Теплоёмкость газа при постоянном давлении: Cp

Когда идеальный газ нагревают при постоянном давлении, часть подведённой теплоты уходит не на нагрев, а на работу расширения: газ толкает поршень. Именно поэтому теплоёмкость при постоянном давлении $C_p$ всегда больше теплоёмкости при постоянном объёме $C_V$ ровно на универсальную газовую постоянную $R$. Это соотношение называют уравнением Майера, и из него выводится почти всё, что спрашивают в задачах: сама формула $C_p$, показатель адиабаты $\gamma$, теплота при изобарном нагреве. Ниже разберём, откуда берётся $C_p$, как она зависит от числа степеней свободы молекулы и где студенты чаще всего путаются. А чтобы сразу увидеть связь теплоты, работы и внутренней энергии, покрути калькулятор ниже.

Что такое теплоёмкость при постоянном давлении

Молярная теплоёмкость $C_p$ - это количество теплоты, которое нужно подвести одному молю газа, чтобы нагреть его на один кельвин при постоянном давлении. По определению:

$C_p = \frac{1}{\nu}\left(\frac{\delta Q}{dT}\right)_{p=\text{const}},$

где $\nu$ - количество вещества, $\delta Q$ - подведённая теплота. Ключевое слово здесь - «при постоянном давлении». В отличие от нагрева в закрытом сосуде, газ свободно расширяется и совершает работу против внешнего давления. Поэтому одной и той же температуры он достигает, поглотив больше теплоты, чем при $V = \text{const}$.

Рассчитать для своей задачи

Уравнение Майера: связь Cp и Cv

Чтобы получить формулу $C_p$, запишем первое начало термодинамики для изобарного процесса:

$\delta Q = dU + \delta A.$

Изменение внутренней энергии идеального газа зависит только от температуры: $dU = \nu C_V \, dT$. Работа при постоянном давлении равна $\delta A = p\,dV$, а из уравнения состояния $pV = \nu R T$ при $p = \text{const}$ следует $p\,dV = \nu R\,dT$. Подставляя, получаем:

$\nu C_p \, dT = \nu C_V \, dT + \nu R \, dT.$

Сократив на $\nu\,dT$, приходим к уравнению Майера:

$C_p = C_V + R.$

Эта добавка $R \approx 8{,}314$ Дж/(моль·К) и есть «плата» за работу расширения. Она одинакова для любого идеального газа - одноатомного, двухатомного или многоатомного, потому что работа $\nu R\,dT$ от строения молекулы не зависит.

Рассчитать для своей задачи

На диаграмме видно главное: высота надстройки над каждым $C_V$ одна и та же - это $R$. Меняется лишь сам «фундамент» $C_V$, который растёт с числом степеней свободы.

Формула Cp через число степеней свободы

Теплоёмкость при постоянном объёме связана с числом степеней свободы молекулы $i$ соотношением $C_V = \frac{i}{2}R$. Подставив его в уравнение Майера, получаем готовую формулу для $C_p$:

$C_p = \frac{i}{2}R + R = \frac{i+2}{2}\,R.$

Число $i$ зависит от строения молекулы: у одноатомного газа только три поступательные степени свободы, у двухатомного добавляются две вращательные, у многоатомного - три вращательные. Сводка значений:

• Одноатомный газ (He, Ar): $i = 3$, $C_V = \frac{3}{2}R \approx 12{,}47$, $C_p = \frac{5}{2}R \approx 20{,}79$ Дж/(моль·К).
• Двухатомный газ (воздух, $O_2$, $N_2$): $i = 5$, $C_V = \frac{5}{2}R \approx 20{,}79$, $C_p = \frac{7}{2}R \approx 29{,}10$ Дж/(моль·К).
• Многоатомный газ ($CO_2$, водяной пар): $i = 6$, $C_V = 3R \approx 24{,}94$, $C_p = 4R \approx 33{,}26$ Дж/(моль·К).

Эти числа стоит держать в голове: в большинстве задач достаточно определить тип молекулы, и $C_p$ выписывается сразу.

Теплота, работа и внутренняя энергия при изобарном нагреве

Если нагреть $\nu$ молей газа на $\Delta T$ при постоянном давлении, подведённая теплота равна:

$Q = \nu C_p \, \Delta T = \frac{i+2}{2}\,\nu R\,\Delta T.$

Эта теплота расходуется на две вещи. Работа газа против внешнего давления:

$A = p\,\Delta V = \nu R\,\Delta T,$

а остаток идёт на прирост внутренней энергии:

$\Delta U = \nu C_V\,\Delta T = \frac{i}{2}\,\nu R\,\Delta T.$

Легко проверить баланс: $A + \Delta U = \nu R\,\Delta T + \frac{i}{2}\nu R\,\Delta T = \frac{i+2}{2}\nu R\,\Delta T = Q$. На p-V диаграмме изобарный процесс - это горизонтальный отрезок, а работа газа численно равна площади прямоугольника под ним.

