Частица в потенциальной яме: энергия и волновая функция

Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме - это первая и самая наглядная задача квантовой механики. Стенки ямы непроницаемы, внутри потенциал равен нулю, и частица заперта на отрезке шириной $L$. Из этого простого условия само собой следует всё, ради чего квантовую механику и изучают: энергия принимает не любые значения, а лишь дискретный набор уровней, частица не может покоиться на дне, а её состояние описывается стоячей волной. Ниже разберём, как из уравнения Шрёдингера получить волновую функцию и уровни энергии, почему спектр дискретный, а основной уровень не равен нулю, и где студенты чаще всего ошибаются в задачах. Чтобы сразу почувствовать связь ширины ямы, массы частицы и энергии, покрути калькулятор ниже: он считает уровни в электронвольтах и рисует волновую функцию вместе с плотностью вероятности, а дальше мы выведем каждую формулу строго.

Постановка задачи и потенциал ямы

Бесконечно глубокая потенциальная яма задаётся кусочным потенциалом: внутри отрезка $0 < x < L$ потенциальная энергия $U(x) = 0$, а вне его $U(x) = \infty$. Бесконечно высокие стенки означают, что частица никогда не может оказаться снаружи: вероятность найти её при $x \le 0$ или $x \ge L$ строго равна нулю. Поэтому волновая функция обязана обращаться в нуль на стенках - это и есть граничные условия, из которых вырастает весь результат:

$\psi(0) = 0, \qquad \psi(L) = 0.$

Именно непроницаемость стенок отличает эту модель от ямы конечной глубины, где частица слегка «просачивается» в классически запрещённую область. Здесь же всё происходит строго внутри отрезка, и задача сводится к поведению волны, зажатой между двумя стенками.

Уравнение Шрёдингера внутри ямы

Внутри ямы потенциал равен нулю, поэтому стационарное уравнение Шрёдингера для волновой функции $\psi(x)$ имеет вид:

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} = E\,\psi.$

Это обычное уравнение гармонических колебаний. Введя волновое число $k = \sqrt{2mE}/\hbar$, перепишем его как $\psi'' + k^2\psi = 0$, и общее решение - сумма синуса и косинуса:

$\psi(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx).$

Граничное условие $\psi(0) = 0$ сразу убирает косинус: $B = 0$. Остаётся $\psi(x) = A\sin(kx)$. Второе условие $\psi(L) = 0$ требует $\sin(kL) = 0$, а значит $kL = n\pi$, где $n = 1, 2, 3, \dots$ - целое положительное число. Так из требования обнуления волны на обеих стенках возникает квантование: укладываться в яме могут только волны, на длине которых помещается целое число полуволн.

Рассчитать для своей задачи

Волновая функция и условие нормировки

Подставив $k = n\pi/L$, получаем форму волновой функции каждого стационарного состояния:

$\psi_n(x) = A\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).$

Амплитуду $A$ находят из условия нормировки: суммарная вероятность найти частицу где-либо внутри ямы равна единице, то есть интеграл от квадрата модуля волновой функции по всей яме равен единице:

$\int_0^L |\psi_n(x)|^2\,dx = 1 \;\Rightarrow\; A = \sqrt{\frac{2}{L}}.$

Окончательно нормированная волновая функция и плотность вероятности выглядят так:

$\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\,\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \qquad |\psi_n(x)|^2 = \frac{2}{L}\sin^2\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).$

Плотность вероятности $|\psi_n|^2$ показывает, где частицу встретить вероятнее. У основного состояния $n = 1$ это один горб посередине; с ростом $n$ появляются узлы - точки внутри ямы, где вероятность строго равна нулю. Число таких узлов равно $n - 1$. Это резко отличается от классической картины, где частица проводила бы одинаковое время в любой точке ямы.

Рассчитать для своей задачи

Уровни энергии: формула и дискретность

Энергию найдём, вернувшись к связи $k = \sqrt{2mE}/\hbar$ и подставив условие квантования $k = n\pi/L$. Возведя в квадрат и выразив $E$, получаем уровни энергии частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме:

$E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2} = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}, \qquad n = 1, 2, 3, \dots$

Обе записи эквивалентны: первая - через приведённую постоянную Планка $\hbar$, вторая - через обычную $h = 2\pi\hbar$. Из формулы видно главное: энергия принимает только дискретные значения, пропорциональные квадрату номера уровня. Если обозначить основной уровень $E_1$, то $E_n = n^2 E_1$, то есть уровни идут как $1, 4, 9, 16, \dots$ - расстояние между соседними уровнями растёт. Энергия обратно пропорциональна квадрату ширины ямы и массе частицы: чем уже яма и легче частица, тем выше и реже расположены уровни. Поэтому для электрона в яме нанометрового размера уровни лежат в области единиц электронвольт, а для тяжёлой частицы в макроскопической яме они сливаются в почти непрерывный спектр.

