Как найти среднюю скорость молекул: решение задачи

Дано: кислород, молярная масса $M = 32$ г/моль, температура $t = 27$ °C. Найти: среднюю скорость молекул $\langle v \rangle$, а также среднеквадратичную $v_{\text{кв}}$ и наиболее вероятную $v_{\text{в}}$.

Средняя скорость теплового движения считается по формуле $\langle v \rangle = \sqrt{8RT / (\pi M)}$: температуру переводят в кельвины, молярную массу в килограммы на моль и подставляют. Ответ: $\langle v \rangle \approx 445$ м/с, $v_{\text{кв}} \approx 483$ м/с, $v_{\text{в}} \approx 395$ м/с.

Калькулятор сверху пересчитывает все три скорости под любой газ и любую температуру, а на графике видно, как они растут по закону корня из $T$. Ниже тот же ответ получен вручную.

Решение по шагам

Дано.

Найти: $\langle v \rangle$, $v_{\text{кв}}$, $v_{\text{в}}$.

Шаг 1. Переводим данные в СИ. Температура в формулах молекулярно-кинетической теории всегда абсолютная:

$$T = t + 273 = 27 + 273 = 300\ \text{К}, \qquad M = 32\ \frac{\text{г}}{\text{моль}} = 0{,}032\ \frac{\text{кг}}{\text{моль}}.$$

Перевод молярной массы важнее, чем кажется: именно на нём теряется множитель 1000, а вместе с ним и порядок ответа.

Шаг 2. Считаем общий множитель. У всех трёх скоростей под корнем стоит одна и та же комбинация $RT/M$, поэтому её удобно вычислить один раз:

$$\frac{RT}{M} = \frac{8{,}31 \cdot 300}{0{,}032} = \frac{2493}{0{,}032} \approx 77\,906\ \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}.$$

Размерность подсказывает, что дальше всё верно: под корнем квадрат скорости, значит после извлечения корня получатся метры в секунду.

Шаг 3. Средняя скорость. Подставляем множитель в формулу средней арифметической скорости:

$$\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8}{\pi} \cdot \frac{RT}{M}} = \sqrt{2{,}546 \cdot 77\,906} = \sqrt{198\,387} \approx 445\ \text{м/с}.$$

Шаг 4. Среднеквадратичная скорость. Здесь коэффициент равен трём:

$$v_{\text{кв}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{3 \cdot 77\,906} = \sqrt{233\,719} \approx 483\ \text{м/с}.$$

Шаг 5. Наиболее вероятная скорость. Коэффициент равен двум:

$$v_{\text{в}} = \sqrt{\frac{2RT}{M}} = \sqrt{2 \cdot 77\,906} = \sqrt{155\,813} \approx 395\ \text{м/с}.$$

Шаг 6. Проверяем порядок величин. Три скорости обязаны выстроиться в фиксированном порядке $v_{\text{в}} < \langle v \rangle < v_{\text{кв}}$ с одними и теми же отношениями:

$$v_{\text{в}} : \langle v \rangle : v_{\text{кв}} = \sqrt{2} : \sqrt{8/\pi} : \sqrt{3} = 1 : 1{,}128 : 1{,}225.$$

Проверка: $395 \cdot 1{,}128 \approx 446$ и $395 \cdot 1{,}225 \approx 484$ - совпадает с найденными числами с точностью до округления. Если у вас средняя скорость оказалась больше среднеквадратичной, перепутаны коэффициенты.

Ответ: $\langle v \rangle \approx 445$ м/с, $v_{\text{кв}} \approx 483$ м/с, $v_{\text{в}} \approx 395$ м/с.

Формула средней скорости и что в ней стоит

Формула записывается в двух эквивалентных видах, и путаница между ними даёт больше всего неверных ответов:

$$\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m_0}}.$$

В первой форме $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К) - универсальная газовая постоянная, $M$ - молярная масса в килограммах на моль. Во второй $k = 1{,}38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К - постоянная Больцмана, $m_0$ - масса одной молекулы в килограммах. Формы переходят друг в друга, потому что $R = k N_{\text{A}}$ и $M = m_0 N_{\text{A}}$: число Авогадро сокращается. Смешивать их нельзя - $R$ работает только с молярной массой, $k$ только с массой одной молекулы.

Сама формула получается усреднением модуля скорости по распределению Максвелла, то есть как первый момент этого распределения. Вывод интеграла и вид функции $f(v)$ разобраны отдельно в статье про распределение Максвелла-Больцмана по скоростям; для решения задачи достаточно готового коэффициента $8/\pi$.

Обратите внимание: скорость зависит только от температуры и сорта газа. Ни давление, ни объём, ни количество вещества в формулу не входят.

Три скорости: какую и когда брать

Три характерные скорости описывают одно и то же распределение, но отвечают на разные вопросы, и в условии задачи нужно поймать, какая из них требуется.

• Наиболее вероятная $v_{\text{в}} = \sqrt{2RT/M}$ - положение максимума кривой распределения, скорость самой многочисленной группы молекул. Про неё подробно написано в разборе наиболее вероятной скорости молекул газа.
• Средняя арифметическая $\langle v \rangle = \sqrt{8RT/(\pi M)}$ - среднее модулей скорости всех молекул. Именно она входит в расчёты переноса: длину свободного пробега, число столкновений, диффузию и коэффициент теплопроводности газа.
• Среднеквадратичная $v_{\text{кв}} = \sqrt{3RT/M}$ - корень из среднего квадрата скорости. Она связана с энергией: $\langle E_{\text{к}} \rangle = \tfrac{3}{2} kT = \tfrac{m_0 v_{\text{кв}}^2}{2}$, поэтому в задачах на среднюю кинетическую энергию молекул фигурирует именно она.

