Как найти работу адиабатного процесса: решение

Дано: идеальный газ азот, $\nu = 2$ моль, молекула двухатомная, показатель адиабаты $\gamma = 1{,}4$. Процесс адиабатный, теплообмена нет: $Q = 0$. Начальная температура $T_1 = 400$ К, объём растёт с $V_1 = 5$ л до $V_2 = 15$ л. Найти: работу газа $A$, конечную температуру $T_2$ и конечное давление $p_2$.

Адиабатная работа считается двумя эквивалентными способами: через убыль внутренней энергии $A = -\Delta U = \nu C_V (T_1 - T_2)$ или сразу через параметры состояний, $A = (p_1 V_1 - p_2 V_2) / (\gamma - 1)$. Второй способ и есть рабочая формула этой задачи. Ответ: $A \approx 5913$ Дж, то есть около $5{,}91$ кДж; $T_2 \approx 258$ К; $p_2 \approx 286$ кПа.

Калькулятор сверху пересчитывает всё это под любые свои числа и рисует адиабату рядом с изотермой из той же начальной точки: закрашенная площадь под адиабатой и есть искомая работа, и видно, что она заметно меньше изотермической. Ниже тот же ответ получен вручную.

Решение по шагам

Дано.

Найти: $A$, $T_2$, $p_2$.

Шаг 1. Смотрим, что даёт условие адиабатности. Адиабатный процесс идёт без теплообмена с окружением, поэтому в законе сохранения энергии для газа обращается в ноль именно теплота:

$$0 = \Delta U + A \quad \Longrightarrow \quad A = -\Delta U.$$

Это главный шаг всей задачи. Газ расширяется не за счёт подведённого тепла, а за счёт собственной внутренней энергии, поэтому он неизбежно остывает. Сам закон разобран отдельно в задаче про первое начало термодинамики, здесь мы им просто пользуемся.

Шаг 2. Берём показатель адиабаты. У двухатомной молекулы азота пять степеней свободы, отсюда молярные теплоёмкости и их отношение:

$$C_V = \frac{i}{2}R = \frac{5}{2} \cdot 8{,}314 = 20{,}785\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}, \qquad \gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{i + 2}{i} = \frac{7}{5} = 1{,}4.$$

Показатель адиабаты зависит только от типа молекулы: $1{,}67$ у одноатомных газов, $1{,}4$ у двухатомных, $1{,}33$ у многоатомных. Подробный расчёт теплоёмкостей с удельными значениями есть в разборе как найти теплоёмкость газа.

Шаг 3. Находим конечную температуру по уравнению Пуассона. Для адиабаты постоянна комбинация $T V^{\gamma - 1}$, значит

$$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma - 1} = 400 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^{0{,}4} \approx 400 \cdot 0{,}6444 \approx 257{,}8\ \text{К}.$$

Газ остыл на $142$ К, просто раздвинув поршень. Никакого холодильника рядом нет: энергия ушла на работу.

Шаг 4. Считаем работу через убыль внутренней энергии. Подставляем найденную температуру:

$$\begin{aligned} A = -\Delta U &= \nu C_V (T_1 - T_2) \\ &= 2 \cdot 20{,}785 \cdot (400 - 257{,}8) \\ &= 41{,}57 \cdot 142{,}24 \approx 5913\ \text{Дж}. \end{aligned}$$

Шаг 5. Проверяем тем же ответом через разность $pV$. Произведения $pV$ в обоих состояниях равны $\nu R T$, считать давления для этого не обязательно:

$$\begin{aligned} p_1 V_1 &= \nu R T_1 = 2 \cdot 8{,}314 \cdot 400 = 6651{,}2\ \text{Дж}, \\ p_2 V_2 &= \nu R T_2 = 2 \cdot 8{,}314 \cdot 257{,}8 \approx 4286{,}0\ \text{Дж}, \\ A &= \frac{p_1 V_1 - p_2 V_2}{\gamma - 1} = \frac{6651{,}2 - 4286{,}0}{0{,}4} = \frac{2365{,}2}{0{,}4} \approx 5913\ \text{Дж}. \end{aligned}$$

Две формулы дали одно число - арифметика сошлась.

Шаг 6. Достаём давления. Из уравнения состояния для каждой точки:

$$p_1 = \frac{\nu R T_1}{V_1} = \frac{6651{,}2}{5 \cdot 10^{-3}} \approx 1{,}33 \cdot 10^{6}\ \text{Па} = 1330\ \text{кПа}, \qquad p_2 = \frac{\nu R T_2}{V_2} = \frac{4286{,}0}{15 \cdot 10^{-3}} \approx 286\ \text{кПа}.$$

Контроль по второй форме уравнения Пуассона: $p_2 = p_1 (V_1 / V_2)^{\gamma} = 1330 \cdot 3^{-1{,}4} \approx 1330 \cdot 0{,}2148 \approx 286$ кПа. Совпало.

