Главное квантовое число: энергия уровней атома

Главное квантовое число $n$ - первое из четырёх квантовых чисел, которые полностью описывают состояние электрона в атоме. Именно оно определяет полную энергию уровня: чем больше $n$, тем выше энергия и тем дальше электрон от ядра. Для атома водорода эта связь задана точной формулой, что делает его идеальной моделью для расчётов. Разберём, откуда берётся формула, почему уровни дискретны, как по ним рассчитать спектральные линии и где студенты чаще всего теряют баллы в задачах. Чтобы сразу ощутить закономерность, покрутите калькулятор ниже: выберите нижний уровень, поднимите верхний - и увидите диаграмму уровней со стрелкой перехода, энергию фотона и длину волны.

Что такое главное квантовое число

Главное квантовое число $n$ принимает натуральные значения: $n = 1, 2, 3, \ldots$ В модели Бора оно задаёт радиус орбиты электрона: $r_n = n^2 a_0$, где $a_0 \approx 0{,}053$ нм - боровский радиус. Квантовая механика трактует его иначе: $n$ определяет главную электронную оболочку (K, L, M, …), а значит - главным образом энергию электрона, не конкретную траекторию.

Название «главное» неслучайно: именно этот номер уровня задаёт порядок величины энергии. Остальные три квантовых числа ($l$, $m_l$, $m_s$) лишь расщепляют эту энергию на тонкую и сверхтонкую структуру. Для атома водорода и водородоподобных ионов в нерелятивистском приближении все подуровни с одним $n$ вырождены - имеют одинаковую энергию.

Рассчитать для своей задачи

Формула энергии уровня атома водорода

Полная энергия электрона на $n$-м уровне атома водорода:

$$E_n = -\frac{13{,}6}{n^2} \text{ эВ}$$

Знак «минус» означает, что электрон связан с ядром: нужно затратить энергию $|E_n|$, чтобы его вырвать (ионизировать атом). При $n = 1$ - основное состояние, энергия минимальна: $E_1 = -13{,}6$ эВ. При $n \to \infty$ электрон покидает атом, $E_\infty = 0$.

Важно запомнить единственную строчку:

$$E_n = \frac{E_1}{n^2}, \quad E_1 = -13{,}6 \text{ эВ}$$

Для нескольких первых уровней:

Обратите внимание: от первого ко второму уровню энергия меняется на $10{,}2$ эВ, а от четвёртого к пятому - лишь на $0{,}31$ эВ. Уровни быстро сгущаются к нулю, потому что $|E_n| \propto 1/n^2$.

Переходы между уровнями и спектр атома

Когда электрон переходит с уровня $n_2$ на более низкий $n_1 < n_2$, атом испускает фотон с энергией:

$$\Delta E = E_{n_1} - E_{n_2} = 13{,}6 \left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right) \text{ эВ}$$

Длина волны этого фотона вычисляется по формуле Ридберга:

$$\frac{1}{\lambda} = R_\infty \left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right)$$

где $R_\infty = 1{,}097 \times 10^7$ м$^{-1}$ - постоянная Ридберга. Заметьте, что выражение в скобках - то же самое, что и в формуле для $\Delta E$, только в других единицах: $R_\infty hc = 13{,}6$ эВ.

Рассчитать для своей задачи

Каждая серия объединяет переходы на один и тот же нижний уровень $n_1$:

• Серия Лаймана ($n_1 = 1$): все переходы на $n=1$; ультрафиолет, $\lambda < 122$ нм - невидимы глазом.
• Серия Бальмера ($n_1 = 2$): частично в видимой области ($H_\alpha = 656$ нм, красный; $H_\beta = 486$ нм, голубой; $H_\gamma = 434$ нм, фиолетовый).
• Серия Пашена ($n_1 = 3$): инфракрасный диапазон, начиная с 1875 нм.

Чем меньше $n_1$, тем короче волны всей серии (больше энергия переходов). Внутри одной серии наидлиннейшая линия соответствует переходу $n_1 + 1 \to n_1$ («первая линия серии»).

