Частица в одномерной потенциальной яме: энергия

Частица в одномерной потенциальной яме - это первая по-настоящему квантовая задача, которую решают в курсе квантовой механики, и одновременно простейшая модель, где энергия частицы оказывается не любой, а строго дискретной. Электрон, запертый между двумя бесконечно высокими стенками, не может иметь произвольную энергию: разрешён лишь набор уровней, нумеруемых целым числом $n$. Ниже разберём, откуда берётся формула $E_n$, почему уровни идут как $n^2$, как перевести энергию в электронвольты и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать, как ширина ямы и масса частицы управляют спектром, покрутите калькулятор ниже: он считает энергию уровня, рисует лесенку уровней и форму волновой функции, а дальше мы выведем каждую формулу строго.

Что такое одномерная потенциальная яма

Одномерная потенциальная яма (её ещё называют «ящиком») - это идеализация, в которой частица движется вдоль одной координаты $x$ и заперта на отрезке шириной $L$. Внутри ямы, при $0 < x < L$, потенциальная энергия равна нулю, и частица движется свободно. На границах стоят бесконечно высокие стенки: при $x \le 0$ и $x \ge L$ потенциал $U = \infty$, поэтому частица туда проникнуть не может. Формально потенциал записывают так:

$U(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < L, \\ \infty, & x \le 0 \ \text{или} \ x \ge L. \end{cases}$

Бесконечные стенки - это удобная модель: они гарантируют, что волновая функция строго обращается в ноль на границах, и решение получается особенно прозрачным. Реальные ямы (например, квантовая точка или яма в полупроводниковой гетероструктуре) имеют конечную глубину, но качественно ведут себя так же: чем уже яма, тем сильнее «зажата» частица и тем выше её энергия.

Рассчитать для своей задачи

Откуда берётся дискретность энергии

Внутри ямы потенциал равен нулю, поэтому стационарное уравнение Шрёдингера сводится к уравнению свободной частицы:

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} = E\,\psi.$

Его общее решение - синусоида $\psi(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx)$, где $k = \sqrt{2mE}/\hbar$. Теперь вступают граничные условия: на стенках волновая функция обязана обращаться в ноль, $\psi(0) = \psi(L) = 0$. Из условия $\psi(0) = 0$ сразу следует $B = 0$, остаётся $\psi(x) = A\sin(kx)$. Из условия $\psi(L) = 0$ получаем $\sin(kL) = 0$, а значит $kL = \pi n$ для целого $n = 1, 2, 3, \dots$. Именно отсюда и берётся дискретность: волна должна укладываться в яме целым числом полуволн, как стоячая волна на закреплённой с двух концов струне. Подставляя $k = \pi n / L$ в выражение для энергии $E = \hbar^2 k^2 / (2m)$, получаем разрешённые значения энергии.

Формула энергии уровней

Главный результат задачи - формула энергии $n$-го уровня частицы в одномерной потенциальной яме:

$E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m L^2} = \frac{n^2 h^2}{8 m L^2}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots$

Обе записи эквивалентны: вторая получается из первой подстановкой $\hbar = h / (2\pi)$. Здесь $h = 6{,}626\cdot10^{-34}$ Дж·с - постоянная Планка, $m$ - масса частицы, $L$ - ширина ямы. Из формулы видно сразу несколько важных свойств:

• Энергия растёт как $n^2$. Уровни относятся как $1 : 4 : 9 : 16 : 25$, поэтому с ростом $n$ они расходятся всё сильнее, а у дна ямы сгущаются.
• Энергия не может быть нулевой. Минимальное значение $n = 1$, поэтому даже в самом низком состоянии частица имеет энергию $E_1 = h^2 / (8 m L^2) > 0$. Это так называемая энергия нулевых колебаний - прямое следствие принципа неопределённости.
• Чем уже яма, тем выше энергия. Зависимость от $L$ обратно квадратичная: сжатие ямы вдвое поднимает все уровни в четыре раза.
• Чем тяжелее частица, тем ниже уровни. Для протона при тех же $L$ энергии в $\approx 1836$ раз меньше, чем для электрона.

Рассчитать для своей задачи

На диаграмме уровней это выглядит как неравномерная лесенка: расстояние между соседними ступенями $\Delta E = E_{n+1} - E_n$ само растёт с номером уровня, поскольку $\Delta E = (2n + 1)\,E_1$. Именно эта картина дискретного спектра и отличает квантовую частицу от классической, у которой энергия могла бы быть любой.

