Изобарный процесс: работа газа и формула A = p ΔV

Изобарный процесс - это процесс, который идёт при постоянном давлении ($p = const$). На нём проще всего понять, что такое работа газа: при неизменном давлении она равна простому произведению давления на изменение объёма, без всяких интегралов. Именно поэтому изобара так часто встречается в задачах по термодинамике - на ней наглядно видно, как подведённая теплота делится между работой газа и нагревом его молекул. Ниже разберём формулу работы газа в изобарном процессе, её связь с температурой и первым началом термодинамики, посчитаем теплоту и внутреннюю энергию и покажем, где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь давления, объёма и работы, покрути калькулятор ниже: он показывает работу как площадь под изобарой и сразу делит теплоту на работу и внутреннюю энергию.

Формула работы газа в изобарном процессе

Работа, которую газ совершает над внешними телами при расширении, в общем случае равна интегралу $A = \int p\,dV$. Но в изобарном процессе давление вынесено за знак интеграла как константа, и формула сворачивается в одно произведение:

$A = p\,\Delta V = p\,(V_2 - V_1),$

где $p$ - постоянное давление, $V_1$ и $V_2$ - начальный и конечный объёмы. Эта формула - главный результат темы. Геометрически работа газа равна площади прямоугольника под горизонтальной изобарой на p-V диаграмме: ширина прямоугольника - это изменение объёма $\Delta V$, высота - давление $p$.

Рассчитать для своей задачи

Знак работы определяется знаком $\Delta V$. Если газ расширяется ($V_2 > V_1$), работа газа положительна: газ совершает работу над окружением, толкая поршень. Если газ сжимают ($V_2 < V_1$), то $\Delta V < 0$ и работа газа отрицательна - это значит, что работу над газом совершают внешние силы.

Работа газа через изменение температуры

У формулы $A = p\,\Delta V$ есть вторая, не менее полезная форма - через изменение температуры. Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для двух состояний при одном давлении:

$pV_1 = \nu R T_1, \qquad pV_2 = \nu R T_2.$

Вычтем одно из другого: $p(V_2 - V_1) = \nu R (T_2 - T_1)$. Левая часть - это как раз работа газа, поэтому

$A = p\,\Delta V = \nu R\,\Delta T,$

где $\nu$ - количество вещества (число молей), $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К) - универсальная газовая постоянная, $\Delta T = T_2 - T_1$ - изменение температуры. Эта форма удобна, когда в условии задачи даны не объёмы, а температуры или количество вещества. Видно и физический смысл газовой постоянной: $R$ численно равна работе, которую совершает один моль газа при нагреве на один кельвин в изобарном процессе.

Теплота и внутренняя энергия: первое начало

Чтобы понять, откуда газ берёт энергию на работу, применим первое начало термодинамики:

$Q = \Delta U + A,$

то есть подведённая теплота $Q$ идёт частью на изменение внутренней энергии $\Delta U$, частью - на работу газа $A$. В изобарном процессе работают обе части сразу, и это отличает изобару от изотермы (где $\Delta U = 0$) и от изохоры (где $A = 0$).

Изменение внутренней энергии идеального газа зависит только от температуры:

$\Delta U = \nu C_V\,\Delta T = \frac{i}{2}\,\nu R\,\Delta T,$

где $C_V = \dfrac{i}{2}R$ - молярная теплоёмкость при постоянном объёме, а $i$ - число степеней свободы молекулы ($i = 3$ для одноатомного газа, $i = 5$ для двухатомного, $i = 6$ для многоатомного). Сравнив с формулой работы $A = \nu R\,\Delta T$, получаем простую связь: $\Delta U = \dfrac{i}{2}A$. Например, для одноатомного газа на каждый джоуль работы приходится полтора джоуля прироста внутренней энергии.

Рассчитать для своей задачи

Теплоту в изобарном процессе удобно считать через молярную теплоёмкость при постоянном давлении $C_p = C_V + R = \dfrac{i+2}{2}R$:

$Q = \nu C_p\,\Delta T = \frac{i+2}{2}\,\nu R\,\Delta T.$

Разница $C_p - C_V = R$ - это уравнение Майера; оно прямо говорит, что лишняя теплоёмкость при постоянном давлении уходит именно на работу расширения. Чтобы прикинуть это деление для конкретных чисел, задай давление, объёмы и тип газа в калькуляторе выше: он покажет работу, внутреннюю энергию и теплоту и нарисует, какая доля теплоты ушла в работу.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: одноатомный идеальный газ при постоянном давлении $p = 200$ кПа расширяется от объёма $V_1 = 2$ л до $V_2 = 5$ л. Нужно найти работу газа, изменение его внутренней энергии и подведённую теплоту.

