Политропический процесс идеального газа: работа и теплота

Политропический процесс идеального газа - это процесс, при котором давление и объём связаны степенным законом $pV^n = \mathrm{const}$, а молярная теплоёмкость остаётся постоянной. Одно это уравнение с параметром $n$ описывает сразу всё семейство базовых процессов: изобару, изотерму, адиабату и изохору. Поэтому политропа - удобный универсальный язык термодинамики: вместо четырёх отдельных наборов формул достаточно одного, в который подставляют нужный показатель. Ниже разберём, как считать работу газа, теплоту и теплоёмкость в таком процессе, а быстро прикинуть числа по своим данным поможет калькулятор сразу под этим разделом.

Уравнение политропического процесса

Основное соотношение политропы записывается через давление и объём:

$pV^n = \mathrm{const}$

где $n$ - показатель политропы, безразмерное число. Используя уравнение состояния идеального газа $pV = \nu R T$, его удобно переписать через температуру:

$TV^{n-1} = \mathrm{const}, \qquad T p^{\frac{1-n}{n}} = \mathrm{const}$

Для двух состояний газа на одной политропе это даёт простые связи $p_1 V_1^{n} = p_2 V_2^{n}$ и $T_1 V_1^{n-1} = T_2 V_2^{n-1}$. Из первой связи сразу получаем рабочую формулу для конечного давления:

$p_2 = p_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{n}$

Геометрически каждая политропа - это своя кривая на $p$-$V$-диаграмме, и все они проходят через одно начальное состояние газа. Чем больше показатель $n$, тем круче кривая падает с ростом объёма. Само слово «политропа» означает «многоповоротный»: меняя единственный параметр $n$, мы получаем целый веер траекторий газа от пологих до почти вертикальных. Именно поэтому в задачах по термодинамике политропу удобно держать как обобщённую модель и подставлять в неё конкретный показатель, а не запоминать четыре отдельных набора формул для каждого изопроцесса.

Если же известны два состояния газа, показатель политропы восстанавливают логарифмированием. Из $p_1 V_1^n = p_2 V_2^n$ следует:

$n = \frac{\ln(p_1/p_2)}{\ln(V_2/V_1)}$

На диаграмме $\ln p$ против $\ln V$ любая политропа превращается в прямую с угловым коэффициентом $-n$, поэтому экспериментально показатель определяют именно по наклону этой прямой при обработке индикаторных диаграмм поршневых машин.

Частные случаи: одно уравнение вместо четырёх

Главная сила политропы в том, что разные значения $n$ превращают $pV^n = \mathrm{const}$ в знакомые изопроцессы:

• $n = 0$: $p = \mathrm{const}$ - изобарный процесс (горизонтальная прямая на диаграмме);
• $n = 1$: $pV = \mathrm{const}$ - изотермический процесс (закон Бойля-Мариотта, $T = \mathrm{const}$);
• $n = \gamma = C_p/C_V$: $pV^\gamma = \mathrm{const}$ - адиабатный процесс (теплообмена нет, $Q = 0$);
• $n \to \pm\infty$: $V = \mathrm{const}$ - изохорный процесс (вертикальная прямая).

Рассчитать для своей задачи

Здесь $\gamma$ - показатель адиабаты (коэффициент Пуассона): для одноатомного газа $\gamma = 5/3 \approx 1{,}67$, для двухатомного $\gamma = 7/5 = 1{,}4$. Реальные процессы со слабым теплообменом дают промежуточные значения $1 < n < \gamma$. Этот веер процессов и анимация выше показывают суть: непрерывно меняя $n$, мы скользим между всеми изопроцессами без разрывов. Если же нужен акцент именно на смысле и поиске самого параметра, его подробно разбирает материал про показатель политропы.

