Связь массы и энергии: формула E = mc² и расчёты

Связь массы и энергии - одно из самых неожиданных утверждений физики XX века: масса покоя тела это не «количество вещества», а запас энергии, записанный в других единицах. Переводной коэффициент между ними огромен, $c^2 \approx 9 \cdot 10^{16}$ м²/с², поэтому в быту превращение незаметно, а в ядерной физике оно определяет всё: энергию связи ядра, теплоту деления урана и светимость Солнца. Ниже разберём формулу $E = mc^2$, научимся считать дефект массы и энергию связи, а начать удобно с калькулятора: он показывает, какая доля массы реально уходит в энергию в разных процессах.

Калькулятор: сколько энергии прячется в массе

Выберите процесс и массу вещества. Калькулятор посчитает выделяющуюся энергию, массу, которая при этом исчезает, и переведёт результат в киловатт-часы и тонны тротилового эквивалента. Шкала графика логарифмическая, иначе четыре процесса просто не поместятся рядом: сжигание одного грамма бензина даёт 44 кДж, деление грамма урана-235 - уже $8{,}2 \cdot 10^{10}$ Дж, а полная аннигиляция грамма вещества - $9{,}0 \cdot 10^{13}$ Дж.

Формула E = mc²: энергия покоя и полная энергия

Основное соотношение специальной теории относительности связывает массу покоя $m$ и энергию покоя $E_0$:

Это половина более общей связи: вместе с релятивистским импульсом энергия входит в инвариант $E^2 - p^2c^2 = m^2c^4$, из которого формула ниже получается как частный случай покоящегося тела.

$E_0 = mc^2.$

Здесь $c = 2{,}998 \cdot 10^8$ м/с - скорость света в вакууме. Для движущегося тела к энергии покоя добавляется кинетическая часть, и полная энергия равна

$E = \gamma mc^2, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}},$

а разность $E - E_0 = (\gamma - 1)mc^2$ и есть релятивистская кинетическая энергия. Есть и инвариантное соотношение между полной энергией и импульсом, $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$, из которого для безмассовой частицы получается $E = pc$.

Численный масштаб стоит прочувствовать сразу. Один грамм любого вещества - вода, железо, бумага - несёт энергию покоя $mc^2 = 9{,}0 \cdot 10^{13}$ Дж. Это около 25 миллионов киловатт-часов или примерно 21 килотонна в тротиловом эквиваленте. Для электрона энергия покоя гораздо привычнее в других единицах: $m_ec^2 = 0{,}511$ МэВ, для протона - 938,3 МэВ.

Важно, что формула не говорит «масса превращается в энергию» в смысле исчезновения чего-то материального. Она говорит, что масса и энергия - две стороны одной величины: если система отдала энергию $\Delta E$, её масса покоя уменьшилась ровно на $\Delta m = \Delta E / c^2$. Верно и обратное: нагретый чайник тяжелее холодного, просто на $10^{-12}$ грамма.

Ещё одно следствие, которое часто упускают: масса не аддитивна. Масса связанной системы не равна сумме масс её частей, потому что в неё входит и энергия взаимодействия, делённая на $c^2$. Атом легче суммы масс ядра и электронов на энергию ионизации, ядро легче суммы масс нуклонов на энергию связи, а сжатая пружина тяжелее свободной на величину запасённой работы. Разница всюду одна и та же по смыслу, отличается только масштаб.

Дефект массы и энергия связи ядра

Самое наглядное проявление связи массы и энергии - дефект массы. Масса покоя ядра всегда меньше суммы масс свободных нуклонов, из которых оно составлено:

$\Delta m = Z m_p + (A - Z) m_n - m_{\text{я}}.$

Недостающая масса ушла в энергию, которая выделилась при сборке ядра. Эта энергия и называется энергией связи: $E_{\text{св}} = \Delta m \cdot c^2$. Чтобы разобрать ядро обратно на нуклоны, ровно столько же придётся вернуть.

