Задачи на среднюю кинетическую энергию молекул

Главный факт молекулярно-кинетической теории, на котором держится половина задач термодинамики: средняя кинетическая энергия хаотического движения молекул зависит только от температуры. Не от давления, не от объёма, не от сорта газа, а исключительно от того, насколько газ нагрет. Из этого одного утверждения выводятся и среднеквадратичная скорость, и внутренняя энергия, и связь температуры с движением частиц. Покрутите калькулятор ниже: задайте температуру и выберите газ, чтобы увидеть, как меняются средняя энергия и скорость молекул.

Формула средней кинетической энергии молекул

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа равна

$\langle E \rangle = \frac{3}{2} k T,$

где $k = 1{,}38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К - постоянная Больцмана, а $T$ - абсолютная температура в кельвинах. Множитель $3/2$ возникает из трёх независимых направлений движения: на каждую поступательную степень свободы приходится в среднем энергия $\tfrac12 kT$, а у точечной молекулы таких направлений три (вдоль осей $x$, $y$, $z$).

Эта формула напрямую вытекает из основного уравнения МКТ идеального газа: связав давление с энергией удара молекул о стенку и подставив уравнение состояния, получают, что произведение $kT$ задаёт характерный масштаб тепловой энергии. Принципиально, что в правой части нет ни массы молекулы, ни концентрации - при одной температуре средняя энергия лёгкого водорода и тяжёлого углекислого газа одинакова.

Почему энергия не зависит от сорта газа

Это самый контринтуитивный момент темы. Лёгкие молекулы при той же температуре движутся быстрее, тяжёлые - медленнее, но произведение массы на квадрат скорости у них в среднем одинаково. Лёгкость компенсируется скоростью ровно так, чтобы средняя энергия осталась равной $\tfrac32 kT$.

Рассчитать для своей задачи

Именно поэтому средняя энергия - более фундаментальная характеристика, чем скорость: она универсальна для всех газов и служит мерой температуры. Температуру в физике вообще можно определить через среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул, и тогда формула $\langle E \rangle = \tfrac32 kT$ становится определением, а не следствием.

Среднеквадратичная скорость молекул

Раз энергия равна $\langle E \rangle = \tfrac32 kT$, а кинетическая энергия одной молекулы - это $\tfrac{m_0 \langle v^2 \rangle}{2}$, приравняв их, получаем среднеквадратичную скорость:

$v_{кв} = \sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt{\frac{3 k T}{m_0}} = \sqrt{\frac{3 R T}{M}},$

где $m_0$ - масса одной молекулы, $M$ - молярная масса, $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К). Две формы записи эквивалентны, потому что $R = k N_A$ и $M = m_0 N_A$. В задачах удобнее форма через молярную массу: данные о газе обычно приводят именно в граммах на моль.

Среднеквадратичная скорость - это не самая частая и не средняя арифметическая скорость, а корень из среднего квадрата. Она чуть больше наиболее вероятной скорости молекул газа и средней арифметической: все три скорости отличаются только числовыми коэффициентами под корнем, но именно $v_{кв}$ напрямую связана со средней энергией.

Линейная зависимость энергии от температуры

Из формулы видно, что средняя энергия прямо пропорциональна абсолютной температуре. Это удобно для оценок: достаточно знать энергию при одной температуре, чтобы найти её при любой другой простой пропорцией.

Рассчитать для своей задачи

На графике точка $600$ К соответствует ровно удвоенной энергии относительно $300$ К - зависимость линейна, в отличие от квадратичной зависимости энергии конденсатора от напряжения. А вот скорость растёт медленнее: чтобы удвоить $v_{кв}$, температуру надо увеличить вчетверо, ведь скорость пропорциональна корню из температуры. Эта разница между линейным ростом энергии и корневым ростом скорости - частая ловушка в задачах.

Учёт степеней свободы

До сих пор речь шла только о поступательном движении. Но многоатомные молекулы умеют ещё и вращаться, а при высоких температурах - колебаться. Каждая такая степень свободы тоже несёт в среднем $\tfrac12 kT$ энергии - это закон равнораспределения энергии по степеням свободы. Поэтому полная средняя энергия молекулы равна

$\langle E \rangle = \frac{i}{2} k T,$

где $i$ - полное число степеней свободы. Для одноатомного газа (гелий, аргон) $i = 3$ - только поступательное движение. Для двухатомного (азот, кислород) добавляются две вращательные степени, $i = 5$. Для многоатомного (углекислый газ, водяной пар) $i = 6$.

