Первое начало термодинамики: формулировка и смысл

Первое начало термодинамики - это закон сохранения энергии, записанный для тепловых процессов. Он связывает три величины: подведённую к системе теплоту, изменение её внутренней энергии и работу, которую система совершает над окружением. Главная трудность в задачах не в самой формуле, а в знаках: где теплота со знаком плюс, а где работа меняет смысл в зависимости от того, кто над кем её совершает. Ниже разберём словесную формулировку, формулу, частные случаи для каждого изопроцесса и типичные ошибки. Чтобы сразу перейти от теории к своей задаче, воспользуйтесь помощником ниже.

Словесная формулировка первого начала термодинамики

Классическая формулировка звучит так: количество теплоты, сообщённое системе, идёт на изменение её внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними телами. Иначе говоря, теплоту нельзя «потерять» - она целиком распределяется между внутренней энергией и работой. Это прямое следствие закона сохранения энергии для систем, где обмен энергией идёт двумя каналами: теплообменом и механической работой.

Из формулировки сразу следует невозможность вечного двигателя первого рода - устройства, которое совершало бы работу, не получая энергии извне. Если $Q = 0$, то работа возможна только за счёт убыли внутренней энергии, и запас этой энергии конечен. Поэтому первое начало иногда формулируют отрицательно: невозможен вечный двигатель первого рода.

Рассчитать для своей задачи

Важно понимать, что первое начало ничего не говорит о направлении процесса - теплота по нему может в принципе переходить и от холодного к горячему, лишь бы сходился баланс энергии. Запрет на самопроизвольную передачу тепла «вверх» вводит уже второе начало термодинамики. А о нижней границе энтропии при стремлении температуры к нулю говорит третье начало термодинамики. Первое начало отвечает только за бухгалтерию энергии.

Формула и знаки величин

Математическая запись первого начала для конечного процесса:

$Q = \Delta U + A,$

где $Q$ - теплота, переданная системе, $\Delta U = U_2 - U_1$ - изменение внутренней энергии, $A$ - работа, совершённая системой над внешними телами. Для бесконечно малого процесса записывают дифференциальную форму:

$\delta Q = dU + \delta A.$

Знак дифференциала $d$ у $U$ не случаен: внутренняя энергия - функция состояния, её изменение зависит только от начального и конечного состояний. А вот $\delta Q$ и $\delta A$ - не полные дифференциалы: теплота и работа зависят от пути процесса, поэтому говорить о «запасе теплоты в теле» некорректно.

Правило знаков в стандартной (физической) записи:

• $Q > 0$ - теплота подводится к системе; $Q < 0$ - отводится от неё.
• $A > 0$ - система совершает работу над окружением (газ расширяется); $A < 0$ - работа совершается над системой (газ сжимают).
• $\Delta U > 0$ - внутренняя энергия растёт (для идеального газа это рост температуры).

В химической термодинамике часто используют другую запись через работу $W$, совершаемую над системой: $\Delta U = Q + W$. Это та же физика, но знак работы перевёрнут. Перед решением задачи всегда фиксируйте, какая из двух конвенций принята в вашем учебнике, иначе ответ получится с обратным знаком.

Внутренняя энергия и работа газа

Для идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры и числа степеней свободы $i$:

$U = \frac{i}{2} \nu R T, \qquad \Delta U = \frac{i}{2} \nu R \Delta T,$

где $\nu$ - количество вещества, $R$ - универсальная газовая постоянная. Для одноатомного газа $i = 3$, для двухатомного $i = 5$. Отсюда видно: если температура не меняется, внутренняя энергия идеального газа постоянна.

Работа газа при изменении объёма выражается интегралом давления по объёму:

$A = \int_{V_1}^{V_2} p\, dV.$

Геометрически это площадь под кривой процесса на диаграмме $p$–$V$. При постоянном давлении интеграл упрощается до $A = p\,\Delta V$, а в общем случае форму кривой задаёт уравнение процесса.

Рассчитать для своей задачи

Частные случаи для изопроцессов

Сила первого начала в том, что для каждого изопроцесса одно из слагаемых обнуляется или принимает простой вид. Это и есть рабочий инструмент в задачах.

