Коэффициент размножения: цепная ядерная реакция

Цепная ядерная реакция - это самоподдерживающийся процесс деления ядер, в котором нейтроны, рождённые в одном акте деления, вызывают новые деления. Будет ли реакция нарастать, тлеть или гаснуть, определяет одно-единственное число - коэффициент размножения нейтронов $k$. Он показывает, во сколько раз число нейтронов в очередном поколении отличается от предыдущего, и именно по нему отличают подкритический режим от критического и надкритического. Ниже разберём, как устроен $k$, откуда берётся формула четырёх сомножителей, что такое реактивность и как число нейтронов растёт по поколениям. Чтобы сразу почувствовать связь сомножителей и режима реакции, покрути калькулятор ниже: он пересчитывает $k$, реактивность и цепочку поколений на лету, а дальше мы разберём каждую формулу строго.

Что такое коэффициент размножения нейтронов

Коэффициент размножения $k$ - это отношение числа нейтронов в данном поколении к числу нейтронов в предыдущем поколении:

$k = \frac{N_{n+1}}{N_n}.$

Под «поколением» понимают один полный цикл жизни нейтронов: рождение в делении, замедление, диффузия и поглощение, приводящее к новому делению. Если каждое поколение в среднем порождает ровно столько же нейтронов, сколько было, реакция идёт стационарно. Значение $k$ напрямую задаёт три качественно разных режима:

• $k < 1$ - подкритический: нейтронов с каждым поколением всё меньше, реакция затухает;
• $k = 1$ - критический: число нейтронов постоянно, реакция самоподдерживается на постоянной мощности;
• $k > 1$ - надкритический: нейтронов всё больше, реакция лавинообразно нарастает.

Различают коэффициент размножения для бесконечной среды $k_\infty$ (утечки нейтронов нет) и эффективный коэффициент $k_{eff}$ для реальной активной зоны конечного размера, где часть нейтронов уходит наружу.

Формула четырёх сомножителей

В тепловом реакторе путь нейтрона от рождения до нового деления разбивают на четыре этапа, и каждому сопоставляют свой множитель. Так получается формула четырёх сомножителей для бесконечной среды:

$k_\infty = \eta\,\varepsilon\,p\,f,$

где каждый сомножитель отвечает за свою долю выживших нейтронов:

• $\eta$ - выход нейтронов на захват: сколько быстрых нейтронов рождается в среднем на один нейтрон, поглощённый топливом;
• $\varepsilon$ - коэффициент размножения на быстрых нейтронах: небольшой довесок от делений ядер быстрыми нейтронами, обычно чуть больше единицы;
• $p$ - вероятность избежать резонансного захвата: доля нейтронов, которые замедлились до тепловых энергий, не застряв на резонансах урана-238;
• $f$ - коэффициент использования тепловых нейтронов: доля тепловых нейтронов, поглощённых именно топливом, а не замедлителем или конструкциями.

Рассчитать для своей задачи

Чтобы перейти к реальному реактору конечного размера, $k_\infty$ домножают на вероятность избежать утечки нейтронов $P$ (вероятность, что нейтрон не вылетит за пределы активной зоны):

$k_{eff} = k_\infty \cdot P = \eta\,\varepsilon\,p\,f\,P.$

Именно $k_{eff}$ и есть тот коэффициент размножения, по которому судят о критичности конкретной сборки. Сдвинь в калькуляторе любой из пяти ползунков - и видно, как меняется и итоговый $k$, и режим реакции: уменьшение $f$ или утечки $P$ быстро уводит систему в подкритику.

Реактивность и условие критичности

Удобно измерять не сам $k$, а его отклонение от единицы. Эту величину называют реактивностью:

$\rho = \frac{k - 1}{k}.$

Реактивность показывает, насколько система далека от критического состояния. При $k = 1$ реактивность $\rho = 0$ - это точка критичности. Положительная реактивность означает надкритический режим (мощность растёт), отрицательная - подкритический (мощность падает). Управление реактором - это, по сути, удержание $\rho$ около нуля: поглощающие стержни вводят отрицательную реактивность, их подъём - положительную.

