Спектр атома водорода: серия Лаймана и формула

Спектр атома водорода это набор узких линий, на которые распадается излучение возбуждённого водорода. Линии группируются в серии, и каждая серия отвечает переходам электрона на один и тот же нижний уровень. Серия Лаймана это переходы на самый нижний, основной уровень $n = 1$: именно поэтому её фотоны самые энергичные, а все линии лежат в ультрафиолетовой области, невидимой глазу. Ниже разберём, как устроена серия, как по формуле Ридберга посчитать длину волны и энергию каждой линии, где находится граница серии и какие ошибки чаще всего портят расчёт. Чтобы сразу увидеть связь номера уровня, длины волны и энергии фотона, покрутите калькулятор ниже: он считает линию по формуле Ридберга и подсвечивает её разом в спектре и на диаграмме уровней.

Что такое серия Лаймана

В атоме водорода электрон может находиться только на дискретных уровнях энергии, пронумерованных целым числом $n = 1, 2, 3, \ldots$ Когда электрон с верхнего уровня перескакивает на нижний, атом испускает фотон, энергия которого точно равна разности энергий уровней. Если конечным уровнем всегда служит основной, $n = 1$, набор испущенных линий и называется серией Лаймана (по имени Теодора Лаймана, открывшего её в 1906 году).

Поскольку переход идёт на самый глубокий уровень, перепад энергий максимален из всех серий водорода, а значит фотоны самые коротковолновые. Все линии серии Лаймана попадают в вакуумный ультрафиолет с длинами волн от примерно 121 нм до 91 нм. Для сравнения, серия Бальмера (переходы на уровень $n = 2$) частично видима, а серия Пашена (на $n = 3$) уже целиком в инфракрасной области.

Рассчитать для своей задачи

Формула Ридберга для серии Лаймана

Положение каждой линии задаётся формулой Ридберга. В общем виде она связывает обратную длину волны с номерами уровней:

$\frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2} \right),$

где $R_H = 1{,}097 \cdot 10^7$ м⁻¹ это постоянная Ридберга, $m$ номер нижнего уровня, $n$ номер верхнего. Для серии Лаймана нижний уровень всегда $n = 1$, поэтому $m = 1$ и формула упрощается:

$\frac{1}{\lambda} = R_H \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right), \qquad n = 2, 3, 4, \ldots$

Длину волны отсюда находим как $\lambda = 1 / \left[ R_H (1 - 1/n^2) \right]$. Чем больше $n$, тем ближе скобка к единице, тем короче волна, и тем теснее линии прижимаются друг к другу. Головная линия $L_\alpha$ (переход $2 \to 1$) самая длинноволновая и самая яркая в серии.

Рассчитать для своей задачи

Энергия и частота фотона

Удобно считать линию не только через длину волны, но и через энергию. Энергия уровня водорода равна $E_n = -13{,}6 / n^2$ эВ, поэтому при переходе $n \to 1$ испускается фотон с энергией, равной разности уровней:

$E = E_n - E_1 = 13{,}6\ \text{эВ} \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right).$

Эта же энергия связана с длиной волны и частотой через соотношения $E = h\nu = hc/\lambda$. На практике быстрый перевод даёт формула $E\,[\text{эВ}] = 1240 / \lambda\,[\text{нм}]$. Например, для головной линии $L_\alpha$ длина волны 121,5 нм даёт $E = 1240 / 121{,}5 \approx 10{,}2$ эВ, и тот же результат получается прямо из энергетической формулы: $13{,}6 \cdot (1 - 1/4) = 10{,}2$ эВ. Частоту берём как $\nu = c / \lambda$: для $L_\alpha$ это около $2{,}47 \cdot 10^{15}$ Гц. Калькулятор выше показывает все три величины сразу для выбранного перехода.

Где находится граница серии

При $n \to \infty$ электрон уходит на бесконечность, то есть атом ионизуется с основного уровня. Скобка $1 - 1/n^2$ стремится к единице, и длина волны достигает наименьшего возможного значения:

$\lambda_{min} = \frac{1}{R_H} \approx 91{,}2\ \text{нм}.$

Это и есть граница серии Лаймана. Соответствующая энергия фотона равна энергии ионизации водорода с основного состояния, $E = 13{,}6$ эВ. За границей серии (волны короче 91,2 нм) спектр становится сплошным: свободный электрон может иметь любую кинетическую энергию, поэтому отдельные линии сливаются в непрерывный континуум. На шкале калькулятора граница отмечена пунктиром слева, и видно, как линии серии сгущаются именно к ней.

