Теплоёмкость газа при постоянном объёме: формула CV

Теплоёмкость идеального газа при постоянном объёме показывает, сколько теплоты нужно подвести к газу, чтобы нагреть его на один градус, если объём при этом не меняется. Этот частный случай важен потому, что при постоянном объёме газ не совершает работы, и вся подведённая теплота уходит только на рост внутренней энергии. Именно поэтому величина $C_V$ напрямую связана с числом степеней свободы молекулы и служит основой для всех остальных теплоёмкостей газа. Ниже разберём, как вывести формулу $C_V$, как она зависит от строения молекулы, как через неё считать теплоту и внутреннюю энергию и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь типа газа, количества вещества и теплоты, покрути калькулятор ниже.

Что такое теплоёмкость при постоянном объёме

Теплоёмкость тела - это количество теплоты, нужное, чтобы поднять его температуру на один кельвин. Для газа результат сильно зависит от того, как именно идёт нагрев: при постоянном объёме или при постоянном давлении. Если объём газа фиксирован (например, газ заперт в жёстком сосуде), то при нагреве он не расширяется и не толкает поршень, то есть работа газа равна нулю: $A = 0$.

Запишем первое начало термодинамики $Q = \Delta U + A$. При $V = const$ из него остаётся только

$Q = \Delta U.$

Вся подведённая теплота превращается во внутреннюю энергию. Молярная теплоёмкость при постоянном объёме по определению равна

$C_V = \frac{1}{\nu}\,\frac{\delta Q}{dT} = \frac{1}{\nu}\,\frac{dU}{dT},$

где $\nu$ - количество вещества в молях. Это и есть ключевая идея: $C_V$ - это, по сути, скорость роста внутренней энергии газа с температурой.

Формула CV через число степеней свободы

Внутренняя энергия идеального газа складывается из кинетической энергии хаотического движения молекул. По теореме о равнораспределении на каждую степень свободы приходится энергия $\tfrac{1}{2}kT$ на молекулу, или $\tfrac{1}{2}RT$ на моль. Если у молекулы $i$ степеней свободы, то внутренняя энергия одного моля равна $\tfrac{i}{2}RT$, а для $\nu$ молей

$U = \frac{i}{2}\,\nu R T.$

Продифференцировав по температуре и поделив на $\nu$, получаем главную формулу:

$C_V = \frac{i}{2} R,$

где $R = 8{,}314$ Дж/(моль·К) - универсальная газовая постоянная, а $i$ - число степеней свободы молекулы. Эта формула не зависит от температуры (в рамках классической модели) и определяется только строением молекулы.

Рассчитать для своей задачи

Число степеней свободы $i$ зависит от того, как может двигаться молекула:

• одноатомный газ (He, Ar) - только поступательное движение, $i = 3$, поэтому $C_V = \tfrac{3}{2}R \approx 12{,}47$ Дж/(моль·К);
• двухатомный газ (N₂, O₂) - добавляются две вращательные степени, $i = 5$, $C_V = \tfrac{5}{2}R \approx 20{,}79$ Дж/(моль·К);
• многоатомный нелинейный газ (CO₂ в нелинейной модели, CH₄) - три вращательные оси, $i = 6$, $C_V = 3R \approx 24{,}94$ Дж/(моль·К).

Рассчитать для своей задачи

Видно, что чем сложнее молекула, тем больше «карманов» для запасания энергии, и тем больше теплоты нужно на тот же нагрев. Колебательные степени свободы при обычных температурах обычно «заморожены» и в простых задачах не учитываются.

Как через CV считать теплоту и внутреннюю энергию

Поскольку при постоянном объёме $Q = \Delta U$, теплота для нагрева газа на $\Delta T$ считается через полную теплоёмкость $\nu C_V$:

$Q = \Delta U = \nu\, C_V\, \Delta T = \frac{i}{2}\,\nu R\,\Delta T.$

Эта формула работает в обе стороны: по подведённой теплоте находят изменение температуры, по перепаду температур - нужную теплоту. Например, для $\nu = 2$ моль двухатомного газа при нагреве на $\Delta T = 50$ К получаем $Q = 2 \cdot 20{,}79 \cdot 50 \approx 2079$ Дж - ровно столько прибавится к внутренней энергии. Калькулятор выше показывает этот результат сразу и строит линию $Q(\Delta T)$: её наклон равен $\nu C_V$, и чем больше степеней свободы или молей, тем круче растёт энергия.

