Как найти теплоёмкость газа: Cv, Cp и показатель адиабаты

Дано: кислород, масса $m = 320$ г, молярная масса $M = 32$ г/моль, нагрев от $t_1 = 27$ °C до $t_2 = 127$ °C при постоянном давлении. Найти: молярные теплоёмкости $C_V$ и $C_p$, удельные $c_V$ и $c_p$, показатель адиабаты $\gamma$ и количество теплоты $Q$.

Теплоёмкость идеального газа не берут из справочника, а считают по числу степеней свободы молекулы: сначала $C_V = iR/2$, затем $C_p = C_V + R$. У двухатомного кислорода $i = 5$, поэтому ответ такой: $C_V \approx 20{,}8$ и $C_p \approx 29{,}1$ Дж/(моль·К), $c_V \approx 649$ и $c_p \approx 909$ Дж/(кг·К), $\gamma = 1{,}4$, $Q \approx 29{,}1$ кДж.

Калькулятор сверху пересчитывает все шесть величин под любой газ, массу и нагрев, а на графике видно главное свойство этой пары: разрыв между столбцами $C_p$ и $C_V$ одинаков у всех газов и равен $R$. Ниже тот же ответ получен вручную.

Решение по шагам

Дано.

Найти: $C_V$, $C_p$, $c_V$, $c_p$, $\gamma$, $Q$.

Шаг 1. Считаем количество вещества. Молярные теплоёмкости от массы не зависят, но для теплоты нужно знать, сколько молей нагревают:

$$\nu = \frac{m}{M} = \frac{320}{32} = 10\ \text{моль}.$$

Здесь массу и молярную массу можно оставить в граммах: единицы сокращаются, и переводить в килограммы незачем. Перевод понадобится позже, в удельных теплоёмкостях.

Шаг 2. Определяем число степеней свободы. Молекула кислорода двухатомная: при обычных температурах у неё работают три поступательные и две вращательные степени свободы, а колебательная заморожена, поэтому $i = 5$. Откуда берётся именно пятёрка и почему шестую не считают, разобрано в статье про степени свободы двухатомной молекулы; для расчёта достаточно готового значения.

Шаг 3. Находим молярные теплоёмкости. Обе получаются из одного числа $i$:

$$C_V = \frac{i}{2}R = \frac{5}{2}\cdot 8{,}31 = 20{,}775 \approx 20{,}8\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)},$$ $$C_p = C_V + R = 20{,}775 + 8{,}31 = 29{,}085 \approx 29{,}1\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}.$$

Порядок величины запомнить легко: молярная теплоёмкость любого газа лежит между 12 и 35 Дж/(моль·К). Если получилось 900 или 0,02, значит перепутана молярная теплоёмкость с удельной.

Шаг 4. Считаем показатель адиабаты. Это просто отношение двух найденных чисел:

$$\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{29{,}085}{20{,}775} = \frac{i+2}{i} = \frac{7}{5} = 1{,}4.$$

Через $i$ считать быстрее: подставлять числа с запятыми не нужно вовсе, а результат для двухатомного газа всегда выходит ровно 1,4.

Шаг 5. Переходим к удельным теплоёмкостям. Удельная отличается от молярной тем, что относится к килограмму, а не к молю, поэтому молярную делят на молярную массу в килограммах на моль:

$$c_V = \frac{C_V}{M} = \frac{20{,}775}{0{,}032} \approx 649\ \text{Дж/(кг}\cdot\text{К)}, \qquad c_p = \frac{C_p}{M} = \frac{29{,}085}{0{,}032} \approx 909\ \text{Дж/(кг}\cdot\text{К)}.$$

Справочное значение для кислорода около 918 Дж/(кг·К): расхождение в один процент даёт модель идеального газа, и для учебной задачи это норма.

Шаг 6. Находим количество теплоты. Процесс изобарный, значит в формулу идёт $C_p$:

$$Q = \nu C_p \Delta T = 10 \cdot 29{,}085 \cdot 100 = 29\,085\ \text{Дж} \approx 29{,}1\ \text{кДж}.$$

Разность температур в кельвинах и в градусах Цельсия одна и та же, поэтому $\Delta T = 127 - 27 = 100$ К без всякого прибавления 273. Переводить в кельвины нужно саму температуру, а не её изменение.

