Основное уравнение МКТ идеального газа: вывод

Давление газа на стенку сосуда кажется чем-то сплошным и постоянным, но на самом деле это результат миллиардов отдельных ударов молекул в секунду. Вывод основного уравнения молекулярно-кинетической теории идеального газа как раз и показывает, как из этих хаотичных ударов рождается то, что измеряет манометр. Ниже мы пройдём всю цепочку: импульс одного удара, поток молекул на стенку, усреднение по направлениям и сборку формулы $p = \tfrac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$. Чтобы сразу почувствовать связь температуры, концентрации и скорости с давлением, покрути калькулятор ниже: он считает давление, среднюю энергию молекулы и среднеквадратичную скорость разом.

Микроскопическая модель идеального газа

В основе вывода лежит простая механическая картина. Идеальный газ - это огромное число молекул массой $m_0$ каждая, которые беспорядочно летают в сосуде и почти не взаимодействуют между собой, пока не столкнутся со стенкой. Размерами молекул и временем столкновения пренебрегают, а удары о стенку считают абсолютно упругими: молекула отскакивает с той же по модулю скоростью, меняя лишь направление.

Введём концентрацию молекул $n$ - это число молекул в единице объёма, то есть в одном кубометре. Скорости молекул разные и по величине, и по направлению, поэтому работать будем не с отдельной скоростью, а со средним квадратом скорости $\langle v^2 \rangle$. Именно эта усреднённая величина в итоге войдёт в формулу давления, и именно поэтому давление получается стабильным, хотя каждый отдельный удар случаен.

Импульс одного удара о стенку

Выберем стенку, перпендикулярную оси $x$, и проследим за одной молекулой, летящей к ней с проекцией скорости $v_x$. До удара её проекция импульса равна $m_0 v_x$, после упругого отскока она меняет знак и становится $-m_0 v_x$. Изменение импульса молекулы по модулю:

$\Delta p_{\text{мол}} = m_0 v_x - (- m_0 v_x) = 2 m_0 v_x.$

Рассчитать для своей задачи

По третьему закону Ньютона ровно такой же импульс $2 m_0 v_x$ молекула передаёт стенке. Это ключевой шаг всего вывода: давление возникает не из «давки» молекул, а из суммарного потока импульса, который они приносят стенке при ударах. Осталось подсчитать, сколько таких ударов приходится на стенку за единицу времени.

Сколько молекул долетает до стенки

Возьмём участок стенки площадью $S$ и интервал времени $\Delta t$. До стенки за это время успеют долететь только те молекулы, которые движутся в её сторону и находятся не дальше, чем $v_x \Delta t$ от неё. Все они лежат внутри косого слоя объёмом

$V_{\text{слоя}} = S \cdot v_x \Delta t.$

В этом объёме находится $n \cdot S v_x \Delta t$ молекул, но к стенке летит лишь половина из них (вторая половина движется от стенки). Значит, число ударов за время $\Delta t$ равно $\tfrac{1}{2} n S v_x \Delta t$. Каждый удар приносит импульс $2 m_0 v_x$, поэтому суммарный импульс, переданный стенке:

$\Delta p = \frac{1}{2} n S v_x \Delta t \cdot 2 m_0 v_x = n m_0 v_x^2 S \Delta t.$

Сила давления на стенку - это переданный импульс в единицу времени, $F = \Delta p / \Delta t = n m_0 v_x^2 S$, а давление есть сила на единицу площади, $p = F / S = n m_0 v_x^2$.

Усреднение по направлениям и множитель одна треть

В реальном газе у молекул разные $v_x$, поэтому нужно заменить $v_x^2$ на его среднее значение $\langle v_x^2 \rangle$. Здесь и возникает знаменитый множитель $\tfrac{1}{3}$. Полный квадрат скорости молекулы складывается из трёх проекций:

$v^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2.$

Поскольку движение хаотично и ни одно направление не выделено, в среднем все три проекции равноправны: $\langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle$. Сложив их, получаем $\langle v^2 \rangle = 3 \langle v_x^2 \rangle$, откуда

$\langle v_x^2 \rangle = \frac{\langle v^2 \rangle}{3}.$

Подставив это в выражение для давления $p = n m_0 \langle v_x^2 \rangle$, приходим к основному уравнению молекулярно-кинетической теории идеального газа:

$p = \frac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle.$

Рассчитать для своей задачи

График подтверждает суть формулы: при фиксированных концентрации и массе молекул давление линейно зависит от среднего квадрата скорости, а наклон прямой равен $\tfrac{1}{3} n m_0$. Множитель $\tfrac{1}{3}$ - прямое следствие трёхмерности пространства, и его потеря завышает давление втрое. Если вы уже уверенно владеете самим уравнением и хотите потренироваться в подстановке чисел, переходите к разбору решения задач на основное уравнение МКТ.