Почему уровни дискретны

Классически электрон мог бы иметь любую энергию и любой радиус орбиты, постепенно теряя энергию на излучение и падая на ядро. Квантовая механика запрещает это: волновая функция электрона должна «вписываться» в орбиту целым числом де-бройлевских волн, отсюда условие квантования:

$$2\pi r_n = n \lambda_{\text{деБ}} = n \frac{h}{p_n}$$

Из этого условия в сочетании с законом Кулона и следует формула $E_n = -13{,}6 / n^2$ эВ. Дискретность - не постулат, а следствие волновых свойств электрона.

Переход на водородоподобные ионы

Для иона с ядерным зарядом $Z$ (атом водорода: $Z=1$, He$^+$: $Z=2$, Li$^{2+}$: $Z=3$) формула обобщается:

$$E_n = -\frac{13{,}6 \cdot Z^2}{n^2} \text{ эВ}$$

Это значит, что у иона гелия He$^+$ уровни в $4$ раза ниже по энергии (т.е. глубже), а первый ионизационный потенциал составляет $54{,}4$ эВ против $13{,}6$ эВ у водорода.

Формула Ридберга для водородоподобного иона:

$$\frac{1}{\lambda} = R_\infty Z^2 \left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right)$$

Спектральные линии сдвигаются в ультрафиолет при увеличении $Z$.

Частые ошибки

• Перепутать знак. $E_n$ отрицательная, $|E_n|$ положительная. Энергия ионизации с уровня $n$ равна $+13{,}6/n^2$ эВ (нужно добавить, чтобы поднять до $0$).
• Не перевести единицы. В задачах требуют энергию в джоулях: $1$ эВ $= 1{,}6 \times 10^{-19}$ Дж. Длина волны - в нанометрах ($1$ нм $= 10^{-9}$ м).
• Перепутать $n_1$ и $n_2$. В формуле Ридберга $n_1$ - нижний уровень, $n_2$ - верхний. Если переставить - результат получится отрицательным или неправильным по знаку.
• Применять формулу не к водороду. Для многоэлектронных атомов (He, Li, …) формула $-13{,}6/n^2$ не работает напрямую: экранирование и обменные эффекты изменяют энергии.
• Считать, что $n$ одно определяет всё состояние. Для описания электрона нужны все четыре числа; $n$ определяет только оболочку и основную энергию.

FAQ

Что такое «основное состояние» и «возбуждённое»? Основное - наинизшее по энергии ($n=1$). Атом стабилен: без внешнего воздействия электрон не переходит ниже. Возбуждённое - любое с $n \geq 2$; атом стремится вернуться на $n=1$, испуская фотон (время жизни возбуждённого состояния около $10^{-8}$ с).

Почему нельзя наблюдать бесконечно много линий серии? Теоретически серия бесконечна, но при $n \to \infty$ уровни сливаются (серийный предел), соседние линии практически неразличимы. На практике наблюдают 10–30 линий серии Бальмера в лабораторных условиях; в звёздных спектрах при низких давлениях регистрируются переходы до $n \approx 300$.

Как связаны главное квантовое число и периодическая таблица? Число электронных оболочек в атоме равно $n$ для максимально заполненного состояния данного периода. Элементы первого периода - оболочка $n=1$ (K), второго - $n=2$ (L), и т.д. Внутри периода заполняются подоболочки по $l$ при фиксированном $n$.

Коротко

Главное квантовое число $n$ однозначно задаёт энергию уровня атома водорода: $E_n = -13{,}6 / n^2$ эВ. Энергия отрицательна (электрон связан), убывает по абсолютному значению как $1/n^2$ и стремится к нулю при $n \to \infty$ (граница ионизации). Переходы между уровнями порождают линейчатый спектр: серия определяется нижним уровнем ($n_1 = 1$ - Лайман, $n_1 = 2$ - Бальмер, $n_1 = 3$ - Пашен), длина волны рассчитывается по формуле Ридберга. Для водородоподобных ионов та же формула с множителем $Z^2$.