Работа газа в политропическом процессе

Работа газа находится интегрированием $\delta A = p\,dV$ при $p = \mathrm{const}\cdot V^{-n}$. Для $n \neq 1$ результат компактен:

$W = \frac{p_1 V_1 - p_2 V_2}{n - 1} = \frac{\nu R (T_1 - T_2)}{n - 1}$

Отдельно стоит изотерма $n = 1$, где знаменатель обращается в ноль и общая формула неприменима. Здесь работа выражается логарифмом:

$W = \nu R T \ln\frac{V_2}{V_1} = p_1 V_1 \ln\frac{V_2}{V_1}$

Физически работа газа - это площадь под кривой $p(V)$ между начальным и конечным объёмами. Поэтому при одинаковых $V_1$ и $V_2$ более пологая политропа (меньший $n$) даёт большую работу: под её кривой больше площади. Это сразу объясняет, почему изобара $n=0$ совершает самую большую работу при расширении (давление держится высоким), а изохора $n\to\infty$ - нулевую (объём не меняется, площади под кривой нет вовсе).

Знак работы тоже задаётся процессом: при расширении $V_2 > V_1$ газ совершает положительную работу над окружением, при сжатии $V_2 < V_1$ работа газа отрицательна, и фактически работу совершают над газом. Удобно, что формула $W = (p_1V_1 - p_2V_2)/(n-1)$ автоматически даёт правильный знак при любом соотношении объёмов - отдельно отслеживать направление не нужно.

Рассчитать для своей задачи

Например, при $p_1 = 200$ кПа, $V_1 = 1$ л, $V_2 = 3$ л и $n = 1{,}25$ конечное давление $p_2 \approx 51$ кПа, а работа газа $W \approx 189$ Дж. Поменяйте показатель в калькуляторе выше - и увидите, как площадь-работа перестраивается вслед за крутизной кривой.

Теплоёмкость политропы

По определению политропы её молярная теплоёмкость постоянна и выражается через показатель $n$ и теплоёмкости при постоянном объёме $C_V$ и давлении $C_p$:

$C = C_V \cdot \frac{n - \gamma}{n - 1}$

Эта формула очень показательна. Подставив частные значения, получаем знакомые ответы: при $n = 0$ выходит $C = C_V \gamma = C_p$ (изобара), при $n \to \pm\infty$ получаем $C = C_V$ (изохора), при $n = 1$ теплоёмкость стремится к бесконечности (изотерма принимает любое тепло без изменения температуры), а при $n = \gamma$ теплоёмкость равна нулю (адиабата, теплообмена нет). Особенно интересен интервал $1 < n < \gamma$: там $C < 0$ - газ получает отрицательную теплоёмкость, то есть отдаёт теплоту, но при этом нагревается за счёт совершаемой над ним работы. Такие процессы реально встречаются при сжатии в компрессорах.

Теплота и внутренняя энергия

Количество теплоты в политропическом процессе считают через постоянную теплоёмкость:

$Q = \nu C (T_2 - T_1) = \nu C_V \frac{n - \gamma}{n - 1}(T_2 - T_1)$

Изменение внутренней энергии идеального газа зависит только от температуры и от типа процесса не зависит вовсе:

$\Delta U = \nu C_V (T_2 - T_1)$

Первое начало термодинамики $Q = \Delta U + W$ для политропы выполняется автоматически: это легко проверить, сложив выражения для $\Delta U$ и $W$ и сравнив с формулой для $Q$. Такая самосогласованность - хороший способ убедиться, что показатель и параметры подобраны корректно.

Полезно держать в голове баланс энергии для каждого предельного случая. В изотерме $n=1$ вся подведённая теплота уходит в работу газа, потому что $\Delta U = 0$. В адиабате $n=\gamma$ теплота равна нулю, и работа совершается целиком за счёт убыли внутренней энергии: $W = -\Delta U$. В изохоре $n\to\infty$ работа равна нулю, и вся теплота идёт на изменение внутренней энергии. Политропа же распределяет энергию между работой и нагревом в пропорции, которую задаёт показатель $n$ - в этом и состоит её гибкость как модели.

