Как найти фазу колебаний: начальная и полная фаза

Дано: гармоническое колебание $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0)$, амплитуда $A = 4$ см, период $T = 0{,}8$ с, в начальный момент $x_0 = 2$ см и груз движется в сторону положительных $x$. Найти: начальную фазу $\varphi_0$ и полную фазу в момент $t = 0{,}2$ с.

Начальная фаза находится из косинуса отношения $x_0/A$, а знак выбирается по направлению скорости; полная фаза - это всё выражение в скобке. Ответ: $\varphi_0 = -60^\circ = -\pi/3$ рад, полная фаза при $t = 0{,}2$ с равна $30^\circ = \pi/6$ рад, смещение в этот момент $x = 3{,}46$ см. Калькулятор сверху считает те же величины для любых $A$, $T$ и начальных условий и рисует, где на графике оказывается выбранный момент.

Решение по шагам

Шаг 1. Найти циклическую частоту. Фаза измеряется в радианах или градусах и растёт со скоростью $\omega$, поэтому первым делом из периода получаем циклическую частоту:

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0{,}8} \approx 7{,}854\ \text{рад/с}.$$

В градусной мере это удобнее запомнить иначе: за один период фаза набирает ровно $360^\circ$, значит за секунду она набирает $360^\circ / 0{,}8 = 450^\circ$.

Шаг 2. Найти модуль начальной фазы. Подставим $t = 0$ в уравнение колебаний. Косинус нуля не поможет, потому что в скобке остаётся сама начальная фаза:

$$x_0 = A\cos\varphi_0 \quad \Rightarrow \quad \cos\varphi_0 = \frac{x_0}{A} = \frac{2}{4} = 0{,}5 \quad \Rightarrow \quad \varphi_0 = \pm 60^\circ.$$

Косинус чётный, поэтому уравнение даёт сразу два ответа: $+60^\circ$ и $-60^\circ$. Одного смещения мало, нужен ещё один признак.

Шаг 3. Выбрать знак по направлению скорости. Продифференцируем уравнение колебаний и подставим $t = 0$:

$$v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi_0), \qquad v_0 = -A\omega\sin\varphi_0.$$

Амплитуда и частота положительны, значит знак скорости противоположен знаку синуса начальной фазы. По условию груз идёт к положительным $x$, то есть $v_0 > 0$, поэтому $\sin\varphi_0 < 0$ и из двух корней остаётся отрицательный:

$$\varphi_0 = -60^\circ = -\frac{\pi}{3} \approx -1{,}047\ \text{рад}.$$

Проверка: $v_0 = -4 \cdot 7{,}854 \cdot \sin(-60^\circ) \approx +27{,}2$ см/с, скорость действительно положительна.

Шаг 4. Вычислить полную фазу в нужный момент. Полная фаза - это всё, что стоит под косинусом. Подставляем $t = 0{,}2$ с:

$$\varphi = \omega t + \varphi_0 = 450^\circ \cdot 0{,}2 - 60^\circ = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ = \frac{\pi}{6}\ \text{рад}.$$

Шаг 5. Проверить ответ по смещению. Если фаза найдена верно, она должна давать разумное смещение:

$$x = A\cos\varphi = 4 \cdot \cos 30^\circ = 4 \cdot 0{,}866 \approx 3{,}46\ \text{см}, \qquad v = -A\omega\sin 30^\circ \approx -15{,}7\ \text{см/с}.$$

Груз уже прошёл крайнюю точку (максимум был при $t = T/6 \approx 0{,}133$ с) и возвращается к положению равновесия, поэтому скорость отрицательна. Ответ: $\varphi_0 = -60^\circ$ ($-\pi/3$ рад), полная фаза $\varphi = 30^\circ$ ($\pi/6$ рад), смещение $x \approx 3{,}46$ см.

Формула фазы и откуда она берётся

Фазой называют аргумент косинуса в уравнении $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0)$. Величину $\varphi = \omega t + \varphi_0$ называют полной (мгновенной) фазой, а её значение при $t = 0$ - начальной фазой $\varphi_0$. Фаза отвечает не на вопрос «где тело», а на вопрос «в какой точке цикла оно находится»: одному и тому же смещению отвечают две разные фазы, различающиеся направлением движения.