Сначала переводим всё в систему СИ: давление $p = 200\ \text{кПа} = 2\cdot10^{5}$ Па, объёмы $V_1 = 2\ \text{л} = 2\cdot10^{-3}\ \text{м}^3$ и $V_2 = 5\ \text{л} = 5\cdot10^{-3}\ \text{м}^3$. Считаем работу газа по основной формуле:

$A = p\,(V_2 - V_1) = 2\cdot10^{5}\cdot(5 - 2)\cdot10^{-3} = 600\ \text{Дж}.$

Изменение внутренней энергии для одноатомного газа ($i = 3$) связано с работой соотношением $\Delta U = \dfrac{i}{2}A = \dfrac{3}{2}A$:

$\Delta U = \frac{3}{2}\cdot 600 = 900\ \text{Дж}.$

Наконец, подведённая теплота - это сумма по первому началу термодинамики:

$Q = \Delta U + A = 900 + 600 = 1500\ \text{Дж}.$

Проверка: доля теплоты, ушедшей в работу, равна $A/Q = 600/1500 = 0{,}4$, то есть 40%. Это и есть отношение $\dfrac{R}{C_p} = \dfrac{2}{i+2} = \dfrac{2}{5}$ для одноатомного газа - результат согласован. Калькулятор выше собирает ровно эту цепочку: работа, внутренняя энергия, теплота и их деление.

Изобара среди других процессов

Полезно держать в голове, чем изобара отличается от соседних изопроцессов. В изотермическом процессе ($T = const$) внутренняя энергия не меняется, $\Delta U = 0$, и вся теплота идёт в работу, но сама работа считается уже логарифмом, $A = \nu R T \ln(V_2/V_1)$. В изохорном процессе ($V = const$) объём не меняется, поэтому работа газа равна нулю, $A = 0$, и вся теплота идёт во внутреннюю энергию. Изобара - промежуточный случай: меняются и объём, и температура, поэтому работают обе части первого начала одновременно. Именно поэтому формула $A = p\,\Delta V$ так ценится в задачах - она самая короткая из всех формул работы и не требует интегрирования.

Частые ошибки

• Давление в килопаскалях. В формулу $A = p\,\Delta V$ давление подставляют в паскалях, а объём в кубометрах, чтобы работа получилась в джоулях. Перевод: 1 кПа = 1000 Па, 1 л = 0{,}001 м³.
• Путаница теплоёмкостей $C_p$ и $C_V$. Для теплоты в изобаре нужна $C_p$, для внутренней энергии - всегда $C_V$, даже если процесс изобарный. Внутренняя энергия зависит только от температуры, а не от того, при каком давлении идёт процесс.
• Знак работы при сжатии. Если $V_2 < V_1$, то $\Delta V < 0$ и работа газа отрицательна. Записывать её со знаком плюс - типичная ошибка в балансе энергии.
• Считать, что вся теплота идёт в работу. Это верно только для изотермы. В изобаре часть теплоты обязательно уходит в нагрев газа ($\Delta U > 0$), и работа всегда меньше подведённой теплоты.
• Забывать про количество вещества. В форме $A = \nu R\,\Delta T$ множитель $\nu$ обязателен; пропустив его, получают работу для одного моля вместо всего газа.

FAQ

Чему равна работа газа в изобарном процессе? Работа равна $A = p\,\Delta V = p(V_2 - V_1)$, то есть произведению постоянного давления на изменение объёма. Эквивалентная форма через температуру: $A = \nu R\,\Delta T$. На p-V диаграмме это площадь прямоугольника под изобарой.

Почему в изобарном процессе теплоты нужно больше, чем в изохорном? Потому что при постоянном давлении теплота идёт сразу на две вещи: и на нагрев газа ($\Delta U$), и на работу расширения ($A$). В изохорном процессе работа равна нулю, поэтому та же теплота полностью уходит во внутреннюю энергию. Отсюда $C_p = C_V + R$ - уравнение Майера.

Как найти работу газа, если давление меняется? Тогда процесс уже не изобарный, и простая формула $A = p\,\Delta V$ не работает. Работу находят как площадь под кривой процесса на p-V диаграмме, то есть через интеграл $A = \int p\,dV$. Формула $p\,\Delta V$ применима только при строго постоянном давлении.

Коротко

В изобарном процессе ($p = const$) работа газа считается проще всего: $A = p\,\Delta V = \nu R\,\Delta T$ и численно равна площади под изобарой на p-V диаграмме. Подведённая теплота по первому началу термодинамики делится на работу и прирост внутренней энергии: $Q = \Delta U + A$, где $\Delta U = \dfrac{i}{2}\,\nu R\,\Delta T$. Главное - переводить давление в паскали и объём в кубометры и не путать теплоёмкости $C_p$ (для теплоты) и $C_V$ (для внутренней энергии).