Изохорный процесс ($V = \text{const}$): объём не меняется, газ не совершает работу, $A = 0$. Тогда вся теплота идёт на внутреннюю энергию:

$Q = \Delta U = \frac{i}{2} \nu R \Delta T.$

Изобарный процесс ($p = \text{const}$): работа равна $A = p\,\Delta V = \nu R \Delta T$, и первое начало даёт

$Q = \Delta U + p\,\Delta V = \frac{i + 2}{2} \nu R \Delta T.$

Именно поэтому теплоёмкость при постоянном давлении $C_p$ больше теплоёмкости при постоянном объёме $C_V$ на величину $\nu R$ (соотношение Майера).

Изотермический процесс ($T = \text{const}$): температура постоянна, значит $\Delta U = 0$, и вся подведённая теплота превращается в работу:

$Q = A = \nu R T \ln\frac{V_2}{V_1}.$

Адиабатный процесс ($Q = 0$): теплообмена нет, и работа совершается только за счёт внутренней энергии:

$A = -\Delta U = -\frac{i}{2} \nu R \Delta T.$

При адиабатном расширении газ охлаждается, при сжатии - нагревается. Сводная картина по четырём процессам помогает не путать, какое слагаемое обнулять.

Рассчитать для своей задачи

Связь с законом сохранения энергии

Первое начало - не отдельный постулат, а распространение закона сохранения энергии на тепловые явления. Историческая заслуга Майера, Джоуля и Гельмгольца в том, что они показали эквивалентность теплоты и механической работы: определённое количество работы всегда переходит в строго определённое количество теплоты (механический эквивалент теплоты). Это разрушило теорию теплорода и объединило механику с термодинамикой.

В замкнутой системе, не обменивающейся энергией с окружением, $Q = 0$ и $A = 0$, поэтому $\Delta U = 0$ - внутренняя энергия сохраняется. Любая задача на тепловой баланс (смешивание жидкостей, нагрев тел) - это применение первого начала к изолированной системе, где сумма всех теплот равна нулю.

Частые ошибки

• Путают знак работы. В физической записи $Q = \Delta U + A$ работа $A$ положительна при расширении. Если по ошибке использовать химическую конвенцию $\Delta U = Q + W$, ответ выйдет с обратным знаком. Всегда фиксируйте, кто совершает работу.
• Считают, что внутренняя энергия зависит от давления или объёма. Для идеального газа $U$ зависит только от температуры. В изотермическом процессе $\Delta U = 0$, даже если объём изменился вдвое.
• Берут неверное число степеней свободы. Для одноатомного газа $i = 3$, для двухатомного $i = 5$. Подстановка $i = 3$ в задачу про воздух (двухатомный) занижает $\Delta U$.
• Применяют $A = p\,\Delta V$ к изотерме. При постоянной температуре давление меняется, и работа считается через логарифм объёмов, а не как $p\,\Delta V$.
• Забывают про знак $\Delta U$ в адиабате. При адиабатном расширении газ охлаждается, $\Delta U < 0$, и именно за счёт этого совершается положительная работа.

FAQ

В чём разница между $Q = \Delta U + A$ и $\Delta U = Q + W$? Это одна и та же физика в разных конвенциях. В первой записи $A$ - работа газа над окружением (физический стандарт), во второй $W$ - работа окружения над газом (химический стандарт). Они отличаются знаком: $A = -W$. Перед решением проверьте, какую запись использует ваш курс.

Почему теплота и работа не функции состояния, а внутренняя энергия - функция? Внутренняя энергия определяется текущим состоянием системы (температурой, для идеального газа). Перейти из состояния 1 в состояние 2 можно разными путями, и по каждому пути теплота и работа окажутся разными, а их сумма $\Delta U$ - одинаковой. Поэтому пишут $dU$, но $\delta Q$ и $\delta A$.

Можно ли применять первое начало к необратимым процессам? Да. Первое начало - это баланс энергии, он выполняется для любых процессов, обратимых и необратимых. Ограничения на направление и обратимость накладывает уже второе начало термодинамики, а не первое.

Коротко

Первое начало термодинамики - закон сохранения энергии для тепловых процессов: $Q = \Delta U + A$, теплота идёт на изменение внутренней энергии и на работу системы. Ключ к задачам - правильные знаки ($Q > 0$ при подводе тепла, $A > 0$ при расширении) и понимание, что для идеального газа $\Delta U$ зависит только от температуры. Для каждого изопроцесса одно слагаемое упрощается: в изохоре $A = 0$, в изотерме $\Delta U = 0$, в адиабате $Q = 0$. Из первого начала следует невозможность вечного двигателя первого рода.