Энергия в электронвольтах: численный расчёт

В задачах энергию почти всегда просят выразить в электронвольтах. Возьмём электрон ($m = m_e = 9{,}109\cdot10^{-31}$ кг) в яме шириной $L = 1$ нм $= 10^{-9}$ м и посчитаем основное состояние:

$E_1 = \frac{h^2}{8 m_e L^2} = \frac{(6{,}626\cdot10^{-34})^2}{8 \cdot 9{,}109\cdot10^{-31} \cdot (10^{-9})^2} \approx 6{,}02\cdot10^{-20}\ \text{Дж}.$

Чтобы перевести джоули в электронвольты, делим на заряд электрона $1\ \text{эВ} = 1{,}602\cdot10^{-19}$ Дж:

$E_1 \approx \frac{6{,}02\cdot10^{-20}}{1{,}602\cdot10^{-19}} \approx 0{,}376\ \text{эВ}.$

Дальше остальные уровни считаются без новой подстановки - просто умножением на $n^2$:

$E_2 = 4 E_1 \approx 1{,}50\ \text{эВ}, \qquad E_3 = 9 E_1 \approx 3{,}38\ \text{эВ}.$

Калькулятор в начале статьи делает ровно этот расчёт для любой ширины ямы и массы частицы: задайте $L$, выберите электрон или протон и номер уровня - и сравните, как меняется энергия. Заметьте, что для ямы атомного масштаба ($L \sim 1$ нм) энергии получаются порядка единиц электронвольт - это масштаб энергий, характерный для атомов и молекул.

Волновая функция и плотность вероятности

Каждому уровню энергии отвечает своя волновая функция. После нормировки (полная вероятность найти частицу в яме равна единице) она имеет вид:

$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\!\left(\frac{\pi n x}{L}\right), \qquad 0 < x < L.$

Это стоячая волна, у которой внутри ямы укладывается ровно $n$ полуволн. Сама по себе $\psi_n$ - не наблюдаемая величина; физический смысл имеет плотность вероятности $|\psi_n(x)|^2 = (2/L)\sin^2(\pi n x / L)$: она показывает, где частицу вероятнее всего обнаружить. У волновой функции $n$-го уровня внутри ямы есть $n - 1$ узлов - точек, где $\psi_n = 0$ и встретить частицу нельзя. Например, в основном состоянии ($n = 1$) узлов внутри нет, и частица чаще всего находится в центре ямы; на втором уровне ($n = 2$) появляется узел ровно посередине. Правое окно калькулятора рисует обе кривые - саму волну и её квадрат - для выбранного $n$, чтобы было видно, как растёт число узлов.

Частые ошибки

• Подстановка $\hbar$ вместо $h$ или наоборот. В формуле $E_n = n^2 h^2 / (8mL^2)$ стоит обычная постоянная Планка $h$, а в форме с $\pi^2$ - приведённая $\hbar = h/2\pi$. Перепутать их - ошибиться в $4\pi^2 \approx 39$ раз.
• Забытый перевод ширины в метры. Если $L$ задано в нанометрах, его надо перевести в метры ($1$ нм $= 10^{-9}$ м) до подстановки, иначе ответ будет неверным на много порядков.
• Нумерация с нуля. Минимальное квантовое число $n = 1$, а не $n = 0$: при $n = 0$ волновая функция тождественно равна нулю, то есть частицы просто нет. Нулевого уровня энергии в этой задаче не существует.
• Энергия пропорциональна $n$, а не $n^2$. Линейная зависимость - это про гармонический осциллятор. У ямы спектр квадратичный: уровни относятся как $1:4:9$, а не как $1:2:3$.
• Путаница ямы и осциллятора. В потенциальной яме уровни расходятся ($\Delta E$ растёт), а у гармонического осциллятора они равноотстоящие. Это разные модели с разными спектрами.

FAQ

Почему энергия частицы в потенциальной яме не может быть равна нулю? Минимальное квантовое число $n = 1$, поэтому самая низкая энергия $E_1 = h^2/(8mL^2)$ строго положительна. Нулевая энергия означала бы покоящуюся частицу с точно известными координатой и импульсом, что запрещено принципом неопределённости. Эту минимальную энергию называют энергией нулевых колебаний.

Как меняется энергия уровней, если сузить яму? Энергия обратно пропорциональна квадрату ширины: $E_n \propto 1/L^2$. Если уменьшить $L$ вдвое, все уровни вырастут в четыре раза, а расстояния между ними - тоже в четыре раза. Поэтому в очень узких ямах (квантовых точках) уровни далеко разнесены и наблюдаются при комнатной температуре.

Чем отличается яма с бесконечными стенками от ямы конечной глубины? В бесконечной яме волновая функция строго равна нулю на границах, а уровней бесконечно много. В яме конечной глубины частица слегка «просачивается» в стенки (туннелирование), связанных уровней конечное число, а энергии немного ниже, чем в идеальной модели. При больших глубинах конечная яма переходит в бесконечную.

Коротко

Частица в одномерной потенциальной яме шириной $L$ имеет дискретный спектр энергий $E_n = n^2 h^2 / (8 m L^2)$, где $n = 1, 2, 3, \dots$ Дискретность возникает из граничных условий: волновая функция должна укладываться в яме целым числом полуволн. Уровни растут как $n^2$, расходясь вверх и сгущаясь у дна; самый низкий уровень $E_1 > 0$ - это энергия нулевых колебаний. Для электрона в яме нанометрового масштаба энергии получаются порядка единиц электронвольт. Калькулятор в начале статьи считает энергию любого уровня и показывает связанную с ним стоячую волну.