Если в задаче дана масса газа $m$, а не количество вещества, переходят через молярную массу $M$:

$\nu = \frac{m}{M}, \qquad \Delta U = \frac{m}{M}\,C_V\,\Delta T.$

Связь CV и Cp: уравнение Майера

Теплоёмкость при постоянном объёме - отправная точка для теплоёмкости при постоянном давлении $C_p$. При нагреве под постоянным давлением газ ещё и расширяется, совершая работу, поэтому теплоты требуется больше. Разница в точности равна газовой постоянной - это уравнение Майера:

$C_p = C_V + R.$

Отношение этих теплоёмкостей называют показателем адиабаты:

$\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{i + 2}{i}.$

Для одноатомного газа $\gamma \approx 1{,}67$, для двухатомного $\gamma = 1{,}4$, для многоатомного $\gamma \approx 1{,}33$. Калькулятор показывает $C_p$ и $\gamma$ рядом с $C_V$, чтобы видеть всю связку сразу. Эти величины затем используются в задачах на адиабатный процесс и скорость звука в газе.

Частые ошибки

• Путают $C_V$ и $C_p$. Если объём постоянен - берут $C_V$; если давление постоянно - $C_p$. Использовать $C_p$ в формуле $Q = \nu C_p \Delta T$ при $V = const$ нельзя: газ не расширяется.
• Считают температуру в градусах Цельсия. В формулу теплоёмкости идёт изменение $\Delta T$, и оно одинаково в кельвинах и в Цельсиях, но саму температуру для внутренней энергии $U = \tfrac{i}{2}\nu R T$ нужно брать в кельвинах.
• Неверное число степеней свободы. Для двухатомного газа $i = 5$, а не 6: при обычных температурах колебательная степень не возбуждена. Лишняя степень завышает $C_V$.
• Забывают про количество вещества. Молярная $C_V$ относится к одному молю; для теплоты её надо умножить на $\nu$ (или перейти через массу и молярную массу).
• Считают, что часть теплоты ушла в работу. При постоянном объёме $A = 0$, поэтому $Q$ полностью равна $\Delta U$, а не части от неё.

FAQ

Чему равна теплоёмкость при постоянном объёме для двухатомного газа? Молярная теплоёмкость двухатомного идеального газа равна $C_V = \tfrac{5}{2}R \approx 20{,}79$ Дж/(моль·К), потому что у такой молекулы $i = 5$ степеней свободы: три поступательные и две вращательные.

Почему $C_V$ меньше $C_p$? При постоянном объёме вся теплота идёт во внутреннюю энергию, а при постоянном давлении часть теплоты тратится ещё и на работу расширения газа. Поэтому при одинаковом нагреве под давлением теплоты нужно больше ровно на $R$: $C_p = C_V + R$.

Зависит ли $C_V$ идеального газа от температуры? В классической модели нет: $C_V = \tfrac{i}{2}R$ определяется только числом степеней свободы. Реально при высоких температурах «размораживаются» колебательные степени и $C_V$ растёт ступенями, но в стандартных задачах это не учитывают.

Коротко

Теплоёмкость идеального газа при постоянном объёме равна $C_V = \tfrac{i}{2}R$, где $i$ - число степеней свободы молекулы: 3 у одноатомного, 5 у двухатомного, 6 у многоатомного газа. При $V = const$ работа равна нулю, поэтому подведённая теплота полностью идёт во внутреннюю энергию: $Q = \Delta U = \nu C_V \Delta T$. Через $C_V$ выражаются теплоёмкость при постоянном давлении $C_p = C_V + R$ и показатель адиабаты $\gamma = C_p/C_V$. Калькулятор выше считает все эти величины по типу газа, количеству вещества и перепаду температур.