Постулаты Бора: формулы и решение задач

Постулаты Бора - это три смелых допущения, которыми в 1913 году Нильс Бор спас планетарную модель атома от противоречия с классической физикой и заодно объяснил линейчатый спектр водорода. По классике электрон, вращаясь вокруг ядра, обязан непрерывно излучать и за мгновение упасть на ядро, но атомы устойчивы и светятся строго определёнными линиями. Бор постулировал, что электрон движется только по особым стационарным орбитам и излучает не плавно, а порциями - при скачке с одной орбиты на другую. Из этих постулатов выводятся компактные формулы для энергии уровней, радиусов орбит и длин волн спектральных линий, по которым и решается большинство учебных задач. Чтобы сразу увидеть связь между уровнями и испущенной линией, покрутите калькулятор ниже: задаёте, откуда и куда прыгает электрон, а он считает энергию фотона, длину волны и частоту.

Три постулата Бора кратко

Вся модель держится на трёх утверждениях, и в задачах их полезно держать перед глазами:

1. Постулат стационарных состояний. В атоме существуют особые стационарные орбиты, находясь на которых электрон не излучает энергию, несмотря на ускоренное движение. Энергия атома в таком состоянии строго фиксирована и принимает только дискретный набор значений $E_1, E_2, E_3, \dots$
2. Правило квантования орбит. Стационарны лишь те орбиты, на которых момент импульса электрона кратен постоянной Планка: $m v r = n \hbar$, где $n = 1, 2, 3, \dots$ - главное квантовое число, а $\hbar = h/2\pi$. Именно это условие отбирает разрешённые радиусы и энергии из непрерывного классического множества.
3. Правило частот (третий постулат). Излучение или поглощение происходит только при переходе электрона между стационарными состояниями. Энергия испущенного или поглощённого фотона равна разности энергий уровней: $h\nu = E_{n_2} - E_{n_1}$.

Первый постулат снимает катастрофу непрерывного излучения, второй задаёт дискретность, а третий связывает уровни с наблюдаемым спектром. В задачах вы почти всегда работаете именно с третьим: даны два уровня - найти линию, или дана линия - восстановить переход.

Формула энергии уровней

Из правила квантования орбит и баланса кулоновской силы с центростремительным ускорением для атома водорода выводится энергия $n$-го уровня:

$E_n = -\frac{13{,}6}{n^2}\ \text{эВ}.$

Знак «минус» означает, что электрон связан: чтобы оторвать его (ионизовать атом с основного уровня), нужно сообщить ровно $13{,}6$ эВ. Уровни не равноотстоящие - с ростом $n$ они сгущаются у нуля, к границе ионизации $E = 0$. Подставляя $n = 1, 2, 3, 4$, получаем $-13{,}6$, $-3{,}40$, $-1{,}51$, $-0{,}85$ эВ - эту «лестницу» удобно держать в голове.

Рассчитать для своей задачи

Радиус $n$-й орбиты растёт как квадрат номера: $r_n = n^2 a_0$, где $a_0 = 0{,}0529$ нм - боровский радиус (радиус первой орбиты). Скорость электрона, наоборот, убывает: $v_n = 2{,}18 \cdot 10^6 / n$ м/с. Поэтому на дальних орбитах электрон и медленнее, и слабее связан - всё это калькулятор показывает для выбранного уровня сразу.

Правило частот и длина волны линии

Самая рабочая формула в задачах - правило частот. Энергия фотона при переходе с верхнего уровня $n_2$ на нижний $n_1$ равна разности энергий:

$\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1} = 13{,}6\left(\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2}\right)\ \text{эВ}.$

Зная энергию фотона в электронвольтах, длину волны линии находят через удобное произведение $hc = 1239{,}84$ эВ·нм:

$\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{1239{,}84}{\Delta E\,[\text{эВ}]}\ \text{нм}.$

Эта же зависимость, записанная через обратную длину волны, известна как формула Ридберга: $1/\lambda = R\,(1/n_1^2 - 1/n_2^2)$. Постоянная Ридберга $R = 1{,}097 \cdot 10^7$ м$^{-1}$ - не подгоночный параметр, а комбинация фундаментальных констант, и то, что Бор получил её «из первых принципов», стало главным триумфом модели.

Рассчитать для своей задачи

Переход $n = 3 \to 2$ даёт $\Delta E = 13{,}6\,(1/4 - 1/9) = 1{,}89$ эВ и линию $\lambda = 656$ нм - это знаменитая красная линия H-альфа. Частоту при необходимости считают как $\nu = \Delta E / h$.