Важно не путать две формулы: $\tfrac32 kT$ - это энергия только поступательного движения (она и задаёт давление и температуру), а $\tfrac{i}{2} kT$ - полная средняя энергия молекулы, которая входит во внутреннюю энергию газа $U = \tfrac{i}{2} \nu R T$. В калькуляторе выше обе величины показаны рядом: для двухатомного газа полная энергия в $5/3$ раза больше поступательной.

Как решать задачи на среднюю энергию

Почти все задачи укладываются в короткий план. Сначала переводят температуру в кельвины: $T(K) = t(°C) + 273$. Это самая частая арифметическая ошибка - забыть про перевод и подставить градусы Цельсия.

Затем смотрят, о какой энергии спрашивают. Если про энергию поступательного движения, про давление или температуру - берут $\tfrac32 kT$. Если про полную энергию молекулы или внутреннюю энергию газа - определяют число степеней свободы $i$ по атомности и берут $\tfrac{i}{2} kT$.

Если нужна скорость, приравнивают $\tfrac{m_0 v^2}{2} = \tfrac32 kT$ и выражают $v_{кв} = \sqrt{3RT/M}$, аккуратно переведя молярную массу в килограммы на моль. А если в задаче нужно найти температуру по заданной энергии или скорости, ту же формулу просто разрешают относительно $T$. Полезно держать в памяти ориентир: при комнатной температуре (около 300 К) средняя энергия поступательного движения составляет примерно $6{,}2 \cdot 10^{-21}$ Дж.

Частые ошибки

• Подставлять температуру в градусах Цельсия. Формулы работают только с абсолютной температурой в кельвинах. Перед подстановкой всегда переводите: $T = t + 273$.
• Путать $\tfrac32 kT$ и $\tfrac{i}{2} kT$. Первая формула - энергия только поступательного движения, вторая - полная средняя энергия с учётом вращений. Для одноатомного газа они совпадают, для остальных - нет.
• Считать, что тяжёлый газ запасает больше энергии. При одной температуре средняя энергия любого газа одинакова. От массы зависит только скорость, а не энергия.
• Удваивать скорость при удвоении температуры. Энергия растёт линейно, а скорость - как корень из температуры. Чтобы удвоить $v_{кв}$, температуру надо увеличить в четыре раза.
• Брать молярную массу в граммах на моль. В формулу $v_{кв} = \sqrt{3RT/M}$ молярную массу подставляют в килограммах на моль, иначе скорость завышается в десятки раз.

FAQ

Чему равна средняя кинетическая энергия молекулы при комнатной температуре? При $T \approx 300$ К средняя энергия поступательного движения равна $\langle E \rangle = \tfrac32 kT \approx 6{,}2 \cdot 10^{-21}$ Дж. Эта величина одинакова для всех газов независимо от массы молекул и давления - она зависит только от температуры.

Как связаны средняя энергия и среднеквадратичная скорость? Через равенство $\tfrac{m_0 v_{кв}^2}{2} = \tfrac32 kT$. Отсюда $v_{кв} = \sqrt{3kT/m_0} = \sqrt{3RT/M}$. Энергия одинакова для всех газов, а скорость зависит от массы: лёгкие молекулы при той же энергии движутся быстрее тяжёлых.

Зачем нужны степени свободы в формуле энергии? Каждая степень свободы (поступательная, вращательная, колебательная) несёт в среднем $\tfrac12 kT$ энергии. Поступательная энергия всегда $\tfrac32 kT$, но полная энергия молекулы равна $\tfrac{i}{2} kT$: для двухатомного газа $i = 5$, для многоатомного $i = 6$. Это нужно для расчёта внутренней энергии и теплоёмкости.

Коротко

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа равна $\langle E \rangle = \tfrac32 kT$ и зависит только от абсолютной температуры - ни от массы молекул, ни от давления. С учётом числа степеней свободы полная средняя энергия равна $\tfrac{i}{2} kT$, где $i = 3$ для одноатомного, $5$ для двухатомного и $6$ для многоатомного газа. Из энергии следует среднеквадратичная скорость $v_{кв} = \sqrt{3RT/M}$: энергия растёт линейно с температурой, а скорость - как корень из неё. В задачах главное - перевести температуру в кельвины, различать поступательную и полную энергию и не путать линейный рост энергии с корневым ростом скорости.