Критическая масса: определение и от чего зависит

Критическая масса - одно из ключевых понятий ядерной физики, без которого не объяснить ни работу реактора, ни принцип ядерного оружия. На первый взгляд кажется, что речь о фиксированном числе килограммов для каждого вещества, но это не так: одна и та же порция делящегося материала может быть подкритической или сверхкритической в зависимости от плотности, формы и окружения. Ниже разберём строгое определение, физику цепной реакции за ним и факторы, меняющие критическую массу в разы. Если нужно быстро посчитать конкретный случай или разобрать задачу с цифрами - соберите условие в калькуляторе ниже.

Критическая масса: определение

Критическая масса - это минимальная масса делящегося вещества, при которой в нём становится возможной самоподдерживающаяся цепная реакция деления. В этом состоянии число нейтронов, рождающихся в одном поколении деления, в точности равно числу нейтронов в предыдущем поколении: реакция не затухает и не нарастает лавинообразно, а идёт стационарно.

Количественный критерий - эффективный коэффициент размножения нейтронов $k_{\text{эф}}$, равный отношению числа нейтронов в данном поколении к числу в предыдущем:

$$k_{\text{эф}} = \frac{N_{i+1}}{N_i}.$$

Через него и определяются три состояния системы:

• $k_{\text{эф}} < 1$ - подкритическое: каждое следующее поколение нейтронов малочисленнее предыдущего, реакция затухает.
• $k_{\text{эф}} = 1$ - критическое: реакция стационарна, мощность постоянна. Масса вещества в этот момент и есть критическая.
• $k_{\text{эф}} > 1$ - сверхкритическое: число нейтронов растёт от поколения к поколению, мощность лавинообразно нарастает.

Критическая масса - это не свойство атома, а свойство всей конфигурации: бруска, шара, окружения. Поэтому корректнее говорить «критическая масса данного образца в данных условиях».

Рассчитать для своей задачи

Физика за определением: баланс рождения и потерь нейтронов

Почему вообще существует пороговая масса? Дело в конкуренции двух процессов. Каждый акт деления ядра урана-235 или плутония-239 рождает в среднем $\nu \approx 2{,}4$–$2{,}9$ новых нейтрона. Чтобы реакция поддерживалась, хотя бы один из них должен вызвать новое деление. Но нейтрон может и пропасть: вылететь за границу образца наружу или поглотиться ядром без деления.

Ключевой механизм потерь - утечка нейтронов через поверхность. Число делений (источник нейтронов) пропорционально объёму $V \sim R^3$, а утечка - площади поверхности $S \sim R^2$. Их отношение:

$$\frac{S}{V} \sim \frac{R^2}{R^3} = \frac{1}{R}.$$

С ростом размера образца доля «теряемых» через поверхность нейтронов падает. У маленького кусочка поверхность велика относительно объёма - нейтроны убегают быстрее, чем успевают вызвать деления, и реакция глохнет. Начиная с некоторого радиуса рождение начинает перевешивать потери - это и есть критический размер, а соответствующая ему масса - критическая.

От чего зависит критическая масса

Раз дело в балансе, на критическую массу влияет всё, что меняет рождение или утечку нейтронов. Главные факторы:

• Вид делящегося вещества. Чем выше сечение деления и число нейтронов на акт деления $\nu$, тем меньше критическая масса. У плутония-239 она ниже, чем у урана-235.
• Степень обогащения. Природный уран содержит лишь 0,7% урана-235; остальное - уран-238, который быстрые нейтроны почти не делят, зато поглощает. Чем выше доля делящегося изотопа, тем меньше критическая масса.
• Плотность вещества. Сжатие резко снижает критическую массу (см. ниже).
• Форма образца. Шар критичен при наименьшей массе; вытянутые и плоские формы теряют больше нейтронов.
• Отражатель (рефлектор) нейтронов. Слой вещества вокруг ядра возвращает часть улетающих нейтронов обратно и снижает критическую массу.

Роль плотности: почему сжатие критично

Зависимость от плотности - самый неожиданный фактор. Длина свободного пробега нейтрона до взаимодействия обратно пропорциональна плотности $\rho$. Если сжать материал, пробеги укорачиваются, нейтрон чаще сталкивается с ядрами, и тот же объём «работает» эффективнее. Расчёт показывает, что критическая масса обратно пропорциональна квадрату плотности:

$$M_{\text{кр}} \sim \frac{1}{\rho^2}.$$

Это означает: сжав делящийся материал вдвое, можно снизить критическую массу примерно вчетверо. Именно на этом принципе работает имплозивная схема - равномерное обжатие подкритического шара взрывом так, что та же масса становится сверхкритической. Подробнее о том, как энергия деления связана с дефектом массы, - в материале про связь энергии и массы.