Где встречается политропа на практике

Политропа - не только учебная абстракция. Сжатие воздуха в реальном компрессоре идёт по политропе с $n \approx 1{,}2 \ldots 1{,}35$: процесс не успевает остыть до изотермического, но и стенки отводят часть тепла, поэтому он не строго адиабатный. Расширение продуктов сгорания в цилиндре ДВС и в турбине тоже описывают политропой с показателем, подобранным по индикаторной диаграмме. В метеорологии политропная модель атмосферы связывает изменение давления и температуры с высотой. Во всех этих задачах показатель $n$ - компактная мера «степени необратимости» теплообмена.

В инженерных расчётах политропический процесс ценят за то, что он даёт реалистичную оценку работы и затрат энергии без полного решения уравнений теплопереноса. Достаточно один раз снять с машины индикаторную диаграмму, по двум точкам найти показатель $n$ и дальше пользоваться компактными формулами политропы для работы и теплоты. Чем ближе $n$ к единице, тем активнее охлаждение и тем экономичнее сжатие; чем ближе к $\gamma$ - тем процесс быстрее и адиабатнее. Поэтому показатель политропы заодно служит наглядной характеристикой эффективности теплообмена в установке.

Частые ошибки

• Путают показатель политропы $n$ и показатель адиабаты $\gamma$. $\gamma = C_p/C_V$ - это свойство самого газа, а $n$ - параметр конкретного процесса; они совпадают только для адиабаты.
• Применяют формулу работы $W = (p_1V_1 - p_2V_2)/(n-1)$ к изотерме. При $n = 1$ знаменатель равен нулю - нужна логарифмическая формула.
• Считают $\Delta U$ через теплоёмкость политропы $C$. Внутренняя энергия всегда меняется через $C_V$, независимо от процесса; теплоёмкость $C$ нужна только для теплоты $Q$.
• Забывают про знак показателя при изохоре. $V = \mathrm{const}$ соответствует $n \to \pm\infty$, а не конечному числу.
• Берут не тот газ при расчёте $\gamma$. Для одноатомного газа $\gamma = 5/3$, для двухатомного $\gamma = 7/5$, и теплоёмкость политропы получится разной.

FAQ

Чем политропический процесс отличается от адиабатного? Адиабата - это частный случай политропы с показателем $n = \gamma$ и нулевым теплообменом. В общем политропическом процессе $n$ может быть любым, и газ обменивается теплотой с окружением, причём по постоянной теплоёмкости.

Как найти работу газа в политропическом процессе? Для $n \neq 1$ по формуле $W = (p_1V_1 - p_2V_2)/(n-1)$, где $p_2 = p_1(V_1/V_2)^n$. Для изотермы $n = 1$ работа равна $p_1V_1\ln(V_2/V_1)$. Геометрически это площадь под кривой $p(V)$.

Может ли теплоёмкость политропы быть отрицательной? Да, в интервале $1 < n < \gamma$. Газ при этом отдаёт теплоту, но нагревается за счёт работы, совершаемой над ним, поэтому отношение полученного тепла к росту температуры выходит отрицательным.

Коротко

Политропический процесс идеального газа описывается уравнением $pV^n = \mathrm{const}$, и показатель $n$ задаёт его характер: $n=0$ - изобара, $n=1$ - изотерма, $n=\gamma$ - адиабата, $n\to\pm\infty$ - изохора. Работа газа равна $(p_1V_1-p_2V_2)/(n-1)$ и геометрически совпадает с площадью под кривой $p(V)$, теплоёмкость процесса $C = C_V(n-\gamma)/(n-1)$, а внутренняя энергия всегда меняется через $C_V$. Теплоту находят как $Q = \Delta U + W$, и первое начало термодинамики для политропы выполняется автоматически.