{гр} = 1239{,}84/3{,}4 \approx 365$ нм. Калькулятор выше показывает, как меняется длина волны, если двигать верхний уровень при фиксированном нижнем: точки приближаются к границе серии, но никогда её не пересекают.

Рассчитать для своей задачи

Почему энергия именно квантуется

В модели Бора электрон движется по круговым орбитам, но разрешены не любые, а только те, на которых момент импульса кратен $\hbar = h/2\pi$:

$m v r = n\hbar, \qquad n = 1, 2, 3, \dots$

Это условие квантования вместе с равенством кулоновской силы и центростремительной даёт дискретный набор радиусов орбит и, как следствие, дискретный набор энергий $E_n$. Современная квантовая механика заменяет орбиты на волновые функции, но для водорода она приводит ровно к той же формуле $E_n = -13{,}6/n^2$ эВ - модель Бора здесь даёт точный результат, и именно поэтому ей до сих пор учат. Дискретность уровней объясняет, почему спектр водорода состоит из отдельных резких линий, а не из непрерывной полосы: возможны только переходы между разрешёнными уровнями, и каждый даёт фотон строго определённой энергии.

Частые ошибки

• Потеря знака минус. Энергия уровня отрицательна: $E_n = -13{,}6/n^2$, а не $+13{,}6/n^2$. Без минуса теряется смысл связанного состояния, и энергия ионизации выходит со знаком наоборот.
• Путаница нижнего и верхнего уровня в $\Delta E$. В скобке из $1/n_1^2$ (нижний уровень) вычитают $1/n_2^2$ (верхний). Если поменять местами, энергия фотона выйдет отрицательной.
• Смешение энергии уровня и энергии перехода. $E_n$ - это энергия состояния, а $\Delta E$ - разность двух состояний. Длину волны фотона считают по $\Delta E$, а не по энергии одного уровня.
• Единицы в формуле длины волны. Если энергию берут в электронвольтах, нельзя сразу подставлять $h$ и $c$ в СИ. Либо переведи энергию в джоули, либо пользуйся $hc = 1239{,}84$ эВ·нм.
• Формула только для водорода. Вид $E_n = -13{,}6/n^2$ верен для атома водорода и водородоподобных ионов (с поправкой на заряд ядра $Z$: $E_n = -13{,}6\,Z^2/n^2$). Для многоэлектронных атомов она не работает.

FAQ

Чему равна энергия первого энергетического уровня атома водорода? Энергия основного состояния $E_1 = -13{,}6$ эВ. Это самый нижний, самый устойчивый уровень. Его модуль совпадает с энергией ионизации: чтобы оторвать электрон от невозбуждённого атома, нужно ровно 13,6 эВ.

Почему энергия уровней атома водорода отрицательна? За ноль принята энергия свободного электрона вдали от ядра. Связанный электрон имеет энергию ниже, поэтому она отрицательна. Чем глубже уровень (меньше n), тем больше энергии нужно для отрыва, и тем более отрицательна $E_n$.

Как по формуле найти длину волны спектральной линии водорода? Сначала по разности уровней находят энергию фотона $\Delta E = 13{,}6(1/n_1^2 - 1/n_2^2)$ эВ, затем длину волны $\lambda = hc/\Delta E$. В удобных единицах $\lambda\,[\text{нм}] = 1239{,}84/\Delta E\,[\text{эВ}]$. Для перехода 3 на 2 получается около 656 нм.

Коротко

Энергия уровней атома водорода квантуется и задаётся формулой Бора $E_n = -13{,}6/n^2$ эВ, где $n$ - номер уровня. Основное состояние имеет энергию $-13{,}6$ эВ, а её модуль равен энергии ионизации. При переходе с верхнего уровня на нижний испускается фотон с энергией $\Delta E = 13{,}6(1/n_1^2 - 1/n_2^2)$ эВ, по которой через $\lambda = hc/\Delta E$ находят длину волны линии. Эта же зависимость в форме Ридберга описывает серии Лаймана, Бальмера и Пашена, а сгущение уровней к границе ионизации объясняет, почему линии в каждой серии стягиваются к её коротковолновому краю.