Волновая функция основного состояния водорода

Волновая функция основного состояния атома водорода - это точное аналитическое решение уравнения Шрёдингера, которое квантовая механика даёт без каких-либо приближений. Оно описывает единственный электрон в поле протона: как убывает амплитуда вероятности с расстоянием, где максимум радиального распределения и почему именно радиус Бора $a_0 = 0{,}529$ Å оказывается «характерным» масштабом атома. Ниже вы найдёте вывод формулы, физический смысл каждого множителя и интерактивный калькулятор, который строит все три кривые сразу.

Квантовые числа и обозначение состояния

Состояния электрона в атоме водорода характеризуются тремя квантовыми числами: главным $n$, орбитальным $l$ и магнитным $m_l$. Основное состояние - наименьшая возможная энергия при $n = 1$. Из допустимых значений $0 \le l \le n-1$ и $-l \le m_l \le l$ следует, что при $n = 1$ единственно возможны $l = 0$ и $m_l = 0$. Полное обозначение состояния - $\psi_{100}$ или 1s-орбиталь (буква s соответствует $l = 0$).

Важно, что при $l = 0$ угловая часть волновой функции является константой - сферической гармоникой $Y_0^0 = 1/\sqrt{4\pi}$. Это означает, что основное состояние водорода обладает сферической симметрией: амплитуда вероятности зависит только от расстояния $r$ от ядра, но не от углов $\theta$ и $\varphi$.

Рассчитать для своей задачи

Формула волновой функции

Полная волновая функция основного состояния получается из радиальной части $R_{10}(r)$ и угловой $Y_0^0$:

$$\psi_{100}(r) = R_{10}(r)\,Y_0^0 = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\frac{1}{a_0}\right)^{3/2}\exp\!\left(-\frac{r}{a_0}\right),$$

где $a_0 = \dfrac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_e e^2} \approx 5{,}29 \times 10^{-11}$ м - боровский радиус. Размерный множитель $(a_0^{-3/2}/\sqrt{\pi})$ обеспечивает нормировку:

$$\int_0^{\infty}\int_0^{\pi}\int_0^{2\pi} |\psi_{100}|^2\,r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi = 1.$$

Функция $\psi_{100}$ вещественна, положительна при всех $r \ge 0$ и монотонно убывает от максимального значения $\psi_{100}(0) = 1/(\sqrt{\pi}\,a_0^{3/2})$ на ядре до нуля при $r \to \infty$. Узлов (нулей) нет - это отличительная черта основного состояния всех квантовых систем.

Плотность вероятности и радиальное распределение

Квадрат модуля волновой функции $|\psi_{100}|^2$ даёт объёмную плотность вероятности - вероятность найти электрон в единичном объёме вблизи точки $(r, \theta, \varphi)$:

$$|\psi_{100}(r)|^2 = \frac{1}{\pi a_0^3}\exp\!\left(-\frac{2r}{a_0}\right).$$

Максимум плотности находится в начале координат ($r = 0$), то есть вблизи ядра. Однако это вовсе не значит, что электрон «сидит» в ядре: объём сферического слоя $dV = 4\pi r^2\,dr$ растёт с расстоянием. Радиальная функция распределения учитывает оба фактора:

$$P(r) = 4\pi r^2 |\psi_{100}|^2 = \frac{4}{a_0^3}\,r^2\,\exp\!\left(-\frac{2r}{a_0}\right).$$

Максимум $P(r)$ найдём из условия $dP/dr = 0$:

$$\frac{d}{dr}\!\left[r^2 e^{-2r/a_0}\right] = r\!\left(2 - \frac{2r}{a_0}\right)\!e^{-2r/a_0} = 0 \quad\Rightarrow\quad r_{\max} = a_0.$$

Таким образом, наиболее вероятное расстояние от электрона до ядра в основном состоянии водорода ровно равно боровскому радиусу. Это одно из самых красивых совпадений квантовой механики с полуклассической моделью Бора.

Рассчитать для своей задачи

Среднее расстояние и дисперсия

Квантовая механика различает наиболее вероятное значение $r_{\max}$ и математическое ожидание $\langle r \rangle$. Для 1s-орбитали среднее расстояние вычисляется через интеграл:

$$\langle r \rangle = \int_0^{\infty} r\,P(r)\,dr = \frac{4}{a_0^3}\int_0^{\infty} r^3 e^{-2r/a_0}\,dr = \frac{3}{2}\,a_0.$$

Среднее значение $3a_0/2$ чуть больше $a_0$, что отражает асимметрию $P(r)$: длинный «хвост» при больших $r$ смещает среднее вправо от максимума. Дисперсию $\langle r^2 \rangle - \langle r \rangle^2$ тоже легко вычислить:

$$\langle r^2 \rangle = \frac{4}{a_0^3}\int_0^{\infty} r^4 e^{-2r/a_0}\,dr = 3\,a_0^2,$$

откуда стандартное отклонение $\sigma_r = \sqrt{3a_0^2 - 9a_0^2/4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a_0 \approx 0{,}87\,a_0$.