Рассчитать для своей задачи

Посчитаем для гелия-4. Массы: $m_p = 1{,}00728$ а.е.м., $m_n = 1{,}00867$ а.е.м., масса ядра $m_{\text{я}} = 4{,}00151$ а.е.м. Тогда

$\Delta m = 2 \cdot 1{,}00728 + 2 \cdot 1{,}00867 - 4{,}00151 = 0{,}03038\ \text{а.е.м.}$

Переводим в энергию через 931,494 МэВ на а.е.м.:

$E_{\text{св}} = 0{,}03038 \cdot 931{,}494 \approx 28{,}3\ \text{МэВ},$

а удельная энергия связи, то есть энергия на один нуклон, равна $28{,}3/4 = 7{,}07$ МэВ. Потеря массы здесь - 0,75 % от массы системы: в миллионы раз больше, чем в любой химической реакции.

Кривая удельной энергии связи: откуда энергия деления и синтеза

Удельная энергия связи $\varepsilon = E_{\text{св}}/A$ по-разному ведёт себя для лёгких и тяжёлых ядер. Она быстро растёт от водорода к средним ядрам, достигает максимума около железа-56 и никеля-62 (8,8 МэВ на нуклон) и затем медленно спадает к урану.

Максимум кривой возникает из конкуренции двух сил. Ядерное притяжение короткодействующее и насыщается: каждый нуклон связан только с ближайшими соседями, поэтому вклад объёмного слагаемого на нуклон почти постоянен. Кулоновское же отталкивание протонов дальнодействующее и растёт быстрее числа частиц, примерно как $Z^2/A^{1/3}$. У лёгких ядер выигрывает первое, у тяжёлых начинает побеждать второе, а их равновесие и приходится на область железа.

Рассчитать для своей задачи

Отсюда следуют оба способа получить ядерную энергию. Тяжёлое ядро выгодно делить: осколки урана-235 сидят ближе к максимуму кривой, каждый нуклон выигрывает примерно 0,9 МэВ, а всего на одно деление приходится около 200 МэВ. Это соответствует дефекту массы 0,215 а.е.м. на акт деления, то есть 0,09 % массы исходного ядра. Подробный разбор с балансом масс есть в статье про энергетический выход ядерной реакции, а аналитическое описание самой кривой даёт формула Вайцзеккера.

Лёгкие ядра, наоборот, выгодно сливать. В реакции дейтерия с тритием выделяется 17,59 МэВ на пару ядер, а их суммарная масса всего 5,03 а.е.м., поэтому в энергию уходит 0,375 % массы - вчетверо больше, чем при делении. Именно так светит Солнце: превращая водород в гелий, оно теряет около 4,3 миллиона тонн массы каждую секунду.

Аннигиляция и рождение пар: масса уходит целиком

Предельный случай связи массы и энергии - аннигиляция. При встрече электрона и позитрона обе частицы исчезают, а вместо них рождаются два гамма-кванта по 0,511 МэВ каждый.

Рассчитать для своей задачи

Здесь в излучение переходит вся масса покоя пары, доля превращения равна единице. Работает и обратный процесс: гамма-квант с энергией не меньше $2m_ec^2 = 1{,}022$ МэВ может в поле ядра родить пару электрон-позитрон. Порог задан именно энергией покоя будущих частиц, и ни при какой меньшей энергии пара не появится. Кванты, в свою очередь, массы покоя не имеют, но энергию и импульс несут - об этом отдельный разбор про энергию, импульс и массу фотона.

Как считать: а.е.м., мегаэлектронвольты и джоули

Практически все задачи на связь массы и энергии решаются по одной схеме.