Если в условии сказано просто «скорость молекул» без уточнения, по умолчанию имеют в виду среднеквадратичную в энергетических задачах и среднюю арифметическую в задачах на явления переноса. Разница между ними всего 8 процентов, но в контрольной её обычно спрашивают явно.

Если даны не температура и молярная масса

Данные в условии часто подменяют, а метод остаётся прежним: нужно любым способом добраться до комбинации $RT/M$.

Даны давление и плотность. Из уравнения состояния следует $p = \rho RT / M$, откуда $RT/M = p/\rho$. Для воздуха при $p = 100$ кПа и $\rho = 1{,}29$ кг/м³:

$$v_{\text{кв}} = \sqrt{\frac{3p}{\rho}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 10^5}{1{,}29}} \approx 482\ \text{м/с}, \qquad \langle v \rangle = \sqrt{\frac{8p}{\pi \rho}} \approx 444\ \text{м/с}.$$

Температура здесь не нужна вовсе: она уже спрятана в паре «давление плюс плотность».

Дана масса одной молекулы. Переходите к форме с постоянной Больцмана либо восстановите молярную массу как $M = m_0 N_{\text{A}}$.

Нужно найти температуру по скорости. Формулу разворачивают: $T = \pi M \langle v \rangle^2 / (8R)$. Для азота ($M = 0{,}028$ кг/моль) со средней скоростью 500 м/с получаем $T \approx 331$ К, то есть около 58 °C.

Меняются температура или газ. Скорость пропорциональна $\sqrt{T/M}$, поэтому отношения считаются без полного пересчёта. Нагрев газа вчетверо удваивает скорость: тот же кислород при 1200 К даёт 890 м/с. Водород легче кислорода в 16 раз, значит его молекулы при 300 К быстрее ровно в $\sqrt{16} = 4$ раза - 1782 м/с. Именно поэтому лёгкие газы улетучиваются из атмосферы, а тяжёлые остаются.

Частые ошибки

• Молярную массу оставляют в граммах на моль. Подстановка 32 вместо 0,032 занижает знаменатель в тысячу раз, и ответ выходит меньше истинного в $\sqrt{1000} \approx 31{,}6$ раза: вместо 445 м/с получается около 14 м/с.
• Температуру подставляют в градусах Цельсия. Для 27 °C ошибка чудовищна: 27 вместо 300 занижает скорость почти в 3,3 раза. Правило простое: в любой формуле МКТ температура только в кельвинах.
• Путают коэффициенты 2, $8/\pi$ и 3. Запоминайте по возрастанию: наименьшая скорость наиболее вероятная (двойка), средняя посередине ($8/\pi \approx 2{,}55$), наибольшая среднеквадратичная (тройка).
• Смешивают $R$ с массой молекулы, а $k$ с молярной массой. Такая подстановка даёт ответ, отличающийся на множитель порядка $10^{23}$ - по абсурдному числу ошибка видна сразу.
• Считают, что скорость зависит от давления. При изотермическом сжатии газ становится плотнее, чаще сталкивается, но средняя скорость молекул не меняется: она определяется только температурой и молярной массой. Полезный контрпример есть в разборе работы изотермического процесса.
• Забывают, что усредняется модуль. Среднее векторной скорости в покоящемся газе равно нулю: молекулы летят во все стороны одинаково часто. Ненулевой ответ даёт только среднее от $|\vec v|$.

FAQ

Чем средняя скорость отличается от среднеквадратичной? Средняя арифметическая - это сумма модулей скоростей, делённая на число молекул. Среднеквадратичная - корень из среднего значения квадрата скорости. Возведение в квадрат даёт больший вес быстрым молекулам, поэтому $v_{\text{кв}}$ всегда больше: их отношение равно $\sqrt{3\pi/8} \approx 1{,}085$, то есть примерно 8 процентов.

Зависит ли средняя скорость молекул от давления? Нет. В формулу входят только температура и молярная масса. Если сжать газ при постоянной температуре, вырастут давление и число столкновений, но распределение по скоростям останется прежним. Косвенная зависимость появляется лишь тогда, когда сжатие меняет температуру, как при адиабатном процессе.

Как посчитать среднюю скорость через постоянную Больцмана? По формуле $\langle v \rangle = \sqrt{8kT/(\pi m_0)}$, где $m_0 = M / N_{\text{A}}$. Для кислорода $m_0 = 0{,}032 / (6{,}02 \cdot 10^{23}) \approx 5{,}31 \cdot 10^{-26}$ кг, и результат получается тот же - 445 м/с.

Почему запах распространяется медленно, если молекулы летят со скоростью 445 м/с? Потому что молекула движется не по прямой: при нормальных условиях она испытывает миллиарды столкновений в секунду и продвигается зигзагом. Скорость направленного переноса задаётся диффузией и оказывается на несколько порядков меньше тепловой скорости.

Коротко

1. Переведите данные в СИ: $T = t + 273$ в кельвинах, $M$ в килограммах на моль (32 г/моль $= 0{,}032$ кг/моль).
2. Посчитайте общий множитель $RT/M = 8{,}31 \cdot 300 / 0{,}032 \approx 77\,906$ м²/с².
3. Умножьте его на нужный коэффициент и извлеките корень: $8/\pi$ для средней, 3 для среднеквадратичной, 2 для наиболее вероятной.
4. Для кислорода при 27 °C получается $\langle v \rangle \approx 445$ м/с, $v_{\text{кв}} \approx 483$ м/с, $v_{\text{в}} \approx 395$ м/с.
5. Проверьте ответ по неизменному отношению $1 : 1{,}128 : 1{,}225$ и по тому, что скорость растёт как $\sqrt{T}$ и падает как $1/\sqrt{M}$.