Рассчитать для своей задачи

Условие критичности записывается предельно просто: $k_{eff} = 1$. Для самоподдерживающейся стационарной реакции нужно, чтобы из каждого деления ровно один нейтрон в среднем доживал до следующего деления. Все остальные нейтроны, рождённые в делении, либо поглощаются без деления, либо вылетают наружу. Поэтому критичность зависит и от состава топлива (через $\eta$, $p$, $f$), и от геометрии зоны (через $P$): один и тот же материал в маленьком объёме подкритичен из-за утечки, а в большом - критичен.

Рост числа нейтронов по поколениям

Раз каждое поколение умножает число нейтронов на $k$, то за $n$ поколений, начиная с $N_0$ нейтронов, получаем геометрический закон:

$N_n = N_0 \, k^{\,n}.$

Это самая наглядная формула цепной реакции. При $k = 1{,}05$ и $N_0 = 100$ нейтронов уже через 12 поколений их станет $100 \cdot 1{,}05^{12} \approx 180$, а при $k = 1{,}5$ за те же 12 поколений - почти 13 тысяч. Именно эта показательная зависимость и делает надкритический режим взрывоопасным, а критический - управляемым.

Рассчитать для своей задачи

Если ввести время жизни одного поколения нейтронов $\tau$, то закон по поколениям превращается в закон по времени: $N(t) = N_0\,e^{(k-1)\,t/\tau}$, а характерное время изменения мощности (период разгона реактора) равно $T = \tau/(k-1)$. Чем ближе $k$ к единице, тем медленнее меняется мощность и тем легче управлять реакцией - поэтому реакторы держат вблизи критичности, а не глубоко в надкритике.

Частые ошибки

• Путаница между $k_\infty$ и $k_{eff}$. В формулу четырёх сомножителей утечка не входит - это коэффициент для бесконечной среды. Для реальной зоны обязательно домножайте на $P$, иначе переоцените критичность.
• Сравнение $k$ не с единицей. Граница режимов - ровно $k = 1$, а не «больше или меньше нуля». Подкритично уже при $k = 0{,}99$, а не только при очень малых $k$.
• Знак реактивности. При $k < 1$ реактивность $\rho$ отрицательна. Если в задаче получилось $\rho > 0$ при затухающей реакции, перепутаны числитель и знаменатель.
• Степень вместо умножения. За $n$ поколений число нейтронов умножается на $k^n$, а не на $k \cdot n$. Линейная подстановка занижает рост в разы.
• Сомножители больше единицы. Только $\eta$ и $\varepsilon$ могут превышать единицу; $p$, $f$ и $P$ - всегда доли, строго меньше единицы. Значение $f = 1{,}2$ - явный признак ошибки.

FAQ

Чему равен коэффициент размножения в работающем реакторе? В стационарно работающем реакторе $k_{eff} = 1$ с очень высокой точностью: мощность постоянна, значит каждое поколение нейтронов в точности воспроизводит предыдущее. Отклонения на доли процента компенсируются движением управляющих стержней.

Чем отличается коэффициент размножения от реактивности? Это две формы одной информации. Коэффициент $k$ - отношение чисел нейтронов в соседних поколениях, реактивность $\rho = (k-1)/k$ - его отклонение от критичности. Реактивностью удобнее пользоваться, потому что у критического состояния она равна нулю, а знак сразу показывает, растёт мощность или падает.

Почему маленький кусок урана не взрывается, а большой может? Из-за утечки нейтронов. В малом объёме вероятность избежать утечки $P$ низкая, поэтому $k_{eff} < 1$ и реакция гаснет. С ростом размеров утечка падает, $P$ растёт, и при некоторой критической массе $k_{eff}$ достигает единицы - реакция становится самоподдерживающейся.

Коротко

Коэффициент размножения нейтронов $k$ - это отношение числа нейтронов в соседних поколениях; он задаёт режим цепной реакции: $k < 1$ - затухание, $k = 1$ - стационар, $k > 1$ - нарастание. Для бесконечной среды его считают по формуле четырёх сомножителей $k_\infty = \eta\,\varepsilon\,p\,f$, а для реальной зоны домножают на вероятность избежать утечки: $k_{eff} = k_\infty P$. Отклонение от критичности измеряют реактивностью $\rho = (k-1)/k$, а число нейтронов растёт по поколениям как $N_n = N_0\,k^n$.