Рассчитать для своей задачи

Роль формы и отражателя

При фиксированном объёме шар имеет минимальную площадь поверхности, а значит минимальную утечку нейтронов. Поэтому шарообразная форма критична при наименьшей массе. Любое отклонение - диск, стержень, неровный кусок - увеличивает критическую массу: у такой формы относительно больше поверхности, через которую уходят нейтроны.

Отражатель работает с другой стороны баланса. Если окружить активную зону слоем материала с малым поглощением и хорошим рассеянием (бериллий, природный уран, вода, графит), часть вылетевших нейтронов рассеется обратно внутрь и снова сможет вызвать деление. Хороший отражатель снижает критическую массу в полтора-два раза. Этот же приём используют в реакторах: отражатель уменьшает требуемую загрузку топлива.

Типичные значения

Конкретные числа сильно зависят от условий, но для голой (без отражателя) сферы при нормальной плотности порядки величин такие:

• Уран-235 - около 47–52 кг (шар диаметром примерно 17 см).
• Плутоний-239 - около 10 кг (шар диаметром около 10 см).
• С хорошим отражателем обе величины падают примерно вдвое: для плутония-239 - до 5–6 кг.

Меньшая критическая масса плутония - следствие большего числа нейтронов на акт деления и более высокого сечения деления. Именно поэтому различение делящихся и сырьевых изотопов так важно: уран-238 или торий-232 сами по себе критической массы для быстрых нейтронов фактически не имеют.

Связь с цепной реакцией и реакторами

В реакторе систему намеренно держат у границы $k_{\text{эф}} = 1$, регулируя её стержнями-поглотителями: вдвигая стержни, увеличивают потери нейтронов и переводят систему в подкритику; выдвигая - приближают к критичности. Здесь критическая масса описывает не катастрофу, а рабочую точку, в которой мощность стабильна.

В реакторах на тепловых нейтронах добавляется замедлитель (вода, графит): он снижает энергию нейтронов до тепловых, у которых сечение деления урана-235 много выше. Это позволяет достичь критичности при гораздо меньшем обогащении, чем для быстрой системы. Поэтому «критическая масса» реактора и «критическая масса» голого металлического шара - величины из разных задач, хотя определение у них общее.

Частые ошибки

• Считать критическую массу константой вещества. Это не так: она меняется в разы от плотности, формы и отражателя. Табличное значение всегда привязано к конкретным условиям (обычно - голая сфера при нормальной плотности).
• Путать критическую массу с критическим размером. Это связанные, но разные величины: размер задаёт геометрию, масса - количество вещества. Сжатие уменьшает размер и массу, не меняя числа ядер.
• Думать, что уран-238 имеет критическую массу. Сырьевые изотопы (уран-238, торий-232) самоподдерживающуюся реакцию на быстрых нейтронах не дают - у них нет критической массы в обычном смысле.
• Игнорировать роль $\nu$ и сечения. Критическая масса определяется не только массой ядра, а тем, сколько нейтронов рождается и насколько вероятно деление.
• Считать, что при $k_{\text{эф}} = 1$ ничего не происходит. Происходит стационарная реакция с постоянной мощностью - это рабочий режим реактора, а не покой.

FAQ

Что такое критическая масса простыми словами? Это наименьшее количество делящегося вещества, при котором цепная реакция деления начинает сама себя поддерживать: каждое деление в среднем вызывает ровно одно следующее. Меньше этой массы реакция затухает, больше - лавинообразно нарастает.

От чего зависит критическая масса? От вида и обогащения вещества, его плотности, формы образца и наличия отражателя нейтронов. Сжатие снижает критическую массу как $1/\rho^2$, шарообразная форма и отражатель тоже её уменьшают.

Почему у плутония-239 критическая масса меньше, чем у урана-235? Плутоний-239 при делении выдаёт в среднем больше нейтронов на акт и имеет более высокое сечение деления быстрыми нейтронами. Баланс рождения и потерь складывается в его пользу при меньшей массе - около 10 кг против примерно 50 кг для урана-235.

Коротко

Критическая масса - это минимальная масса делящегося вещества, при которой возможна самоподдерживающаяся цепная реакция, то есть эффективный коэффициент размножения нейтронов $k_{\text{эф}} = 1$. Её существование вытекает из конкуренции рождения нейтронов (по объёму) и их утечки через поверхность (по площади). Величина не постоянна: она падает при росте плотности (как $1/\rho^2$), при шарообразной форме и при наличии отражателя, а также зависит от вида и обогащения вещества. Для голой сферы порядок значений - около 50 кг для урана-235 и около 10 кг для плутония-239; отражатель снижает их примерно вдвое.