Формула Вайцзеккера для энергии связи: разбор

Формула Вайцзеккера для энергии связи - это полуэмпирическая формула масс, которая по числу протонов $Z$ и числу нейтронов $N$ оценивает полную энергию связи атомного ядра, не решая квантовую задачу многих тел. Её предложил Карл Фридрих фон Вайцзеккер в 1935 году, опираясь на капельную модель ядра Бора: ядро рассматривается как капля несжимаемой заряженной ядерной жидкости. Формула удивительно точна - для большинства ядер она воспроизводит энергию связи с погрешностью менее процента, и при этом её слагаемые имеют прозрачный физический смысл. Ниже разберём каждый из пяти членов, типичные значения коэффициентов, как из энергии связи получить удельную энергию связи и где формула перестаёт работать.

Что такое энергия связи ядра

Энергия связи $E_{св}$ - это энергия, которую нужно затратить, чтобы разделить ядро на отдельные свободные нуклоны. Эквивалентно, это та энергия, что выделяется при сборке ядра из протонов и нейтронов. Она напрямую связана с дефектом массы: масса ядра всегда меньше суммы масс составляющих его нуклонов, и разница, умноженная на $c^2$, и есть энергия связи:

$E_{св} = \left(Z\, m_p + N\, m_n - M_{яд}\right) c^2$

где $m_p$ и $m_n$ - массы протона и нейтрона, $M_{яд}$ - масса ядра. Именно эту величину и предсказывает формула Вайцзеккера. Поскольку она одновременно даёт и массу ядра (через дефект массы), её также называют полуэмпирической формулой масс (semi-empirical mass formula, SEMF). Прежде чем разбирать слагаемые по отдельности, удобно подставить конкретное ядро и сразу увидеть вклад каждого члена - для этого ниже есть калькулятор.

Общий вид формулы Вайцзеккера

Полная энергия связи записывается как сумма пяти вкладов:

$E_{св}(A, Z) = a_V A - a_S A^{2/3} - a_C \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}} - a_A \frac{(A-2Z)^2}{A} + \delta(A, Z)$

Здесь $A = Z + N$ - массовое число. Первые два члена описывают саму ядерную жидкость, третий - электростатику, четвёртый - квантовый эффект асимметрии, пятый - спаривание нуклонов. Знаки выбраны так, что объёмный член увеличивает связь, а поверхностный, кулоновский и асимметрийный её уменьшают. Разберём каждый.

Объёмное и поверхностное слагаемые

Объёмный член $a_V A$ отражает главное свойство ядерных сил - их короткодействие и насыщение. Каждый нуклон взаимодействует только с ближайшими соседями, поэтому полная энергия притяжения пропорциональна числу нуклонов $A$, то есть объёму капли (ядро практически несжимаемо, его объём $\propto A$). Это самый большой положительный вклад, $a_V \approx 15{,}8$ МэВ на нуклон.

Поверхностный член $-a_S A^{2/3}$ - поправка к объёмному. Нуклоны на поверхности капли имеют меньше соседей, чем внутри, и связаны слабее. Число поверхностных нуклонов пропорционально площади поверхности, а та $\propto R^2 \propto A^{2/3}$ (радиус ядра $R = r_0 A^{1/3}$). Поверхностная энергия снижает связь, особенно заметно у лёгких ядер, где доля поверхностных нуклонов велика. Коэффициент $a_S \approx 18{,}3$ МэВ. Вместе объёмный и поверхностный члены - прямое следствие капельной модели, той же, что описывает спонтанное деление ядра урана через конкуренцию поверхностного натяжения и кулоновского отталкивания.

Кулоновское слагаемое

Кулоновский член $-a_C \dfrac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}$ учитывает электростатическое отталкивание протонов. Энергия равномерно заряженного шара заряда $Ze$ и радиуса $R$ пропорциональна $Z^2 / R \propto Z^2 / A^{1/3}$; множитель $Z(Z-1)$ вместо $Z^2$ исключает «самодействие» каждого протона с самим собой. Этот член быстро растёт с числом протонов и именно он делает тяжёлые ядра менее устойчивыми: при больших $Z$ кулоновское отталкивание начинает перевешивать ядерное притяжение. Коэффициент $a_C \approx 0{,}71$ МэВ.