Энергия основного состояния

Волновая функция $\psi_{100}$ является собственной функцией гамильтониана атома водорода с собственным значением:

$$E_1 = -\frac{m_e e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2} = -\frac{\hbar^2}{2m_e a_0^2} \approx -13{,}6\;\text{эВ}.$$

Минус означает, что электрон связан с ядром: чтобы ионизировать атом из основного состояния, нужно затратить ровно $13{,}6$ эВ - это энергия ионизации водорода. Из той же формулы следует, что боровский радиус $a_0$ - это характерный масштаб, при котором кинетическая и потенциальная энергия электрона уравновешивают друг друга, обеспечивая минимум полной энергии.

Водородоподобные атомы

Результат легко обобщается на водородоподобные ионы (He$^+$, Li$^{2+}$ и т.д.) с зарядом ядра $Z$: радиус Бора сжимается до $a_0/Z$, а функция принимает вид:

$$\psi_{100}^{(Z)}(r) = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\!\left(\frac{Z}{a_0}\right)^{3/2}\!\exp\!\left(-\frac{Zr}{a_0}\right).$$

При этом энергия основного состояния становится $E_1^{(Z)} = -Z^2 \cdot 13{,}6$ эВ: гелий-подобный ион He$^+$ имеет $E_1 = -54{,}4$ эВ. Эффективный заряд $Z$ используют и для приближённых расчётов многоэлектронных атомов (метод Хартри-Фока), когда экранирование ядра другими электронами учитывают через $Z_{\rm eff} < Z$.

Калькулятор выше позволяет поставить любое $Z$ от 1 до 10 и сразу увидеть, как сжимается орбиталь и смещается максимум радиального распределения к $a_0/Z$.

Частые ошибки

• Путают $|\psi|^2$ и $P(r)$. Плотность вероятности $|\psi|^2$ максимальна в начале координат, тогда как радиальное распределение $P(r) = 4\pi r^2|\psi|^2$ максимально при $r = a_0$. Именно $P(r)$ отвечает на вопрос «где чаще всего находится электрон» по расстоянию.
• Забывают единицы нормировки. Функция $\psi_{100}$ имеет размерность $[\text{м}^{-3/2}]$, $|\psi|^2$ - $[\text{м}^{-3}]$, а $P(r)$ - $[\text{м}^{-1}]$. При подстановке числовых значений необходимо переводить всё в одну систему единиц.
• Считают $r_{\max} = \langle r \rangle$. Для 1s-орбитали $r_{\max} = a_0$, а $\langle r \rangle = 3a_0/2$. Для возбуждённых состояний разрыв между ними ещё больше.
• Применяют формулу к возбуждённым состояниям. Выражение $\psi_{100} \propto e^{-r/a_0}$ справедливо только для $n = 1$. Для $n = 2$ уже появляются полиномы Лагерра: $R_{20} \propto (2 - r/a_0)e^{-r/(2a_0)}$.
• Игнорируют сферическую симметрию. Утверждать, что «электрон движется по окружности радиуса $a_0$», неверно: $\psi_{100}$ сферически симметрична, электрон описывается облаком вероятности без конкретной траектории.

FAQ

Что такое боровский радиус и откуда берётся значение 0,529 Å?

Боровский радиус $a_0 = 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/(m_e e^2)$ - это фундаментальная атомная единица длины. Численное значение получается подстановкой констант: $\varepsilon_0 = 8{,}854\times10^{-12}$ Ф/м, $\hbar = 1{,}055\times10^{-34}$ Дж·с, $m_e = 9{,}109\times10^{-31}$ кг, $e = 1{,}602\times10^{-19}$ Кл. Исторически он совпадает с радиусом электронной орбиты в модели Бора 1913 года, но в квантовой механике $a_0$ - просто характерный масштаб убывания экспоненты.

Почему волновая функция не равна нулю при $r = 0$?

В классической механике электрон не мог бы находиться в точке, где потенциальная энергия $-e^2/(4\pi\varepsilon_0 r)$ обращается в минус бесконечность. В квантовой механике $|\psi_{100}(0)|^2 > 0$ означает ненулевую вероятность найти электрон в ядре - это напрямую связано с явлением $K$-захвата (ядро захватывает электрон с 1s-орбитали в ядерных реакциях).

Как связана волновая функция с атомными спектрами?

Спектральные линии водорода возникают при переходах электрона между уровнями с энергиями $E_n = E_1/n^2 = -13{,}6/n^2$ эВ. Частота фотона определяется разностью $h\nu = E_{n_1} - E_{n_2}$. Переходы на уровень $n = 1$ (серия Лаймана) лежат в ультрафиолете, на $n = 2$ (серия Бальмера) - в видимом диапазоне. Волновые функции определяют матричные элементы дипольного перехода, а значит - вероятности этих переходов и интенсивности линий.

Коротко

Волновая функция основного состояния водорода $\psi_{100} = (\pi a_0^3)^{-1/2}\exp(-r/a_0)$ является точным решением уравнения Шрёдингера при $n = l = m = 0$. Она сферически симметрична и убывает экспоненциально с постоянной затухания $a_0 = 0{,}529$ Å. Плотность вероятности $|\psi|^2$ максимальна в начале координат, но радиальное распределение $P(r) = 4\pi r^2|\psi|^2$ имеет максимум ровно при $r = a_0$, а среднее расстояние $\langle r \rangle = 3a_0/2$. Для водородоподобных ионов замена $a_0 \to a_0/Z$ моментально обобщает все формулы: орбиталь сжимается, энергия связи растёт как $Z^2$.