Смысл фазы проще всего увидеть через вращение. Если точка равномерно бежит по окружности радиуса $A$ с угловой скоростью $\omega$, её проекция на ось совершает гармоническое колебание, а угол поворота радиуса в каждый момент и есть полная фаза. Начальная фаза - это угол, с которого вращение стартовало. Отсюда и единицы: фазу измеряют в радианах или градусах, а полный оборот $2\pi$ соответствует одному периоду. Подробный разбор самого уравнения и всех его характеристик лежит в статье про гармонические колебания, здесь мы пользуемся им как готовым.

Раз фаза растёт линейно, её всегда можно пересчитать в долю периода: угол $\varphi$ отвечает моменту $t = \varphi T / 360^\circ$ после максимума. В нашей задаче $30^\circ$ - это $0{,}083$ периода, то есть $0{,}067$ с после прохождения крайней точки. Таблица опорных значений помогает не путаться, в какой фазе где находится тело:

Как найти начальную фазу по графику

Если задача даёт не числа, а картинку, начальную фазу читают по положению ближайшего максимума. Косинус максимален, когда полная фаза равна нулю, поэтому момент первого максимума $t_{\max}$ связан с начальной фазой соотношением $\omega t_{\max} + \varphi_0 = 0$, откуда

$$\varphi_0 = -\omega t_{\max} = -\frac{2\pi t_{\max}}{T}.$$

В нашей задаче максимум приходится на $t_{\max} = 0{,}133$ с при периоде $0{,}8$ с, и формула честно возвращает $-2\pi \cdot 0{,}133 / 0{,}8 \approx -1{,}05$ рад, то есть те же $-60^\circ$. Правило запоминается так: график, сдвинутый вправо, даёт отрицательную начальную фазу, сдвинутый влево - положительную.

Есть и быстрый способ без формул. Посмотри, где кривая пересекает ось $x$ при $t = 0$ и куда она идёт. Если график в нуле поднимается, фаза отрицательная, если опускается - положительная; если старт в максимуме, фаза равна нулю, если в минимуме - $180^\circ$. Зелёная точка на графике калькулятора сверху как раз отмечает ближайший максимум, так что связь между сдвигом кривой и знаком фазы видно сразу.

Если колебание записано через синус

Половина учебников пишет уравнение через синус: $x = A\sin(\omega t + \psi_0)$. Это то же самое движение, но начальная фаза в такой записи другая, потому что синус отстаёт от косинуса на $90^\circ$:

$$A\sin(\omega t + \psi_0) = A\cos\left(\omega t + \psi_0 - \frac{\pi}{2}\right), \qquad \varphi_0 = \psi_0 - 90^\circ.$$

Значит наше колебание в синусной форме имеет начальную фазу $\psi_0 = -60^\circ + 90^\circ = 30^\circ$, и уравнение выглядит как $x = 4\sin(7{,}854t + 30^\circ)$ см. Ответы у обеих записей совпадают, но сравнивать фазы двух колебаний можно только после приведения их к одной функции. Именно на этом чаще всего теряют баллы в задачах на сдвиг фаз, где ток задан синусом, а напряжение косинусом.

Ещё одна частая вариация условия - вместо периода дана частота. Тогда $\omega = 2\pi\nu$, и остальной ход решения не меняется: для колебательного контура циклическую частоту так же получают из частоты контура, а дальше работает та же формула полной фазы.

Разность фаз двух колебаний

Когда колебаний два и частота у них одна, интересна не столько фаза каждого, сколько разность начальных фаз $\Delta\varphi = \varphi_{02} - \varphi_{01}$. Пусть второе колебание той же амплитуды и того же периода имеет $\varphi_{02} = 30^\circ$. Тогда

$$\Delta\varphi = 30^\circ - (-60^\circ) = 90^\circ = \frac{\pi}{2}\ \text{рад},$$

то есть второе колебание опережает первое на четверть периода, а это $0{,}25 \cdot 0{,}8 = 0{,}2$ с. Переключатель «второе колебание» в калькуляторе сверху добавляет на график вторую кривую и показывает эту разность.