Рассчитать для своей задачи

Доля теплоты, уходящая на работу, тем меньше, чем больше $i$: у одноатомного газа на работу идёт $R/C_p = 2/5 = 40\%$ подведённой теплоты, у двухатомного - $2/7 \approx 29\%$. Подставь свои $\nu$ и $\Delta T$ в калькулятор выше - он покажет $Q$, $A$ и $\Delta U$ и сразу разложит теплоту на эти две части.

Показатель адиабаты и связь с Cp

Отношение теплоёмкостей называют показателем адиабаты:

$\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{i+2}{i}.$

Это важная характеристика газа: она входит в уравнение адиабаты $pV^\gamma = \text{const}$ и в формулу скорости звука. Для одноатомного газа $\gamma = 5/3 \approx 1{,}67$, для двухатомного $\gamma = 7/5 = 1{,}4$ (это значение для воздуха используется чаще всего), для многоатомного $\gamma = 4/3 \approx 1{,}33$. Чем сложнее молекула, тем ближе $\gamma$ к единице. Через уравнение Майера $\gamma$ связывает $C_p$ и $C_V$ напрямую: $C_p = \dfrac{\gamma R}{\gamma - 1}$, $C_V = \dfrac{R}{\gamma - 1}$.

Удельная и молярная теплоёмкость

В задачах встречаются две формы: молярная $C_p$ (на один моль) и удельная $c_p$ (на один килограмм). Они связаны через молярную массу $M$:

$c_p = \frac{C_p}{M}.$

Например, для воздуха ($M \approx 29$ г/моль, $C_p \approx 29{,}1$ Дж/(моль·К)) удельная теплоёмкость при постоянном давлении $c_p \approx 1005$ Дж/(кг·К). Если в условии дана масса $m$, переходи к количеству вещества $\nu = m/M$ и считай по молярной формуле - так меньше шансов запутаться в единицах.

Частые ошибки

• Путают $C_p$ и $C_V$. Для нагрева в закрытом сосуде (баллоне) берут $C_V$, для нагрева под поршнем при атмосферном давлении - $C_p$. Если давление постоянно, а взяли $C_V$, теплота окажется заниженной на $\nu R\,\Delta T$.
• Забывают про работу газа. При $p = \text{const}$ не вся теплота идёт на нагрев: часть уходит на работу расширения. Поэтому $C_p > C_V$, а не наоборот.
• Ошибаются в числе степеней свободы. У двухатомного газа $i = 5$ (а не 6): при обычных температурах колебательные степени «заморожены» и не учитываются.
• Считают в градусах Цельсия. В формулах с $\Delta T$ разность температур одинакова в кельвинах и в градусах Цельсия, но абсолютную температуру (в $pV = \nu RT$) всегда берут в кельвинах.
• Берут $R$ не в тех единицах. В формуле $C_p = \frac{i+2}{2}R$ используют $R = 8{,}314$ Дж/(моль·К), а не 0,082 л·атм/(моль·К).

FAQ

Почему теплоёмкость при постоянном давлении больше, чем при постоянном объёме? Потому что при $p = \text{const}$ газ расширяется и совершает работу против внешнего давления. Чтобы нагреть его на тот же $\Delta T$, нужно подвести дополнительную теплоту на эту работу, равную $\nu R\,\Delta T$. Отсюда $C_p = C_V + R$.

Чему равна Cp воздуха? Воздух считают двухатомным газом ($i = 5$), поэтому молярная $C_p = \frac{7}{2}R \approx 29{,}1$ Дж/(моль·К), а удельная $c_p \approx 1005$ Дж/(кг·К) при молярной массе около 29 г/моль.

Зависит ли Cp идеального газа от температуры? В классической модели - нет: $C_p$ определяется только числом степеней свободы и считается постоянной. У реальных газов при высоких температурах «размораживаются» колебательные степени свободы и $C_p$ растёт, но в стандартных учебных задачах это не учитывают.

Коротко

Теплоёмкость идеального газа при постоянном давлении больше, чем при постоянном объёме, ровно на газовую постоянную: $C_p = C_V + R$ (уравнение Майера). Через число степеней свободы это $C_p = \frac{i+2}{2}R$, а отношение $\gamma = C_p/C_V = (i+2)/i$ задаёт показатель адиабаты. При изобарном нагреве теплота $Q = \nu C_p \Delta T$ делится на работу $A = \nu R \Delta T$ и прирост внутренней энергии $\Delta U = \nu C_V \Delta T$. Чтобы не путать $C_p$ с $C_V$, проверяй условие: постоянно давление или объём.