Слагаемое асимметрии

Член асимметрии $-a_A \dfrac{(A-2Z)^2}{A}$ - чисто квантовый эффект, не имеющий классического аналога в капле. Поскольку $A - 2Z = N - Z$, числитель равен $(N-Z)^2$. Протоны и нейтроны заполняют свои уровни в ядре по принципу Паули. Если число протонов и нейтронов равно ($N = Z$), уровни заполняются максимально эффективно, и энергия минимальна. Любой перекос увеличивает энергию (уменьшает связь), причём квадратично. Поэтому лёгкие стабильные ядра тяготеют к $N \approx Z$. Коэффициент $a_A \approx 23{,}2$ МэВ. У тяжёлых ядер этот член конкурирует с кулоновским: чтобы снизить кулоновскую энергию, выгоден избыток нейтронов, но за это приходится «платить» энергией асимметрии - баланс и задаёт оптимальное $Z$ при данном $A$.

Слагаемое спаривания

Член спаривания $\delta(A, Z)$ учитывает, что нуклоны охотнее объединяются в пары с противоположными спинами. Он принимает три значения:

$\delta = \begin{cases} +a_P A^{-1/2}, & \text{чётно-чётные ядра } (Z, N \text{ чётны}) \\ 0, & \text{нечётные } A \\ -a_P A^{-1/2}, & \text{нечётно-нечётные ядра} \end{cases}$

Чётно-чётные ядра (оба числа чётные) дополнительно устойчивы - поэтому в природе их большинство. Нечётно-нечётных стабильных ядер всего четыре. Коэффициент $a_P \approx 12$ МэВ. Этот член объясняет «зубчатую» картину энергий связи при движении по изобарам.

Удельная энергия связи

Практический смысл формулы лучше всего виден через удельную энергию связи - энергию связи на один нуклон:

$\varepsilon = \frac{E_{св}}{A}$

Эта величина растёт от лёгких ядер, достигает максимума около $8{,}8$ МэВ/нуклон в районе железа и никеля ($A \approx 56$–$62$), а затем медленно падает. Именно форма этой кривой объясняет энергетику ядерных реакций: слияние лёгких ядер (синтез) и деление тяжёлых движутся к максимуму и потому выделяют энергию. Формула Вайцзеккера воспроизводит эту кривую почти точно, а отклонения от неё указывают на тонкую структуру - магические числа.

Частые ошибки

• Путают полную и удельную энергию связи. Формула даёт полную $E_{св}$; чтобы получить $\varepsilon$, нужно разделить на $A$. Максимум удельной энергии - у железа, а максимум полной - у тяжёлых ядер.
• Используют $Z^2$ вместо $Z(Z-1)$ в кулоновском члене. Для тяжёлых ядер разница невелика, но для лёгких заметна - корректнее именно $Z(Z-1)$.
• Берут $(N-Z)$ вместо $(A-2Z)$ или забывают квадрат. Член асимметрии пропорционален именно квадрату разности, делённому на $A$.
• Забывают знак члена спаривания. Для нечётно-нечётных ядер $\delta$ отрицателен и связь уменьшается, для чётно-чётных - положителен.
• Ждут точности на магических числах. Формула гладкая и не воспроизводит скачки устойчивости при $Z$ или $N$ равных $2, 8, 20, 28, 50, 82, 126$ - это область оболочечной модели.

FAQ

Почему формула называется полуэмпирической? Структура слагаемых выведена из физических соображений (капельная модель, принцип Паули), а числовые коэффициенты $a_V, a_S, a_C, a_A, a_P$ подбираются подгонкой под экспериментальные массы ядер. Отсюда «полу-» - наполовину теория, наполовину эксперимент.

Чему равны коэффициенты формулы? Один из распространённых наборов (МэВ): $a_V \approx 15{,}8$, $a_S \approx 18{,}3$, $a_C \approx 0{,}71$, $a_A \approx 23{,}2$, $a_P \approx 12$. Значения немного различаются в разных учебниках в зависимости от выборки ядер при подгонке.

Где формула Вайцзеккера неприменима? Для очень лёгких ядер ($A < 20$), вблизи магических чисел и для экзотических ядер с большим избытком нейтронов или протонов. Там доминируют оболочечные эффекты, которые гладкая капельная формула описать не может.

Коротко

Формула Вайцзеккера - полуэмпирическая формула масс, оценивающая энергию связи ядра как сумму пяти членов капельной модели: объёмного $a_V A$, поверхностного $a_S A^{2/3}$, кулоновского $a_C Z(Z-1)/A^{1/3}$, асимметрии $a_A (A-2Z)^2/A$ и спаривания $\delta$. Каждый отражает конкретную физику - насыщение ядерных сил, поверхностное натяжение, отталкивание протонов, принцип Паули и спаривание нуклонов. Разделив результат на $A$, получают удельную энергию связи с максимумом у железа, что и объясняет энергетику синтеза и деления.