Форма через среднюю кинетическую энергию

Удобно переписать результат через среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы. По определению $\langle E_к \rangle = \tfrac{1}{2} m_0 \langle v^2 \rangle$, поэтому $m_0 \langle v^2 \rangle = 2 \langle E_к \rangle$. Подставив это в основное уравнение, получаем вторую, особенно наглядную форму:

$p = \frac{2}{3} n \langle E_к \rangle.$

Эта запись показывает физический смысл прямо: давление пропорционально концентрации молекул и их средней энергии движения. Чем плотнее газ и чем энергичнее молекулы, тем сильнее он давит на стенки. Именно энергия молекул, а не их скорость напрямую, оказывается фундаментальной величиной - и она открывает дорогу к температуре.

Переход к температуре и pV = NkT

Сравнив выведенное уравнение $p = \tfrac{2}{3} n \langle E_к \rangle$ с экспериментальным уравнением состояния идеального газа $p = n k T$, физики получили фундаментальную связь средней энергии молекулы с абсолютной температурой:

$\langle E_к \rangle = \frac{3}{2} k T,$

где $k = 1{,}38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К - постоянная Больцмана. Подставив эту связь обратно, основное уравнение МКТ сразу превращается в $p = n k T$, а умножив на объём (с учётом $n = N/V$), - в привычное $pV = N k T$. Так микроскопический вывод смыкается с макроскопическим уравнением состояния. Из той же связи легко получить среднеквадратичную скорость:

$v_{кв} = \sqrt{\langle v^2 \rangle} = \sqrt{\frac{3 k T}{m_0}} = \sqrt{\frac{3 R T}{M}},$

где $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К) - универсальная газовая постоянная, а $M$ - молярная масса газа в кг/моль. Например, для воздуха ($M = 29$ г/моль) при $T = 300$ К и концентрации $n = 2{,}5 \cdot 10^{25}$ м⁻³ формулы дают давление $p \approx 103{,}5$ кПа, среднюю энергию молекулы $\langle E_к \rangle \approx 6{,}2 \cdot 10^{-21}$ Дж и скорость $v_{кв} \approx 508$ м/с - ровно эти числа считает калькулятор выше.

Частые ошибки

• Потеря множителя одна треть. Коэффициент $\tfrac{1}{3}$ отражает трёхмерность движения и распределение скорости по трём осям. Его пропуск завышает давление втрое.
• Путаница массы молекулы и молярной массы. В первой форме стоит масса одной молекулы $m_0 = M / N_A$, а в формуле скорости через $M$ - молярная масса всего моля. Их нельзя подставлять одну вместо другой.
• Замена среднего квадрата на квадрат среднего. В уравнение входит именно $\langle v^2 \rangle$, а не $\langle v \rangle^2$. Корень из среднего квадрата и есть среднеквадратичная скорость $v_{кв}$.
• Забытый учёт направления удара. В выводе важно, что импульс меняется на $2 m_0 v_x$ (с множителем 2) и что к стенке летит лишь половина молекул слоя. Пропуск любого из множителей ломает итоговый коэффициент.
• Температура в градусах Цельсия. Связь $\langle E_к \rangle = \tfrac{3}{2} k T$ и формула скорости работают только с абсолютной температурой: переводите градусы в кельвины, $T_K = t_{°C} + 273$.

FAQ

Откуда в основном уравнении МКТ берётся множитель одна треть? Молекулы движутся хаотично, и средний квадрат скорости поровну распределён по трём взаимно перпендикулярным направлениям: $\langle v_x^2 \rangle = \langle v_y^2 \rangle = \langle v_z^2 \rangle$. Отсюда $\langle v_x^2 \rangle = \tfrac{1}{3} \langle v^2 \rangle$, а давление на стенку создаёт только проекция движения вдоль одной оси - так и появляется коэффициент $\tfrac{1}{3}$.

Какой импульс передаёт молекула стенке при упругом ударе? При абсолютно упругом ударе проекция скорости меняет знак, поэтому импульс молекулы изменяется на $2 m_0 v_x$. По третьему закону Ньютона ровно такой импульс получает стенка. Суммарный поток этих импульсов от всех молекул и есть давление газа.

Чем отличается вывод основного уравнения МКТ от его применения в задачах? Вывод - это получение формулы $p = \tfrac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle$ из механики ударов: импульс, поток молекул, усреднение по направлениям. Применение в задачах - подстановка чисел в готовые формы $p = \tfrac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle = \tfrac{2}{3} n \langle E_к \rangle = n k T$ с контролем единиц.

Коротко

Вывод основного уравнения МКТ идеального газа строится из ударов молекул о стенку. Один упругий удар передаёт стенке импульс $2 m_0 v_x$, за время $\Delta t$ до стенки площадью $S$ долетают молекулы из слоя объёмом $S v_x \Delta t$, а усреднение по трём направлениям даёт $\langle v_x^2 \rangle = \tfrac{1}{3} \langle v^2 \rangle$. В итоге $p = \tfrac{1}{3} n m_0 \langle v^2 \rangle = \tfrac{2}{3} n \langle E_к \rangle$, где $\langle E_к \rangle = \tfrac{1}{2} m_0 \langle v^2 \rangle$. Через связь $\langle E_к \rangle = \tfrac{3}{2} k T$ это переходит в $p = n k T$, а среднеквадратичная скорость равна $v_{кв} = \sqrt{3 k T / m_0}$.