Шаг 7. Проверяем ответ первым началом термодинамики. Подведённая теплота разошлась на прирост внутренней энергии и на работу расширения:

$$\Delta U = \nu C_V \Delta T = 10 \cdot 20{,}775 \cdot 100 = 20\,775\ \text{Дж}, \qquad A = \nu R \Delta T = 10 \cdot 8{,}31 \cdot 100 = 8310\ \text{Дж}.$$

Их сумма $20\,775 + 8310 = 29\,085$ Дж совпадает с найденной теплотой, значит арифметика сошлась. Такая проверка ловит почти любую ошибку в $C_p$, потому что работа считается независимо, по формуле $A = \nu R \Delta T$.

Ответ: $C_V \approx 20{,}8$ Дж/(моль·К), $C_p \approx 29{,}1$ Дж/(моль·К), $c_V \approx 649$ Дж/(кг·К), $c_p \approx 909$ Дж/(кг·К), $\gamma = 1{,}4$, $Q \approx 29{,}1$ кДж.

Откуда берутся формулы Cv и Cp

Обе формулы стоят на законе равнораспределения: на каждую степень свободы молекулы приходится энергия $\tfrac{1}{2}kT$, то есть $\tfrac{1}{2}RT$ на моль. Внутренняя энергия моля равна $U = \tfrac{i}{2}RT$, а теплоёмкость при постоянном объёме - производная этой энергии по температуре. Отсюда и берётся $C_V = iR/2$: при $V = \text{const}$ газ не совершает работы, и вся теплота уходит во внутреннюю энергию.

При постоянном давлении газ дополнительно расширяется и толкает поршень. На каждый градус нагрева одного моля работа равна ровно $R$ джоулей, поэтому теплоты нужно на $R$ больше: $C_p = C_V + R$. Это соотношение называют уравнением Майера, его вывод и следствия подробно разобраны в статьях про теплоёмкость при постоянном объёме и при постоянном давлении.

Само первое начало $Q = \Delta U + A$, из которого всё выводится, разобрано в формулировке первого начала термодинамики. Практический вывод для задач простой: узнав $i$, вы автоматически знаете и $C_V$, и $C_p$, и $\gamma$, и любую из удельных теплоёмкостей. Никаких дополнительных данных не нужно.

Молярная, удельная и полная теплоёмкость

Слово «теплоёмкость» в задачах означает три разные величины, и половина неверных ответов - это подстановка одной вместо другой.

Различить их проще всего по единицам в ответе: если в условии просят «теплоёмкость в Дж/(кг·К)», нужна удельная, если в Дж/(моль·К) - молярная. Для нашей порции кислорода полная теплоёмкость при постоянном давлении равна $C = \nu C_p = 10 \cdot 29{,}085 \approx 291$ Дж/К.

Молярные теплоёмкости зависят только от типа молекулы, а удельные - ещё и от молярной массы, поэтому у лёгких газов они огромны:

Молярные значения в таблице повторяются группами: у всех одноатомных они одинаковы, у всех двухатомных тоже. Удельные же различаются в разы, хотя тип молекулы у гелия и аргона один и тот же.

Если дана смесь газов или обратные данные

Смесь. Теплоёмкость смеси - это среднее по молям, а не по массам:

$$C_{V,\text{см}} = \frac{\nu_1 C_{V1} + \nu_2 C_{V2}}{\nu_1 + \nu_2}.$$

Для 8 г гелия (2 моль, $C_V = 12{,}465$) и 28 г азота (1 моль, $C_V = 20{,}775$) получаем $C_{V,\text{см}} = (2 \cdot 12{,}465 + 20{,}775)/3 \approx 15{,}2$ Дж/(моль·К), а $C_{p,\text{см}} = 15{,}235 + 8{,}31 \approx 23{,}5$ Дж/(моль·К). Показатель адиабаты смеси $\gamma \approx 1{,}55$ и, как видно, дробный: целые 1,67 и 1,40 бывают только у чистых газов.