Чем серия Лаймана отличается от других серий водорода

Все серии водорода описываются одной формулой Ридберга, различаясь только номером нижнего уровня $m$. Серия Лаймана ($m = 1$) самая высокоэнергичная и целиком ультрафиолетовая. Серия Бальмера ($m = 2$) частично попадает в видимый диапазон, и именно её линии $H_\alpha$, $H_\beta$ окрашивают свечение водорода. Серии Пашена ($m = 3$) и Брэкета ($m = 4$) уходят в инфракрасную область. Зная это правило, легко не перепутать серии в задаче: смотрите, на какой уровень падает электрон, и сразу понятно, о какой серии идёт речь и в каком диапазоне ждать линию.

Именно из-за положения в вакуумном ультрафиолете серия Лаймана важна в астрофизике: линия $L_\alpha$ межзвёздного водорода одна из самых заметных в спектрах далёких галактик и используется для измерения красного смещения.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную постановку: найти длину волны и энергию фотона для линии серии Лаймана, отвечающей переходу с уровня $n = 3$ на уровень $n = 1$. Постоянная Ридберга $R_H = 1{,}097 \cdot 10^7$ м⁻¹.

Сначала подставляем $n = 3$ в формулу Ридберга для серии Лаймана:

$\frac{1}{\lambda} = R_H \left( 1 - \frac{1}{3^2} \right) = 1{,}097 \cdot 10^7 \cdot \frac{8}{9} \approx 9{,}75 \cdot 10^6\ \text{м}^{-1}.$

Отсюда длина волны:

$\lambda = \frac{1}{9{,}75 \cdot 10^6} \approx 1{,}025 \cdot 10^{-7}\ \text{м} = 102{,}5\ \text{нм}.$

Энергию фотона удобнее найти из энергетической формулы, не возвращаясь к длине волны:

$E = 13{,}6\ \text{эВ} \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = 13{,}6 \cdot \frac{8}{9} \approx 12{,}1\ \text{эВ}.$

Проверка согласованности: $1240 / 102{,}5 \approx 12{,}1$ эВ, что совпадает с прямым расчётом. Это линия $L_\beta$ серии Лаймана. Если ваши числа эту проверку не проходят, ищите ошибку в подстановке номера уровня или в переводе единиц. Калькулятор выше собирает ровно такую цепочку и подсвечивает найденную линию в спектре, оставляя вам контроль над формулой.

Частые ошибки

• Путаница нижнего уровня серии. Для серии Лаймана нижний уровень всегда $n = 1$. Если подставить $m = 2$, получится уже серия Бальмера, и длина волны выйдет совсем другой.
• Какое число в каком квадрате. В скобке $1/1^2 - 1/n^2$ из единицы вычитается дробь с верхним уровнем. Перестановка членов даёт отрицательную обратную длину волны.
• Неверная постоянная Ридберга. В формуле для $1/\lambda$ используют $R_H = 1{,}097 \cdot 10^7$ м⁻¹. Не путайте её с постоянной Ридберга в единицах энергии (13,6 эВ) или частоты.
• Забытый перевод единиц. Если $R_H$ задана в м⁻¹, то $\lambda$ получится в метрах. Чтобы получить нанометры, умножьте на $10^9$.
• Ожидание видимого света. Вся серия Лаймана лежит в ультрафиолете (91 до 122 нм). Если в ответе вышла длина волны видимого диапазона, вероятно, перепутана серия.

FAQ

Какая длина волны у головной линии серии Лаймана? Головная линия $L_\alpha$ это переход $2 \to 1$. По формуле Ридберга $1/\lambda = R_H (1 - 1/4)$, откуда $\lambda \approx 121{,}5$ нм, а энергия фотона около 10,2 эВ. Это самая длинноволновая и самая яркая линия серии.

Почему серия Лаймана не видна глазом? Потому что переходы идут на самый нижний уровень $n = 1$, и перепад энергий максимален. Фотоны получаются настолько энергичными, что их длины волн (91 до 122 нм) попадают в вакуумный ультрафиолет, который глаз не воспринимает.

Где граница серии Лаймана и что она означает? Граница лежит на $\lambda_{min} = 1/R_H \approx 91{,}2$ нм и соответствует переходу с бесконечно высокого уровня, то есть ионизации атома с основного состояния. Энергия такого фотона равна 13,6 эВ. За границей спектр становится сплошным.

Коротко

Серия Лаймана это переходы электрона в атоме водорода на основной уровень $n = 1$, поэтому все её линии лежат в ультрафиолете. Положение линий задаёт формула Ридберга $1/\lambda = R_H (1 - 1/n^2)$ с $R_H = 1{,}097 \cdot 10^7$ м⁻¹, а энергию фотона удобно считать как $E = 13{,}6\,\text{эВ}\,(1 - 1/n^2)$. Головная линия $L_\alpha$ имеет длину волны 121,5 нм, а граница серии при $n \to \infty$ приходится на 91,2 нм и отвечает ионизации с основного уровня.