Три значения разности фаз стоит знать наизусть. При $\Delta\varphi = 0$ колебания идут в фазе: тела одновременно проходят максимумы. При $\Delta\varphi = 180^\circ$ они в противофазе: одно в максимуме, другое в минимуме. При $\Delta\varphi = \pm 90^\circ$ колебания в квадратуре, и при сложении взаимно перпендикулярных колебаний такая пара даёт окружность или эллипс - на этом строятся фигуры Лиссажу. Разность фаз имеет смысл только у колебаний одной частоты: при разных частотах она меняется со временем и постоянного значения не имеет. Отдельный случай - затухающие колебания, где амплитуда падает, но фаза по-прежнему растёт линейно.

Частые ошибки

• Берут только положительный корень арккосинуса. Уравнение $\cos\varphi_0 = x_0/A$ даёт два ответа, и без знака скорости задача решена наполовину. Знак выбирается по правилу: тело идёт в плюс, значит фаза отрицательная.
• Путают начальную фазу с полной. Начальная фаза - это константа $\varphi_0$, полная фаза зависит от времени. Вопрос «найдите фазу в момент $t$» почти всегда про полную фазу.
• Складывают градусы с радианами. В выражении $\omega t + \varphi_0$ первое слагаемое при $\omega$ в рад/с получается в радианах. Либо переводи $\varphi_0$ в радианы, либо считай всё в градусах через $360^\circ/T$.
• Забывают, что фаза определена с точностью до оборота. Получив $\varphi = 750^\circ$, вычти $720^\circ$: физически это те же $30^\circ$, и смещение будет одинаковым.
• Сравнивают фазы синусной и косинусной записей напрямую. Разница в $90^\circ$ в разности фаз превращается в неверный вывод о том, что опережает.
• Считают $\omega$ по формуле $\omega = 1/T$. Циклическая частота больше обычной в $2\pi$ раз, и потеря этого множителя сразу ломает и фазу, и скорость.

FAQ

Чем фаза отличается от начальной фазы? Фаза (полная, мгновенная) - это весь аргумент косинуса $\omega t + \varphi_0$, она растёт со временем. Начальная фаза - значение этого аргумента при $t = 0$, то есть просто константа в уравнении. В условиях обычно спрашивают либо одно, либо другое, и стоит прочитать вопрос буквально.

В чём измеряется фаза колебаний? В радианах (основная единица СИ) или в градусах, потому что по смыслу это угол поворота вектора. Один период соответствует $2\pi$ рад или $360^\circ$, четверть периода - $\pi/2$ или $90^\circ$. Перевод: умножить градусы на $\pi/180$.

Может ли начальная фаза быть больше $360^\circ$ или отрицательной? Отрицательной - да, это обычная ситуация при сдвиге графика вправо. Больше полного оборота - формально да, но такое значение всегда приводят к интервалу от $-180^\circ$ до $180^\circ$ (или от $0$ до $360^\circ$), вычитая лишние обороты: движение от этого не меняется.

Как найти фазу, если известны смещение и скорость в произвольный момент? По той же паре условий: $\cos\varphi = x/A$ даёт модуль фазы, а знак скорости выбирает нужный корень. Затем начальную фазу получают вычитанием: $\varphi_0 = \varphi - \omega t$.

Коротко

1. Найди циклическую частоту: $\omega = 2\pi/T$, в нашей задаче $7{,}854$ рад/с, или $450^\circ$ за секунду.
2. Из начального смещения получи модуль начальной фазы: $\cos\varphi_0 = x_0/A = 0{,}5$, отсюда $\varphi_0 = \pm 60^\circ$.
3. Выбери знак по направлению скорости: движение в плюс означает $\sin\varphi_0 < 0$, значит $\varphi_0 = -60^\circ = -\pi/3$ рад.
4. Полная фаза в нужный момент: $\varphi = \omega t + \varphi_0 = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ = \pi/6$ рад.
5. Проверь через смещение и скорость: $x = 4\cos 30^\circ \approx 3{,}46$ см, $v \approx -15{,}7$ см/с, то есть груз уже возвращается от крайней точки к равновесию.