Обратная задача. Если известна $C_p$, число степеней свободы восстанавливается за одно действие: $i = 2(C_p - R)/R$. При $C_p = 29{,}1$ Дж/(моль·К) выходит $i = 2 \cdot 20{,}79/8{,}31 \approx 5$, то есть газ двухатомный. Через показатель адиабаты ещё короче: $i = 2/(\gamma - 1)$.

Теплоёмкость из опыта. Когда в условии даны теплота, масса и нагрев, ничего выводить не надо: $c = Q/(m\,\Delta T)$ для удельной и $C = Q/(\nu\,\Delta T)$ для молярной. Но полученное число обязательно относится к тому процессу, в котором шёл нагрев.

Другие процессы. У изотермы теплоёмкость бесконечна: температура не меняется, а теплота подводится, и весь её расход идёт на работу изотермического процесса. У адиабаты, наоборот, теплоёмкость равна нулю. Промежуточные случаи описывает политропический процесс, где теплоёмкость может быть даже отрицательной.

Частые ошибки

• Молярную массу оставляют в граммах при расчёте удельной теплоёмкости. Деление на 32 вместо 0,032 занижает ответ ровно в тысячу раз: вместо 649 Дж/(кг·К) получается 0,65.
• Берут $C_V$ там, где процесс изобарный. Теплота выходит равной 20,8 кДж вместо 29,1 кДж, то есть на 29 процентов меньше: потеряна работа расширения.
• Прибавляют 273 к разности температур. Изменение температуры в кельвинах и в градусах Цельсия одинаково, прибавлять сдвиг нужно только к самой температуре.
• Считают кислород трёхатомным из-за индекса 2 в формуле. Индекс показывает число атомов в молекуле: у $\text{O}_2$ их два, значит $i = 5$, а не 6.
• Путают $C_p = C_V + R$ с умножением. Уравнение Майера аддитивно: разность теплоёмкостей равна $R$, а вот их отношение равно $\gamma$, и это разные вещи.
• Пишут $\gamma$ больше 1,67. Показатель адиабаты идеального газа лежит между 1 и 5/3, и значение 1,8 или 2,1 означает арифметическую ошибку.

FAQ

Чем молярная теплоёмкость отличается от удельной? Молярная относится к одному молю и измеряется в Дж/(моль·К), удельная - к одному килограмму, в Дж/(кг·К). Связаны они через молярную массу: $c = C/M$. У кислорода $C_V = 20{,}8$ Дж/(моль·К) и $c_V = 649$ Дж/(кг·К) - это одна и та же физика в разных единицах.

Почему теплоёмкость газа зависит от процесса, а теплоёмкость воды нет? Потому что газ при нагреве заметно расширяется и совершает работу, а вода почти нет. У жидкостей и твёрдых тел разница между $c_p$ и $c_V$ настолько мала, что её обычно не указывают; для твёрдых тел справедлив закон Дюлонга-Пти с общим значением около 25 Дж/(моль·К).

Меняется ли теплоёмкость при сильном нагреве? Да. При температурах порядка тысяч кельвинов у двухатомных молекул размораживаются колебательные степени свободы, $i$ растёт с 5 до 7, и $C_V$ увеличивается до $7R/2$. В школьных и типовых вузовских задачах этим пренебрегают и берут $i = 5$.

Зависит ли теплоёмкость от давления и от скорости молекул? В модели идеального газа нет: $C_V$ и $C_p$ определяются только числом степеней свободы. Давление и температура влияют на скорости молекул, которые считаются в разборе средней скорости молекул, но не на сами теплоёмкости.

Коротко

1. Найдите число степеней свободы: одноатомный газ $i = 3$, двухатомный $i = 5$, трёх- и многоатомный $i = 6$.
2. Посчитайте молярные теплоёмкости $C_V = iR/2$ и $C_p = C_V + R$; для кислорода это 20,8 и 29,1 Дж/(моль·К).
3. Показатель адиабаты берите как $\gamma = (i+2)/i$; для двухатомного газа он равен 1,4.
4. Удельные получите делением молярных на $M$ в кг/моль: 649 и 909 Дж/(кг·К) для кислорода.
5. Теплоту считайте по теплоёмкости своего процесса: $Q = \nu C_p \Delta T = 29{,}1$ кДж при $p = \text{const}$, и проверьте её суммой $\Delta U + A$.