Ответ: $A \approx 5913$ Дж $\approx 5{,}91$ кДж, $T_2 \approx 258$ К, $p_2 \approx 286$ кПа, $\Delta U \approx -5{,}91$ кДж, $Q = 0$.

Формула работы адиабаты и откуда она берётся

Начало - общее определение: работа газа есть интеграл давления по объёму, то есть площадь под кривой процесса на диаграмме $p$–$V$. На адиабате давление подчиняется уравнению Пуассона $p V^{\gamma} = \text{const} = p_1 V_1^{\gamma}$, поэтому под интегралом стоит степенная функция, а не гипербола:

$$A = \int_{V_1}^{V_2} p \, dV = p_1 V_1^{\gamma} \int_{V_1}^{V_2} \frac{dV}{V^{\gamma}} = \frac{p_1 V_1^{\gamma}}{\gamma - 1} \left( \frac{1}{V_1^{\gamma - 1}} - \frac{1}{V_2^{\gamma - 1}} \right).$$

Раскрыв скобку и вспомнив, что $p_1 V_1^{\gamma} / V_2^{\gamma - 1} = p_2 V_2$, получаем ту самую рабочую формулу

$$A = \frac{p_1 V_1 - p_2 V_2}{\gamma - 1} = \frac{\nu R (T_1 - T_2)}{\gamma - 1} = \nu C_V (T_1 - T_2).$$

Последние два равенства объясняют, почему энергетический путь и путь через параметры состояния дают одно и то же: знаменатель $\gamma - 1$ равен $R / C_V$, и деление на него превращает газовую постоянную в изохорную теплоёмкость. Выбирать форму нужно по данным условия. Если известны обе температуры, короче всего $\nu C_V (T_1 - T_2)$. Если даны давления и объёмы, а количество вещества не спрашивали, удобнее $(p_1 V_1 - p_2 V_2) / (\gamma - 1)$.

Есть и третья форма, когда второе состояние вообще не задано, а известно только отношение объёмов:

$$A = \frac{p_1 V_1}{\gamma - 1} \left[ 1 - \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma - 1} \right] = \frac{6651{,}2}{0{,}4} \cdot (1 - 0{,}6444) \approx 5913\ \text{Дж}.$$

Она же удобнее всего для прикидки: множитель в квадратных скобках показывает, какую долю запаса $p_1 V_1 / (\gamma - 1)$ газ успевает отдать. Здесь это $35{,}6$ процента.

Адиабата против изотермы: почему работа меньше

Сравнение с изотермой - самая быстрая проверка правдоподобия ответа. Возьмём тот же газ, ту же начальную точку и то же расширение от 5 л до 15 л, но при постоянной температуре 400 К:

$$A_{\text{изот}} = \nu R T_1 \ln \frac{V_2}{V_1} = 6651{,}2 \cdot \ln 3 \approx 7307\ \text{Дж}.$$

Адиабатная работа составила $5913$ Дж - это $81$ процент от изотермической. Причина физическая, а не арифметическая: на изотерме термостат всё время подкачивает теплоту и держит давление высоким, а на адиабате газ остывает, давление падает быстрее, и площадь под кривой выходит меньше. Отсюда и геометрия графика в калькуляторе сверху: адиабата выходит из общей точки 1 и идёт ниже изотермы.

Пошаговый расчёт первой строки таблицы - в разборе работы изотермического процесса, третьей - в статье про изобарный процесс. На чередовании изотерм и адиабат построен цикл Карно, а на адиабатном сжатии - воспламенение в цикле Дизеля, где температура поднимается настолько, что топливо загорается без свечи.

Если дана масса газа или идёт сжатие

Метод не меняется, меняется одно действие перед основной формулой.

Дана масса. Количество вещества находится как $\nu = m / M$. Кислород массой 64 г при $M = 32$ г/моль даёт $\nu = 2$ моль, и поскольку кислород тоже двухатомный, ответ полностью совпадёт с разобранным: $A \approx 5913$ Дж. В калькуляторе сверху для этого есть переключатель типа молекулы, он меняет $\gamma$ и $C_V$ одновременно.