Спектральные серии водорода

Все линии водорода группируются в серии по тому, на какой нижний уровень падает электрон. Нижний уровень $n_1$ задаёт серию, а верхний $n_2$ нумерует линии внутри неё:

• Серия Лаймана ($n_1 = 1$) - ультрафиолет, переходы на основной уровень, линии 122-91 нм.
• Серия Бальмера ($n_1 = 2$) - видимый свет, та самая, что мы видим глазом: H-альфа 656 нм, H-бета 486 нм и далее к границе 365 нм.
• Серия Пашена ($n_1 = 3$) - инфракрасный диапазон.

Рассчитать для своей задачи

У каждой серии есть граница - предельная длина волны при $n_2 \to \infty$, когда электрон прилетает с самого верха «лестницы». Для Бальмера это $\lambda = 365$ нм. В калькуляторе достаточно поставить нижний уровень $n_1 = 2$ и менять верхний, чтобы пройти всю серию Бальмера и увидеть, как линии сгущаются у границы.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: электрон в атоме водорода переходит с уровня $n_2 = 3$ на уровень $n_1 = 2$. Нужно найти энергию испущенного фотона, длину волны линии и её частоту.

Сначала по формуле энергии находим оба уровня:

$E_3 = -\frac{13{,}6}{9} = -1{,}51\ \text{эВ}, \qquad E_2 = -\frac{13{,}6}{4} = -3{,}40\ \text{эВ}.$

Энергия фотона - это разность, причём электрон падает вниз, поэтому фотон вылетает:

$\Delta E = E_3 - E_2 = -1{,}51 - (-3{,}40) = 1{,}89\ \text{эВ}.$

Длину волны получаем через произведение $hc$:

$\lambda = \frac{1239{,}84}{1{,}89} \approx 656\ \text{нм}.$

Это видимая красная линия серии Бальмера. Частота:

$\nu = \frac{\Delta E}{h} = \frac{1{,}89 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19}}{6{,}63 \cdot 10^{-34}} \approx 4{,}6 \cdot 10^{14}\ \text{Гц} = 457\ \text{ТГц}.$

Проверка разумности: линия попала в видимый диапазон (380-750 нм), значит, серия Бальмера определена верно. Калькулятор выше собирает ровно эту цепочку, оставляя вам контроль над подстановками и единицами.

Частые ошибки

• Путаница, какой уровень верхний. При испускании электрон падает с большего $n_2$ на меньший $n_1$. Если поставить уровни наоборот, $\Delta E$ выйдет отрицательной - это уже поглощение, а не излучение.
• Знак энергии уровня. Энергии $E_n$ отрицательны, потому что электрон связан. Забыть минус - значит получить бессмысленную «положительную» энергию связанного состояния.
• Длина волны через эВ напрямую. Чтобы $\lambda$ вышла в нанометрах, делите $1239{,}84$ на энергию в электронвольтах. Подстановка джоулей без перевода даёт ошибку на много порядков.
• Линейный рост радиуса. Радиус растёт как $n^2$, а не как $n$. Вторая орбита вчетверо больше первой, третья - в девять раз.
• Перенос модели на сложные атомы. Формула $E_n = -13{,}6/n^2$ верна для водорода и водородоподобных ионов. Для многоэлектронных атомов модель Бора количественно не работает.

FAQ

Сколько всего постулатов у Бора? Три: постулат стационарных состояний (электрон на особых орбитах не излучает), правило квантования орбит ($m v r = n\hbar$) и правило частот ($h\nu = E_{n_2} - E_{n_1}$). Иногда первые два объединяют, и тогда говорят о двух постулатах, но в учебных задачах удобнее различать все три.

Почему электрон на стационарной орбите не излучает? Это и есть содержание первого постулата - утверждение, а не вывод из классики. Классическая электродинамика как раз требует излучения и падения на ядро; Бор постулировал обратное, чтобы согласовать модель с устойчивостью атомов. Строгое объяснение даёт уже квантовая механика через стоячие волны де Бройля.

Чему равна длина волны линии H-альфа? Переходу $n = 3 \to 2$ серии Бальмера отвечает $\Delta E = 1{,}89$ эВ и длина волны около 656 нм - это красная линия видимого спектра водорода, которую исторически и измерял Бальмер.

Коротко

Три постулата Бора - стационарные орбиты без излучения, квантование момента импульса $m v r = n\hbar$ и правило частот $h\nu = E_{n_2} - E_{n_1}$ - превращают планетарный атом в работающую модель. Энергия уровней водорода равна $E_n = -13{,}6/n^2$ эВ, радиус орбиты растёт как $r_n = n^2 a_0$, а длина волны линии находится как $\lambda = 1239{,}84/\Delta E$ нм. Линии группируются в серии Лаймана, Бальмера и Пашена по нижнему уровню перехода, и почти любая задача сводится к аккуратной подстановке в эти формулы с правильными знаками и единицами.