Магические числа в ядре: оболочечная модель

Магические числа в ядре - это числа протонов или нейтронов 2, 8, 20, 28, 50, 82 и 126, при которых атомное ядро оказывается заметно прочнее, чем у соседей по таблице нуклидов. Ядра с магическим числом нуклонов имеют повышенную энергию связи, большую энергию отделения последнего нуклона, аномально низкую вероятность захвата нейтронов и часто сферическую форму. Эта закономерность не выводится из капельной модели, где нуклоны размазаны по «капле» однородно; она требует представления о дискретных энергетических уровнях - ядерных оболочках. Ниже разберём, что такое магические числа в ядре, как их предсказывает оболочечная модель, какую роль играет спин-орбитальное взаимодействие, что такое дважды магические ядра и где модель перестаёт работать.

Что такое магические числа и как их заметили

Магические числа в ядре проявляются как набор «экспериментальных аномалий», которые долго не складывались в единую картину. Если построить разность между реальной энергией связи и предсказанием полуэмпирической формулы Вайцзеккера для энергии связи, то у ядер с числом протонов $Z$ или нейтронов $N$, равным одному из магических, появляется устойчивый «горб» избыточной устойчивости. К таким признакам относятся:

• повышенная энергия отделения нуклона $S_n$ и $S_p$ у магических ядер и её резкий спад сразу после магического числа;
• большое число стабильных изотопов и изотонов для магических $Z$ и $N$;
• аномально малое сечение захвата нейтрона (магическое ядро «не хочет» принимать ещё один нуклон);
• повышенная энергия первого возбуждённого состояния $2^+$ у чётно-чётных магических ядер.

Чтобы быстро прикинуть, является ли конкретное ядро магическим, дважды магическим или просто соседним, удобно сразу проверить его на калькуляторе ниже.

Аналогия с электронными оболочками атома

Идея магических чисел в ядре прямо повторяет логику периодической таблицы. У атомов есть «магические» числа электронов - 2, 10, 18, 36, 54, 86, отвечающие благородным газам: заполненная электронная оболочка делает атом химически инертным и энергетически выгодным. По аналогии напрашивается мысль, что и нуклоны в ядре занимают дискретные уровни, и заполнение очередной ядерной оболочки даёт скачок устойчивости.

Разница в том, что электроны движутся в кулоновском поле ядра - внешнем центре, тогда как в ядре нет выделенного центра: нуклоны создают усреднённый потенциал сами. Поэтому первое приближение оболочечной модели - это движение каждого нуклона в самосогласованном среднем поле, которое грубо аппроксимируют потенциалом гармонического осциллятора или прямоугольной ямой со сглаженным краем (потенциал Вудса–Саксона).

Оболочечная модель: уровни в среднем поле

В оболочечной модели ядра одиночный нуклон движется в центральном потенциале $V(r)$. Для трёхмерного гармонического осциллятора уровни энергии равны

$E_N = \hbar\omega\left(N + \tfrac{3}{2}\right), \qquad N = 2(n-1) + \ell,$

где $N$ - главное осцилляторное число, $n$ - радиальное квантовое число, $\ell$ - орбитальный момент. Каждый уровень вырожден, и с учётом двух проекций спина число нуклонов одного сорта на заполненной оболочке даёт последовательность $2, 8, 20, 40, 70, \dots$

Первые три значения - 2, 8, 20 - совпадают с экспериментальными магическими числами. А вот дальше согласие ломается: модель предсказывает 40 и 70, тогда как опыт даёт 28, 50, 82, 126. Чистый осциллятор (как и прямоугольная яма) не воспроизводит магические числа выше 20. Эта нестыковка почти десять лет оставалась загадкой и была решена только введением дополнительного взаимодействия.

Спин-орбитальное взаимодействие - ключ к разгадке

Прорыв сделали в 1949 году Мария Гёпперт-Майер и независимо Йоханнес Йенсен с соавторами (Нобелевская премия 1963 года). Они добавили в потенциал сильное спин-орбитальное взаимодействие - связь спина нуклона $\mathbf{s}$ с его орбитальным моментом $\mathbf{l}$:

$V_{ls}(r)\,(\mathbf{l}\cdot\mathbf{s}).$

В отличие от атомного случая, ядерное спин-орбитальное взаимодействие огромно и имеет знак, при котором состояние с $j = \ell + \tfrac12$ опускается по энергии ниже состояния с $j = \ell - \tfrac12$. Среднее значение оператора находится из тождества

$\langle \mathbf{l}\cdot\mathbf{s}\rangle = \tfrac{1}{2}\big[j(j+1) - \ell(\ell+1) - s(s+1)\big]\hbar^2.$

Расщепление уровня тем сильнее, чем больше $\ell$. В результате нижние подуровни с большим $j$ опускаются настолько глубоко, что «проваливаются» в нижележащую оболочку, перестраивая всю последовательность заполнения. Именно это и порождает наблюдаемые магические числа.