Адиабатное сжатие. Знак получается сам, формулу переписывать не надо. Сожмём тот же азот обратно, с 15 л до 5 л от температуры 257,8 К. Тогда $T_2 = 257{,}8 \cdot 3^{0{,}4} \approx 400$ К, и работа газа

$$A = \nu C_V (T_1 - T_2) = 41{,}57 \cdot (257{,}8 - 400) \approx -5913\ \text{Дж}.$$

Минус означает, что работу совершают внешние силы: $A_{\text{внеш}} = -A \approx +5913$ Дж, и вся она ушла в нагрев газа, потому что отводить теплоту некуда. Именно так разогревается воздух в велосипедном насосе.

Одноатомный газ. У гелия $\gamma = 1{,}67$ и $C_V = 1{,}5R$. При тех же исходных данных он остынет сильнее, до $T_2 \approx 192$ К, но работа выйдет меньше, около $5180$ Дж: большой показатель адиабаты роняет давление круче, и площадь под кривой сжимается. Чем сложнее молекула, тем ближе адиабата к изотерме.

Частые ошибки

• Считают работу как $\nu R T \ln (V_2 / V_1)$. Это изотерма. На адиабате температура не постоянна, логарифмической формулы здесь нет вовсе, а ответ получится завышенным примерно на четверть.
• Путают, что равно нулю. В адиабатном процессе ноль - это $Q$, а не $\Delta U$. В изотермическом наоборот. Перепутанное условие сразу даёт $A = 0$ и тупик.
• Берут $\gamma - 1$ как $\gamma$. Знаменатель рабочей формулы равен $0{,}4$ для двухатомного газа, а не $1{,}4$: разница в ответе в три с половиной раза.
• Возводят в степень $\gamma$ вместо $\gamma - 1$. В уравнении для температур стоит показатель $\gamma - 1$, а в уравнении для давлений - $\gamma$. Смешивать их нельзя: $3^{0{,}4}$ и $3^{1{,}4}$ отличаются втрое.
• Забывают перевести литры в кубометры в формуле с давлениями. Форма $(p_1 V_1 - p_2 V_2) / (\gamma - 1)$ даёт джоули только при паскалях и кубометрах. В форме через температуры единицы объёма сокращаются и перевод не нужен.
• Приписывают адиабате постоянное давление. При расширении давление падает сильнее, чем на изотерме, и подстановка среднего $p$ в $p \, \Delta V$ даёт грубо неверный результат.

FAQ

Чему равна теплота в адиабатном процессе? Нулю по определению: адиабатным называют процесс без теплообмена с окружением. Практически это либо очень быстрый процесс, когда теплота не успевает уйти, либо хорошо теплоизолированный сосуд. Поэтому работа газа целиком равна убыли его внутренней энергии.

Почему газ остывает при адиабатном расширении? Работу против внешнего давления он совершает за счёт собственной энергии, а другого источника нет. Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна температуре, значит её убыль и есть охлаждение. В разобранной задаче газ отдал $5{,}91$ кДж и остыл с 400 до 258 К.

Как найти работу, если известны только давления и объёмы? По формуле $A = (p_1 V_1 - p_2 V_2) / (\gamma - 1)$: количество вещества и температуры для неё не нужны, достаточно знать тип молекулы, чтобы взять $\gamma$. Если тип не указан, его определяют по самим данным из уравнения $p_1 V_1^{\gamma} = p_2 V_2^{\gamma}$.

Работа адиабаты всегда меньше работы изотермы? При расширении из одного и того же состояния - да, и тем меньше, чем больше показатель адиабаты. При сжатии до одного и того же объёма всё наоборот: над газом на адиабате приходится совершить работу большую по модулю, потому что он греется и сопротивляется сильнее.

Коротко

1. Запишите условие адиабатности: $Q = 0$, значит $A = -\Delta U$, то есть работа равна убыли внутренней энергии.
2. Возьмите показатель адиабаты по типу молекулы: $1{,}67$, $1{,}4$ или $1{,}33$; для азота $\gamma = 1{,}4$ и $C_V = 20{,}785$ Дж/(моль·К).
3. Найдите конечную температуру по уравнению Пуассона: $T_2 = T_1 (V_1 / V_2)^{\gamma - 1} = 400 \cdot 3^{-0{,}4} \approx 258$ К.
4. Посчитайте работу любой из двух форм: $\nu C_V (T_1 - T_2) = 41{,}57 \cdot 142{,}2$ или $(p_1 V_1 - p_2 V_2) / 0{,}4 = 2365{,}2 / 0{,}4$, обе дают $\approx 5913$ Дж.
5. Проверьте ответ изотермой из той же точки: $7307$ Дж, адиабатная работа обязана быть меньше - $5913 < 7307$.