1. Выписать массы всех частиц до и после процесса в одних единицах (обычно а.е.м.).
2. Найти изменение массы $\Delta m$ как разность «было минус стало».
3. Умножить на переводной коэффициент: 1 а.е.м. соответствует 931,494 МэВ, или $1{,}492 \cdot 10^{-10}$ Дж; 1 МэВ равен $1{,}602 \cdot 10^{-13}$ Дж.
4. При необходимости перейти к макроскопическим величинам: умножить энергию одного акта на число частиц в образце, $N = \nu N_A$.

Пример проверки масштаба: в одном грамме урана-235 содержится $N = (1/235) \cdot 6{,}02 \cdot 10^{23} = 2{,}56 \cdot 10^{21}$ ядер. Умножая на 200 МэВ и переводя в джоули, получаем $8{,}2 \cdot 10^{10}$ Дж - те же 22 800 кВт·ч, что показывает калькулятор.

Частые ошибки

• Масса атома вместо массы ядра. В таблицах чаще приведены массы нейтральных атомов, в них включены электроны. Либо вычитайте $Z m_e$, либо последовательно работайте с массами атомов, взяв вместо протона массу атома водорода.
• Потеря множителя $c^2$. Дефект массы в а.е.м. не равен энергии в МэВ: коэффициент 931,494 МэВ на а.е.м. уже содержит $c^2$, и «ускорить» расчёт, выбросив его, нельзя.
• Смешение единиц. Массы в а.е.м., а скорость света в м/с в одной формуле не работают. Либо всё в СИ (килограммы, джоули), либо всё в ядерных единицах (а.е.м., МэВ).
• Удельная энергия вместо полной. Энергия связи ядра и энергия связи на нуклон отличаются в $A$ раз; сравнивать прочность ядер нужно по второй величине.
• «Растущая масса» быстрой частицы. Масса покоя - инвариант, она не меняется при разгоне. Растут полная и кинетическая энергии, а заодно и замедление времени для этой частицы.

FAQ

Почему при сжигании топлива масса тоже уменьшается, но этого никто не замечает? Уменьшается, просто на смехотворную величину. Сжигание грамма бензина даёт 44 кДж, значит, продукты реакции легче исходных веществ на $\Delta m = \dfrac{44\,000}{9 \cdot 10^{16}} \approx 5 \cdot 10^{-13}$ г. Ни одни весы такое не покажут, поэтому в химии закон сохранения массы работает с прекрасной точностью.

Применима ли формула $E = mc^2$ к фотону? В форме «энергия покоя» - нет: у фотона нет системы покоя и масса покоя равна нулю. Для него работает полное соотношение $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$, которое при $m = 0$ даёт $E = pc$. При этом система из двух разлетающихся фотонов уже имеет ненулевую массу покоя, равную суммарной энергии, делённой на $c^2$.

Почему ядерная энергия в миллионы раз больше химической? Потому что разная доля массы уходит в энергию. В химической связи энергия порядка электронвольта на атом, это $10^{-9}$ от энергии покоя. В ядерной - мегаэлектронвольты на нуклон, то есть около $10^{-3}$. Разница в шесть порядков и даёт привычное сравнение: один грамм урана заменяет несколько тонн угля. Сколько при этом урана нужно, чтобы реакция вообще пошла, определяет критическая масса.

Коротко

Связь массы и энергии выражается формулой $E_0 = mc^2$: масса покоя это запас энергии, а любое выделение энергии $\Delta E$ уменьшает массу системы на $\Delta E/c^2$. В ядрах эта потеря называется дефектом массы и даёт энергию связи $\Delta m \cdot c^2$ (для гелия-4 это 0,0304 а.е.м. и 28,3 МэВ, то есть 7,07 МэВ на нуклон). Форма кривой удельной энергии связи с максимумом у железа объясняет, почему энергию дают и деление тяжёлых ядер, и синтез лёгких, а аннигиляция переводит в излучение всю массу покоя без остатка. Считать удобнее всего в ядерных единицах, помня, что одна а.е.м. соответствует 931,494 МэВ.