Как получаются 28, 50, 82, 126

Перестройка уровней спин-орбитальным взаимодействием даёт следующую картину заполнения (в спектроскопической нотации $n\ell_j$):

• $1s_{1/2}$ → накапливается 2 нуклона → магическое 2;
• $+\,1p_{3/2}, 1p_{1/2}$ → суммарно 8 → магическое 8;
• $+\,1d, 2s$ → 20 → магическое 20;
• опущенный вниз уровень $1f_{7/2}$ добавляет 8 нуклонов → 28 → магическое 28;
• далее набирается до 50, затем 82 и для нейтронов 126.

Появление 28 - прямое следствие того, что подуровень $1f_{7/2}$ вмещает $2j+1 = 8$ нуклонов и отделён от соседей большой щелью. Числа 50, 82, 126 возникают аналогично, когда «нырнувшие» вниз состояния $1g_{9/2}$, $1h_{11/2}$, $1i_{13/2}$ замыкают свои оболочки. Так оболочечная модель с спин-орбитальным членом полностью воспроизводит весь набор магических чисел в ядре - в отличие от капельной модели ядра Бора, которая трактует ядро как однородную каплю и в принципе не содержит понятия оболочки.

Дважды магические ядра

Если магическими оказываются одновременно и число протонов $Z$, и число нейтронов $N$, ядро называют дважды магическим. У него замкнуты обе оболочки, поэтому оно особенно стабильно и сферически-симметрично. Классические примеры:

• $^{4}_{2}\mathrm{He}$ ($Z=2$, $N=2$) - альфа-частица, исключительно прочная;
• $^{16}_{8}\mathrm{O}$ ($Z=8$, $N=8$);
• $^{40}_{20}\mathrm{Ca}$ ($Z=20$, $N=20$) и $^{48}_{20}\mathrm{Ca}$ ($Z=20$, $N=28$);
• $^{208}_{82}\mathrm{Pb}$ ($Z=82$, $N=126$) - самое тяжёлое стабильное дважды магическое ядро.

Дважды магические ядра служат «реперами» ядерной физики: относительно них считают энергии возбуждения соседних ядер, а гипотетический «остров стабильности» сверхтяжёлых элементов ожидается вблизи следующего дважды магического ядра (предположительно $Z=114$ или $126$ и $N=184$).

Где оболочечная модель не работает

Магические числа - не абсолютный закон. Вдали от долины стабильности, у ядер с большим избытком нейтронов, привычные щели размываются, а на их месте появляются новые. Так, для нейтронно-избыточных ядер обнаружено исчезновение магического числа 20 и 28 и появление новых магических чисел 16 и 32. Это область «островов инверсии», где деформация и взаимодействие между нуклонами перестраивают уровни. Оболочечная модель в чистом виде описывает в основном ядра вблизи замкнутых оболочек; для деформированных ядер нужны коллективные модели (модель Нильссона, ротационные и вибрационные спектры).

Частые ошибки

• Путают магические числа нуклонов с массовым числом. Магическим должно быть число протонов $Z$ или нейтронов $N$ по отдельности, а не их сумма $A = Z + N$.
• Считают, что осцилляторная модель сама даёт все магические числа. Без спин-орбитального члена воспроизводятся только 2, 8, 20; числа 28, 50, 82, 126 требуют сильного $\mathbf{l}\cdot\mathbf{s}$-взаимодействия.
• Переносят знак атомного спин-орбитального расщепления на ядро. В ядре уровень $j=\ell+\tfrac12$ лежит ниже, а величина расщепления на порядки больше атомной.
• Называют любое прочное ядро дважды магическим. Дважды магическое - только при одновременной магичности и $Z$, и $N$ (например, $^{208}$Pb), а не просто при высокой энергии связи.
• Считают магические числа универсальными. Вдали от стабильности они меняются: 20 и 28 могут исчезать, появляются 16 и 32.

FAQ

Какие числа считаются магическими? Канонический набор для устойчивых ядер: 2, 8, 20, 28, 50, 82 и 126 (последнее надёжно подтверждено пока только для нейтронов). Иногда к ним добавляют «полумагическое» 40.

Чем дважды магическое ядро отличается от обычного магического? У магического замкнута одна оболочка (по протонам либо по нейтронам), у дважды магического - обе сразу, поэтому оно ещё устойчивее и строго сферично. Пример - $^{208}_{82}\mathrm{Pb}$.

Почему капельная модель не объясняет магические числа? Капельная модель рассматривает ядро как однородную заряженную жидкость и не содержит дискретных уровней. Магические числа - чисто квантовый оболочечный эффект, который виден лишь как отклонение от гладкой формулы Вайцзеккера.

Коротко

Магические числа в ядре (2, 8, 20, 28, 50, 82, 126) отмечают замкнутые ядерные оболочки, при которых ядро особенно устойчиво. Их объясняет оболочечная модель: нуклоны заполняют дискретные уровни в среднем поле, а сильное спин-орбитальное взаимодействие перестраивает уровни так, что воспроизводятся именно эти числа. Ядра, магические одновременно по $Z$ и $N$, называют дважды магическими ($^{4}$He, $^{16}$O, $^{40}$Ca, $^{208}$Pb) - они служат опорными точками ядерной физики, хотя вдали от стабильности сам набор магических чисел может меняться.