Почему основной уровень не равен нулю

Минимальная энергия достигается при $n = 1$ и равна $E_1 = \pi^2\hbar^2/(2mL^2)$. Она строго больше нуля - и это не математическая случайность, а прямое следствие принципа неопределённости. Частица заперта в области размером $L$, значит неопределённость её координаты не превышает $L$. По соотношению Гейзенберга это даёт ненулевую неопределённость импульса, а с ней и минимальную кинетическую энергию. Покоящаяся частица ($p = 0$, $E = 0$) означала бы точно известный импульс при ограниченной координате, что запрещено. Эту минимальную энергию называют энергией нулевых колебаний: даже при абсолютном нуле температуры частица в яме не останавливается.

Связь энергии и ширины ямы

Зависимость $E_n \propto 1/L^2$ удобно проследить на калькуляторе выше: сожми яму вдвое - и все уровни подскочат в четыре раза. Эта обратная зависимость объясняет, почему квантовые эффекты заметны только на малых масштабах. В яме размером с атом (доли нанометра) уровни электрона разнесены на электронвольты, и переходы между ними дают линии видимого и ультрафиолетового света. В яме размером с пылинку те же уровни разнесены на ничтожные доли электронвольта, тепловое движение их размывает, и квантование становится неразличимым - система ведёт себя классически. Энергия перехода между уровнями $\Delta E = E_{n+1} - E_n = (2n + 1)E_1$ определяет частоту поглощаемого или излучаемого фотона, и именно по этим линиям квантовые ямы изучают в эксперименте.

Частые ошибки

• Потеря множителя нормировки. Волновая функция обязана содержать $\sqrt{2/L}$, иначе суммарная вероятность не равна единице. Запись $\psi_n = \sin(n\pi x/L)$ без амплитуды - незавершённый ответ.
• Счёт уровней с нуля. Квантовое число $n$ начинается с единицы, а не с нуля: значение $n = 0$ даёт тождественно нулевую волновую функцию, то есть отсутствие частицы. Основной уровень - это $n = 1$.
• Линейная вместо квадратичной зависимости. Энергия растёт как $n^2$, а не как $n$. Уровни идут $1, 4, 9, 16$, а не $1, 2, 3, 4$ - расстояние между ними увеличивается.
• Путаница $h$ и $\hbar$. В формуле через $\hbar$ стоит знаменатель $2mL^2$, а через $h$ - знаменатель $8mL^2$. Смешивать постоянные нельзя: $h = 2\pi\hbar$, и при подстановке не той из них ответ ошибётся в $4\pi^2$ раз.
• Узлы стенок в счёте. Точки $x = 0$ и $x = L$ - не узлы внутренние, а граничные нули. Внутренних узлов у плотности ровно $n - 1$.

FAQ

Чему равна энергия основного уровня электрона в яме шириной 0,5 нм? Подставляем $n = 1$, $L = 0{,}5$ нм и массу электрона в формулу $E_1 = \pi^2\hbar^2/(2mL^2)$ и получаем около $1{,}5$ эВ. Это типичный масштаб для ямы атомного размера; уменьшение ширины вдвое подняло бы уровень до $6$ эВ.

Почему энергия частицы в яме квантуется? Граничные условия $\psi(0) = \psi(L) = 0$ требуют, чтобы на ширине ямы укладывалось целое число полуволн. Только такие стоячие волны выживают, и каждой отвечает своё дискретное значение волнового числа, а значит и энергии. Непрерывного набора решений граничные условия не допускают.

Чем модель бесконечной ямы отличается от ямы конечной глубины? В бесконечной яме стенки непроницаемы, волновая функция строго обнуляется на границах, а уровней бесконечно много. В яме конечной глубины частица частично проникает в стенки, уровней конечное число, и формула $E_n = n^2 h^2/(8mL^2)$ даёт лишь приближённую оценку для нижних состояний.

Коротко

Частица в бесконечно глубокой потенциальной яме описывается стоячей волной $\psi_n(x) = \sqrt{2/L}\,\sin(n\pi x/L)$, обращающейся в нуль на стенках. Граничные условия квантуют энергию: разрешены только дискретные уровни $E_n = n^2\pi^2\hbar^2/(2mL^2) = n^2 h^2/(8mL^2)$, растущие как квадрат номера. Основной уровень не равен нулю - это энергия нулевых колебаний, следствие принципа неопределённости. Чем уже яма и легче частица, тем выше уровни, поэтому квантование заметно лишь на атомных масштабах.